1、江苏省无锡市宜兴市2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题1. 解方程，最适当的解法是（）A. 直接开平方法B. 因式分解法C. 配方法D. 公式法2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A. -1或2B. -1C. 2D. 03. 如图，在O的内接四边形ABCD中，D135，则B的度数为（）A. 45B. 60C. 65D. 704. 如图，在中，弦CD与直径AB板交于点E，连接OC，BD若，则的度数为（ ）A. 80B. 100C. 120D. 1405. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）A. B. 且C. 且D. 6. 如图，BCD内接于O，
2、D70，OABC交O于点A，连接AC，则OAC的度数为（ ）A. 40B. 55C. 70D. 1107. 已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为（）A. 10B. 11C. 10或11D. 128. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，则弯道外边缘的长为（ ）A. B. C. D. 二、填空题9. 方程解是_10. 已知O半径为5cm，点P在O内，则OP_5cm（填“”、“”或“”）11. 设a，b是一元二次方程的两个实数根，则ab的值为_1
3、2. 如图，若度数为105，则BAE_ 13. 如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截图如图所示若量得EF24cm，则该篮球的半径为_cm14. 已知x1，x2是一元二次方程x24x70的两个实数根，则x124x1x2x22的值是_15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步问阔及长各几步意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步若设长为x步，则可列方程为_16. 如图，在矩形ABCD中，DC14 cm，AD6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动
4、；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停设运动时间为t s，则t_时，P，Q两点之间的距离是10 cm17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_mm18. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，为的中点，点到，的距离分别为4和2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_三、解答题19. 解方程：20. 如图AB是半圆的直径，图1中，
5、点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，画出ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出ABC中AB边上的高21. 如图，OA、OB、OC是O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为，且，求m的值23. 如图，AB是O的直径，C为半径OA的中点，CDAB交O于点D，E，DFAB交O于点F，连接AF，AD（1）求DAF的度数；（2）若AB10，求阴影部分的面积（结果保留）24. 如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到
6、点C，使，连接AC（1）求证：AC是的切线（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，求GF的长25. 如图所示，在中，点P从点A出发沿AC以的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止问：几秒钟后的面积等于？（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得面积等于？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由26. 如图，AB为O的直径，点C、D都在O上，且CD平分ACB，交AB于点E（1）求证：ABDBC
7、D；（2）若DE13，AE17，求O半径；（3）DFAC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由江苏省无锡市宜兴市2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题1. 【答案】B【解析】【分析】先把方程变形为，则利用因式分解法容易把原方程化为两个一次方程x20或x30【详解】解：原式可变形为x（x2）3（x2）0，因式分解为：（x2）（x3）0，所以x20或x30故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了
8、降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）2.【答案】B【解析】【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值【详解】解：把x=1代入得：=0，解得：m1=2，m2=1是一元二次方程， ，故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于03.【答案】A【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解【详解】解：四边形ABCD是O的内接四边形，D135，D180-D45，故选A【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键4. 【答案】C【解析】【分析】先利用
9、三角形外角性质求出CDB=AED-ABD=80-20=60，再根据圆周角定理得出COB=2CDB=260=120即可【详解】解：AED是DEB的外角，CDB=AED-ABD=80-20=60，COB=2CDB=260=120故选C【点睛】本题考查三角形外角性质，圆周角定理，掌握三角形外角性质，圆周角定理解题关键5. 【答案】C【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知=（-3）2-4k10且k0，解之可得【详解】解：关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，=（-3）2-4k10且k0，解得k且k0，故选：C【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次
10、方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立6. 【答案】B【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到BOC2D140，根据垂径定理得到COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论【详解】解：连接OB，OC，D70，BOC2D140，OABC，COA，OAOC，OACOCA（18070）55，故选：B【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键7.【答案】C【解析】
