1、 安徽省淮南市西部地区安徽省淮南市西部地区2021-2022学年学年九年级九年级上上第二次调研数学试卷第二次调研数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1下列几种图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2二次函数 y（x1）2+2 的最小值是（ ） A2 B1 C1 D2 3点 P（4，6）与 Q（2m，n）关于原点对称，则 m+n 的值为（ ） A2 B4 C4 D8 4如图，ABC 与ABC关于 O 成中心对称，下列结论中不成立的是（ ） AOCOC BABCACB C点 B
2、 的对称点是 B DBCBC 5O 中，直径 ABa，弦 CDb，则 a 与 b 大小为（ ） Aab Bab Cab Dab 6如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ） A8AB10 B8AB10 C4AB5 D4AB5 7二次函数 yx2，当 1y9 时，函数值 x 的取值范围是（ ） A1x3 B3x3 C3x1 或 1x3 D3x1 或 1x3 8如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB20，BC4，将纸片沿 MN 折叠，点 B，C分别是 B，C 的对应点，MB 与 DC 交于 K，若MNK 的面积为 10，则
3、DN 的最大值是（ ） A7.5 B12.5 C15 D17 9 如图， 每次旋转都以图中的 A、 B、 C、 D、 E、 F 中不同的点为旋转中心， 旋转角度为 k90 （k 为整数） ，现在要将左边的阴影四边形正好通过 n 次旋转得到右边的阴影四边形，则 n 的值可以是（ ） An1 可以，n2，3 不可 Bn2 可以，n1，3 不可 Cn1，2 可以，n3 不可 Dn1，2，3 均可 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为（ ） A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 6 二、填空
4、题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）抛物线 y+x2 的对称轴是 12 （5 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12cm，E 为 CD 边上一点，DE5cm以点 A 为中心，将ADE 按顺时针方向旋转得ABF，则点 E 所经过的路径长为 cm 13 （5 分）如图，O 过点 B、C圆心 O 在等腰直角ABC 的内部，BAC90，OA1，BC6，则O 的半径为 14 （5 分）设抛物线 yx+（a+1）x+a，其中 a 为实数 （1）不论 a 为何值，该抛物线必经过一定点 ； （2）将抛物线 yx2+（a+1）x+a
5、向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 三、 （本题每小题三、 （本题每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）画出下列图形关于点 O 的中心对称图形 16 （8 分）已知抛物线 yx2+2x1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式 四、 （本题每小题四、 （本题每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图所示，O 的半径为 13cm，O 到弦 AB 的距离是 5cm，求 AB 的长 18 （8 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上 （1）将ABC 向右平移 5 个单
6、位得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）将（1）中的A1B1C1绕点 C1逆时针旋转 90得到A2B2C1，画出A2B2C1 五、 （本题每小题五、 （本题每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分） 如图， 一块等腰直角的三角板 ABC， 在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到CDE 的位置，使 A，C，D 三点在同一直线上 （1）旋转中心为 ，旋转的度数为 （2）连接 AE，求DAE 的度数 20 （10 分）如图，圆 O 中两条互相垂直的弦 AB，CD 交于点 E （1）M 是 CD 的中点，OM4，CD24，求圆 O 的半径长； （2）点 F 在 CD 上
7、，连接 AC，若 CEEF，BC，求证：AFBD 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10，若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到PAB （1）求点 P 与点 P之间的距离； （2）求APB 的大小 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）一商店销售某种商品平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低一元，平均每天可多售出两件 （1）若每件商品降价 2 元
8、，则平均每天可售出 件 （2）每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 1600 元； （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是多少？ 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 B 坐标为（3，0） ，点 C 坐标为（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 M 为该抛物线的顶点，直线 MDx 轴于点 D，在直线 MD 上是否存在点 N，
9、使点 N 到直线 MC 的距离等于点 N 到点 A 的距离？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1下列几种图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：第一个既不是轴对称图形也不是中心对称图形， 第二个不是轴对称图形，是中心对称图形； 第三个是轴对称图形，不是中心对称图形； 第四个既是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形
10、与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2二次函数 y（x1）2+2 的最小值是（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】根据二次函数的性质求解 【解答】解：y（x1）2+2， 当 x1 时，函数有最小值 2 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的最值：当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x，函数最小值 y；当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的
11、增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x，函数最大值 y 3点 P（4，6）与 Q（2m，n）关于原点对称，则 m+n 的值为（ ） A2 B4 C4 D8 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 m，n 的值，进而得出答案 【解答】解：点 P（4，6）与 Q（2m，n）关于原点对称， 2m4，n6， 解得：m2， m+n264 故选：C 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 m，n 的值是解题关键 4如图，ABC 与ABC关于 O 成中心对称，下列结论中不成立的是（ ） AOCOC BABCACB C点 B 的对称点是 B DBCBC 【分析】根据中心对称的性
12、质解决问题即可 【解答】解：ABC 与ABC关于 O 成中心对称， OCOC，BCBC，点 B 的对称点 B， 故 A，C，D 正确， 故选：B 【点评】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型 5O 中，直径 ABa，弦 CDb，则 a 与 b 大小为（ ） Aab Bab Cab Dab 【分析】根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解 【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有 ab 故选：B 【点评】注意理解直径和弦之间的关系 6如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ） A8AB10 B8A
13、B10 C4AB5 D4AB5 【分析】此题可以首先计算出当 AB 与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得 AB8若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时 AB8；又因为大圆最长的弦是直径 10，则 8AB10 【解答】解：当 AB 与小圆相切， 大圆半径为 5，小圆的半径为 3， AB28 大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交， 8AB10 故选：A 【点评】 本题综合考查了切线的性质、 勾股定理和垂径定理 此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长 7二次函数 yx2，当 1y9 时，函数值 x 的取值
14、范围是（ ） A1x3 B3x3 C3x1 或 1x3 D3x1 或 1x3 【分析】 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质， 可以计算出当 1y9 时， 函数值 x 的取值范围 【解答】解：yx2， 该函数图象开口向上，对称轴为直线 x0，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 y1 时，x1；当 y9 时，x3， 当 1y9 时，函数值 x 的取值范围是3x1 或 1x3， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 8如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB20，BC4，
15、将纸片沿 MN 折叠，点 B，C分别是 B，C 的对应点，MB 与 DC 交于 K，若MNK 的面积为 10，则 DN 的最大值是（ ） A7.5 B12.5 C15 D17 【分析】作 NEBM 于 E，NFBM 于 F，由折叠得12，根据角平分线的性质得 NENF，可得四边形 BCNF 是矩形，则 NFBC4，根据MNK 的面积为 10 得 NKMK5，根据勾股定理得 KE3，则 MFMEMKKE532，设 DNx，则 CN20 x，BMBF+MF20 x+222x， 由折叠可得 BMKM，即 22x5可得 x17，即可得 DN17，则 DN 的最大值是 17 【解答】解：作 NEBM 于