11、【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最后根据等腰三角形的性质即可得出结论【详解】解：，a=3，b=4.分两种情况讨论：当腰为3时，3+34，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10，当腰为4时，3+44，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11综上所述：该等腰三角形的周长为10或11故选C【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式8. 【答案】C【解析】【分析】确定半径OA，.根据弧长公式可得【详解】OA=OC+AC=12+4=16(m)
12、，的长为： （m）,故选C .【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，解题的关键是牢记弧长的公式二、填空题9. 方程的解是_【答案】，【解析】【详解】解：，或，故答案为：，10. 已知O的半径为5cm，点P在O内，则OP_5cm（填“”、“”或“”）【答案】【解析】【详解】当点P是O内一点时，OP5cm. 故答案为:.11. 设a，b是一元二次方程的两个实数根，则ab的值为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解【详解】解：a、b是一元二次方程的两个不相等的实数根，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系一元二
13、次方程的根与系数的关系为：，12. 如图，若的度数为105，则BAE_ 【答案】52.5【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系可得，圆周角定理可得，即可求解【详解】解：如图，的度数为105，故答案为：【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键13. 如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截图如图所示若量得EF24cm，则该篮球的半径为_cm【答案】12.5【解析】【分析】取EF的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=16-x，MF=12，在RtMOF中利用勾股定理求得OF的长即可【详解】取EF的
14、中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OF，四边形ABCD是矩形，C=D=90，四边形CDMN是矩形，MN=CD=16cm，设OF=x cm，则ON=OF，OM=MN-ON=16-x，MF=12cm，在RtMOF中，OM2+MF2=OF2，即：(16-x)2+122=x2，解得：x=12.5 (cm)，故答案为：12.5【点睛】本题主考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键14. 已知x1，x2是一元二次方程x24x70的两个实数根，则x124x1x2x22的值是_【答案】2【解析】【分析】先将所求代数式配方，再根据根与系数的关系即可求解【详
15、解】解：根据题意得x1x24，x1 x27，所以，x124x1x2x22，（x1x2）22x1 x2，1614，2故答案为:2【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和，两根之积公式是解题的关键15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步问阔及长各几步意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步若设长为x步，则可列方程为_【答案】x（x12）864【解析】【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：长为x步
16、，宽比长少12步，宽为（x12）步依题意，得：x（x12）864【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键16. 如图，在矩形ABCD中，DC14 cm，AD6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停设运动时间为t s，则t_时，P，Q两点之间的距离是10 cm【答案】#1.2#【解析】【分析】如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可【详解】解：
17、 依题意得：点P从点A移动到点B 需要秒，点Q从点C移动到点D需要14秒，又两点同时出发，一点到达终点时另一点即停，如图，过P点作，垂足为M点， ，四边形ABCD为矩形，A=D=PMD=APM=90，四边形ADMP也是矩形，(三个内角是直角) ，在直角三角形PQM中， ，即或（舍去）时，P、Q两点之间的距离是10cm故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和用平方根的定义解方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_mm【答案】【解析】【分析】根据题意，即是求该正六
18、边形的边心距的2倍构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解【详解】解：如图，设正六边形的中心是O，其一边是AB，AOB=BOC=60，OA=OB=AB=OC=BC， 四边形ABCO是菱形，AB=a，AOB=60，cosBAC=，OA=OC，且AOB=BOC，AM=MC=AC，AC=20mm，a=AB=（mm）故答案为：【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键18. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时
19、扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，为的中点，点到，的距离分别为4和2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据当、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案【详解】如图当、三点共线，距离最小，为的中点，故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键三、解答题19. 解方程：【答案】解：原方程化为：x24x=1配方，得x24x+4=1+4整理，得（x2）2=5x2=,即，【解析】【详解】解一元二次方程根据一元二次方程
20、几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法20. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，画出ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出ABC中AB边上的高【答案】解：（1）如图1，点P就是所求作的点（2）如图2，CD为AB边上的高【解析】【详解】试题分析：（1）图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图，作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就
21、应联想到“直径所对的圆周角为90度”，设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是ABC的三条高的交点（2）由（1），我们能够作出ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高21. 如图，OA、OB、OC是O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得AOC=BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，可得OD=OE，利用SAS判定DOCEOC，继而证
22、得结论【详解】解：CD=CE，理由如下：弧AC和弧BC相等，AOC=BOC，又OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，OD=OE，在DOC和EOC中，DOCEOC（SAS），CD=CE【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键22. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为，且，求m的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据根的判别式可以求解；（2）根据根与系数的关系即可求出答案【详解】解：（1）由题意可知：，方程有两个不相等的实数根（2），且，即，解得：【点睛】本题考查根与系数的
23、关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型23. 如图，AB是O的直径，C为半径OA的中点，CDAB交O于点D，E，DFAB交O于点F，连接AF，AD（1）求DAF的度数；（2）若AB10，求阴影部分面积（结果保留）【答案】（1）30； （2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形边的关系确定的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案；（2）根据已知条件确定的度数，根据“等底同高”确定和面积相等，最后阴影部分的面积即为扇形的面积【小问1详解】连接EF，如图所示，DFAB，CDAB，EDFECB90，EF是O的直径，C为半径OA的中点，OC
24、OAOE，E30，DAFE30【小问2详解】如图，连接OD，则DOF2E60，DFAB，ODAB5，【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、扇形的面积计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键24. 如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC（1）求证：AC是的切线（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，求GF的长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）先证得AOB为等边三角形，从而得出OAB=60，利用三角形外角的性质得出C=CAB=30，由此可得OAC=90即可得出结论；（2）过O作OMDF于M，DNOC于N，
25、利用勾股定理得出AC=，根据含30的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长【详解】（1）证明：AB=OA，OA=OBAB=OA=OBAOB为等边三角形OAB=60，OBA=60BC=OBBC=ABC=CAB又OBA=60=C+CABC=CAB=30OAC=OAB+CAB=90AC是O的切线；（2）OA=4OB=AB=BC=4OC=8AC=D、E分别为AC、OA中点，OE/BC，DC=过O作OMDF于M，DNOC于N则四边形OMDN为矩形DN=OM在RtCDN中，C=30，DN=DC=OM=连接OG，OMGFGF=2MG=2=2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定
26、理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键25. 如图所示，在中，点P从点A出发沿AC以的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止问：几秒钟后面积等于？（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由【答案】（1）后的面积为 （2）存在，或【解析】【分析】（1）设后的面积等于，根据题意设，利用三角形面积公式可得，解出的值即可；（2）根据题意分类讨论：当运动
27、时间为时，利用三角形面积公式可得，解出的值即可；当运动时间为时，利用三角形面积公式可得，解出的值即可【小问1详解】解：，设后的面积等于，则，根据题意，得，整理，得，解得，（不合题意，舍去），后的面积为【小问2详解】解：存在当运动时间为时，根据题意，得，整理，得，解得，（不合题意，舍去）；当运动时间为时，根据题意，得，整理，得，解得，当运动时间为或时，的面积等于【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题目意思，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键26. 如图，AB为O的直径，点C、D都在O上，且CD平分ACB，交AB于点E（1）求证：ABDBCD；（2）若DE13，AE17，求O的半
28、径；（3）DFAC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）12；（3）AF+BCDF，理由见解析【解析】【分析】（1）由CD平分ACB，根据圆周角定理，可得ACDBCDABD；（2）过点E作EMAD于点M，求出AD长，则ABAD，可求出AB,则答案得出；（3）过点D作DNCB，交CB的延长线于点N，可证明DAFDBN，则AFBN，DFCF则结论AF+BCDF可得出【详解】（1）证明：CD平分ACB，ACDBCD，ACDABD，ABDBCD；（2）解：如图1，过点E作EMAD于点M，AB为O的直径，ACB90，ADB90，DABBCD45，AE17，MEAM17，DE13，DMADAM+DM，ABADAO12；（3）AF+BCDF理由如下：如图2，过点D作DNCB，交CB的延长线于点N，四边形DACB内接于圆，DBNDAF，DFAC，DNCB，CD平分ACB，AFDDNB90，DFDN，DAFDBN（AAS），AFBN，CFCN，FCD45，DFCF，CNBN+BCAF+BCDF即AF+BCDF【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定及性质，掌握圆的有关性质，学会对知识融会贯通是解题的关键.