16、 E，NFBM 于 F， 由折叠得12， NENF， 四边形 ABCD 是矩形， BCBFN90， 四边形 BCNF 是矩形， NENFBC4， MNK 的面积为 10， KMNEKNNF10， NKMK5， KE3， 在MEN 和MFN 中， ， MENMFN（AAS） ， MFMEMKKE532， 设 DNx，则 CNBF20 x， BMBF+MF20 x+222x， 由折叠得 BMKM，即 22x5 x17，即 DN17， DN 的最大值是 17 故选：D 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键 9 如图，
17、 每次旋转都以图中的 A、 B、 C、 D、 E、 F 中不同的点为旋转中心， 旋转角度为 k90 （k 为整数） ，现在要将左边的阴影四边形正好通过 n 次旋转得到右边的阴影四边形，则 n 的值可以是（ ） An1 可以，n2，3 不可 Bn2 可以，n1，3 不可 Cn1，2 可以，n3 不可 Dn1，2，3 均可 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可 【解答】解：将左边的阴影四边形绕点 E 顺时针旋转 90得到右边的阴影四边形，此时 n1 左边的阴影四边形绕点 A 逆时针旋转 90，再将得到的四边形绕点 C 顺时针旋转 180可得右边的阴影四边形，此时 n2 左边的阴影四边形绕点 B
18、顺时针旋转 90，再将得到的四边形绕点 E 顺时针旋转 90，将得到的四边形绕点 C 逆时针旋转 90可得右边的阴影四边形，此时 n3 故选：D 【点评】 本题考查旋转变换， 解题的关键是理解题意， 灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为（ ） A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 6 【分析】分 h2、2h5 和 h5 三种情况考虑：当 h2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2h5 时，由此时函
19、数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情况不存在；当 h5 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论 【解答】解：当 h2 时，有（2h）21， 解得：h11，h23（舍去） ； 当 2h5 时，y（xh）2的最大值为 0，不符合题意； 当 h5 时，有（5h）21， 解得：h34（舍去） ，h46 综上所述：h 的值为 1 或 6 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h2、2h5 和 h5 三种情况求出 h值是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）
20、 11 （5 分）抛物线 y+x2 的对称轴是 x1 【分析】根据二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴直线 x进行计算即可 【解答】解：二次函数 yx2+x2 的图象的对称轴是直线 x1， 故答案为：x1 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数一般式 yax2+bx+c（a0）的对称轴直线 x 12 （5 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12cm，E 为 CD 边上一点，DE5cm以点 A 为中心，将ADE 按顺时针方向旋转得ABF，则点 E 所经过的路径长为 cm 【分析】先利用勾股定理求出 AE 的长，然后根据旋转的性质得到旋转角为DAB90，最后根据弧
21、长公式即可计算出点 E 所经过的路径长 【解答】解：AD12cm，DE5cm， AE13（cm） ， 又将ADE 按顺时针方向旋转得ABF，而 ADAB， 旋转角为DAB90， 点 E 所经过的路径长（cm） 故答案为 【点评】本题考查了弧长公式：l；也考查了正方形的性质以及旋转的性质 13 （5 分）如图，O 过点 B、C圆心 O 在等腰直角ABC 的内部，BAC90，OA1，BC6，则O 的半径为 【分析】过 O 作 ODBC，由垂径定理可知 BDCDBC，根据ABC 是等腰直角三角形可知ABC45，故ABD 也是等腰直角三角形，BDAD，再由 OA1 可求出 OD 的长，在 RtOBD
22、中利用勾股定理即可求出 OB 的长 【解答】解：过 O 作 ODBC， BC 是O 的一条弦，且 BC6， BDCDBC63， OD 垂直平分 BC，又 ABAC， 点 A 在 BC 的垂直平分线上，即 A，O 及 D 三点共线， ABC 是等腰直角三角形， ABC45， ABD 也是等腰直角三角形， ADBD3， OA1， ODADOA312， 在 RtOBD 中， OB 故答案为： 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 14 （5 分）设抛物线 yx+（a+1）x+a，其中 a 为实数 （1）不论 a 为何值，该抛物线必经过一定点 （
23、1，0） ； （2）将抛物线 yx2+（a+1）x+a 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 2 【分析】 （1）将抛物线解析式 yx2+（a+1）x+a 变形为 yx2+a（x+1）+x，当 x+10 时，无论 a 为何值，抛物线横过某一定点； （2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值 【解答】解： （1）将抛物线解析式 yx2+（a+1）x+a 变形为 yx2+a（x+1）+x， 当 x+10 即 x1 时，抛物线恒过定点（1，0） 故答案是： （1，0） ； （2）yx2+（a+1）x+a 向上平移 2 个单位可
24、得，yx2+（a+1）x+a+2， y（x+）2（a1）2+2， 抛物线顶点的纵坐标 m（a1）2+2， 0， m 的最大值为 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单 三、 （本题每小题三、 （本题每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）画出下列图形关于点 O 的中心对称图形 【分析】分别作出三个顶点关于点 O 的对称点，再首尾顺次连接即可 【解答】解：如图所示，ABC即为所求 【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点 16 （8 分）已知抛物线 yx2+2
25、x1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式 【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可 【解答】解：抛物线 yx2+2x1（x+1）22 所以其顶点（1，2）关于原点对称的点的坐标为（1，2） ， 所以，抛物线为 y（x1）2+2x2+2x+2，即 yx2+2x+2 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质抛物线关于原点成中心对称的抛物线的开口方向相反 四、 （本题每小题四、 （本题每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分）如图所示，O 的半径为 13cm，O 到弦 AB 的距离是 5cm，求 AB
26、 的长 【分析】 在OBD 中， 利用勾股定理即可求得 BD 的长， 然后根据垂径定理可得： AB2BD， 即可求解 【解答】解：连接 OB，作 ODAB 于 D， 在 RtODB 中，OD5cm，OB13cm 由勾股定理得：BD2OB2OD213252144， BD12， 又 ODAB， AB2BD21224cm 【点评】本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形 18 （8 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上 （1）将ABC 向右平移 5 个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1；
27、 （2）将（1）中的A1B1C1绕点 C1逆时针旋转 90得到A2B2C1，画出A2B2C1 【分析】 （1）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）利用旋转变换的性质分别作出 A1，B1的对应点 A2，B2即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作 （2）如图，A2B2C1即为所求作 【点评】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型 五、 （本题每小题五、 （本题每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分） 如图， 一块等腰直角的三角板 ABC， 在水平桌面上绕
28、点 C 按顺时针方向旋转到CDE 的位置，使 A，C，D 三点在同一直线上 （1）旋转中心为 点 C ，旋转的度数为 135 （2）连接 AE，求DAE 的度数 【分析】 （1）由已知直接可得旋转中心为点 C，旋转的度数为 135； （2）由CAE+CEA45，ACCE，即得CAECEA22.5，故DAE 的度数为 22.5 【解答】解： （1）等腰直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到CDE 的位置， 旋转中心为点 C，旋转的度数为 135， 故答案为：点 C，135； （2）如图： ECDACB45， CAE+CEA45， ACCE， CAECEA22.5， DAE
29、的度数为 22.5 【点评】 本题考查等腰直角三角形中的旋转问题， 解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质 20 （10 分）如图，圆 O 中两条互相垂直的弦 AB，CD 交于点 E （1）M 是 CD 的中点，OM4，CD24，求圆 O 的半径长； （2）点 F 在 CD 上，连接 AC，若 CEEF，BC，求证：AFBD 【分析】 （1）连接 OD，OMCD，根据垂径定理得出 DMCMCD12，根据勾股定理求出 OD 即可； （2）延长 AF 交 BD 于 Q，求出 AFAC，根据等腰三角形的性质得出CAFC，根据圆周角定理得出BC，求出BDFQ，求出B+D90，求出DFQ+D90
30、即可 【解答】 （1）解：连接 OD， OMCD，OM 过圆心 O，CD24， DMCMCD12，OMD90， 由勾股定理得：OD4， 即圆 O 的半径长是 4； （2）证明：延长 AF 交 BD 于 Q， ABCD，CEEF， AFAC， CAFC， DFQAFC，BC， BDFQ， ABCD， DEB90， B+D90， DFQ+D90， DQF180（DFQ+D）90， AFBD 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记垂径定理是解（1）的关键，能求出BDFQ 是解（2）的关键 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （1
31、2 分）如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10，若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到PAB （1）求点 P 与点 P之间的距离； （2）求APB 的大小 【分析】 （1）根据旋转的性质即可求出两点之间的距离 （2）由旋转可知：PBPC10，PB8，PB2PP2+PB2，从而可知PPB 为直角三角形，从而求出APB 的大小 【解答】解： （1）由旋转的性质知 APAP6，PABPAC， PAPBAC60， PAP 是等边三角形， PP6； （2）PBPC10，PB8， PB2PP2+PB2， PPB 为直角三角形，且PPB90， APBPPB+PPA90+6015
32、0 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于基础题型 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）一商店销售某种商品平均每天可售出 20 件，每件盈利 50 元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低一元，平均每天可多售出两件 （1）若每件商品降价 2 元，则平均每天可售出 24 件 （2）每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 1600 元； （3）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是多少？ 【分析】 （1）利用平均每天的销售量20+降
33、低的价格2，即可求出每件商品降价 2 元时平均每天的销售量； （2）设每件商品降价 x 元，则每件盈利（50 x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用该商品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再结合每件盈利不少于 25 元，即可确定 x 的值； （3）设商店每天的销售利润为 y 元，利用该商品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值 【解答】解： （1）20+2224（件） ， 故答案为：24； （2）设每件商品降价 x 元，则每件盈利（50 x）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依
34、题意得： （50 x） （20+2x）1600， 整理得：x240 x+3000， 解得：x110，x230， 当 x10 时，50 x50104025，符合题意； 当 x30 时，50 x50302025，不符合题意，舍去 答：当每件商品降价 10 元时，该商品每天的销售利润为 1600 元； （3）设商店每天的销售利润为 y 元，由（2）得： y（50 x） （20+2x） 2x2+80 x+1000 2（x20）2+1800， 20， 当 x20 时，y 有最大值，最大值为 1800， 当每件商品降价 20 元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是 1800 元 【点评】本题考查了二次函
35、数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 B 坐标为（3，0） ，点 C 坐标为（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 M 为该抛物线的顶点，直线 MDx 轴于点 D，在直线 MD 上是否存在点 N，使点 N 到直线 MC 的距离等于点 N 到点 A 的距离？若存在，求出点
36、N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式； （2）过点 P 作 PHx 轴于 H，交 BC 于点 G，先求出 BC 的解析式，设点 P（m，m2+2m+3） ，则点 G（m，m+3） ，由三角形面积公式可得 SPBCPGOB3（m2+3m）（m）2+，由二次函数的性质可求解； （3）设直线 MC 与 x 轴交于点 E，过点 N 作 NQMC 于 Q，先求出点 A，点 M 坐标，可求 MC 解析式，可得 DE4MD， 由等腰直角三角形的性质可得 MQNQMN， 由两点距离公式可列 （|4n|）24+n2，即可求解 【解答】解： （1）点 B（3，0） ，点 C（
37、0，3）在抛物线 yx2+bx+c 图象上， ， 解得：， 抛物线解析式为：yx2+2x+3； （2）点 B（3，0） ，点 C（0，3） ， 直线 BC 解析式为：yx+3， 如图，过点 P 作 PHx 轴于 H，交 BC 于点 G， 设点 P（m，m2+2m+3） ，则点 G（m，m+3） ， PG（m2+2m+3）（m+3）m2+3m， SPBCPGOB3（m2+3m）（m）2+， 当 m时，SPBC有最大值， 点 P（，） ； （3）存在 N 满足条件， 理由如下：抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点， 点 A（1，0） ， yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 M
38、 为（1，4） ， 点 M 为（1，4） ，点 C（0，3） ， 直线 MC 的解析式为：yx+3， 如图，设直线 MC 与 x 轴交于点 E，过点 N 作 NQMC 于 Q， 点 E（3，0） ， DE4MD， NMQ45， NQMC， NMQMNQ45， MQNQ， MQNQMN， 设点 N（1，n） ， 点 N 到直线 MC 的距离等于点 N 到点 A 的距离， NQAN， NQ2AN2， （MN）2AN2， （|4n|）24+n2， n2+8n80， n42， 存在点 N 满足要求，点 N 坐标为（1，4+2）或（1，42） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键
