1、 第一章第一章预备知识预备知识 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分) ) 1(2021全国新高考卷)设集合Ax|2x4，B2,3,4,5，则AB( ) A2 B2,3 C3,4 D2,3,4 2命题“x0，x22x10”的否定是( ) Ax00，x202x010 Bx0，x22x10 Cx00，x202x010 Dx0，x22x10 3设aR R，则a3 是|a|3 的( ) A既不充分也不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D充分不必要条件 4下列命题正确的是( ) A若ab，则1a1b B若ab0，
2、cd，则acbd C若ab，则ac2bc2 D若ac2bc2，则ab 5已知 2x3y3，若x，y均为正数，则3x2y的最小值是( ) A53 B83 C8 D24 6集合yN N|yx26，xN N的真子集的个数是( ) A9 B8 C7 D6 7若不等式 4x2ax40 的解集为 R R，则实数a的取值范围是( ) Aa|16a0 Ba|16a0 Ca|a0 Da|8a8 8中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式Sppapbpc求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满
3、足ab12，c8，则此三角形面积的最大值为( ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列命题中，是全称量词命题的有( ) A至少有一个x使x22x10 成立 B对任意的x都有x22x10 成立 C对任意的x都有x22x10 不成立 D存在x使x22x10 成立 10下列命题中真命题的是( ) A“ab0”是“a2b2”的充分条件 B“ab”是“3a3b”的充要条件 C“ab”是“|a|b|”的充分条件 D
4、“ab”是“ac2bc2”的必要条件 11已知不等式ax2bxc0 的解集为x|12x2 ，则下列结论正确的是( ) Aa0 Bb0 Cc0 Dabc0 12设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( ) Aab2abab Ba|ab|b Ca2b24ab3b2 Dab2ab2 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中横线上) 13若x1，则y3x1x1的最小值是_ 14不等式ax25xc0 的解集为x|13x12，则a_，c_ 15已知集合A1,2,3，Bx|3xa0，若AB，则a的值为_ 16在下列所示电路图中，下列说法正确的是_(填序号) (1)如图所示，
5、开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； (2)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； (3)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； (4)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知全集U0,1,2,3,4,5,6，集合AxN N|1x4，BxR R|x23x20 (1)用列举法表示集合A与B； (2)求AB及U(AB) 18(本小题满分 12 分)设集合Ax|1x2，集合Bx|2mx1 (1)若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围； (2)若命题
6、“B(R RA)中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围 19(本小题满分 12 分)已知不等式ax23x64 的解集为x|x1 或xb (1)求a，b； (2)解不等式ax2(acb)xbc0 20(本小题满分 12 分)已知关于x的不等式(kxk24)(x4)0，其中kR R (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足AZ ZB(其中 Z Z 为整数集)，试探究集合B能否为有限集 若能， 求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值， 并用列举法表示集合B； 若不能，请说明理由 21(本小题满分 12 分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为 400 万元，
7、每生产 1 万部还需另投入 160 万元设公司一年内共生产该款手机x(x40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)74 000 x400 000 x2 (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 22(本小题满分 12 分)已知函数yx2mxn(m，nR R) (1)若mn0，解关于x的不等式yx(结果用含m式子表示)； (2)若存在实数m，使得当xx|1x2时，不等式xy4x恒成立，求负数n的最小值 第一章综合测试第一章综合测试 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题
8、共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分) ) 1 (2021全国新高考卷)设集合Ax|2x4，B2,3,4,5， 则AB( ) A2 B2,3 C3,4 D2,3,4 解析 由题设有AB2,3，故选 B 2命题“x0，x22x10”的否定是( A ) Ax00，x202x010 Bx0，x22x10 Cx00，x202x010 Dx0，x22x10 解析 含有量词的命题的否定，一改量词将“”改为“”，二否结论将“”改为“”，条件不变，故选 A 3设aR R，则a3 是|a|3 的( D ) A既不充分也不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D充分
9、不必要条件 解析 由“a3”能推出“|a|3”，充分性成立；反之由|a|3 无法推出a3，必要性不成立故选 D 4下列命题正确的是( D ) A若ab，则1a1b B若ab0，cd，则acbd C若ab，则ac2bc2 D若ac2bc2，则ab 解析 由题意，对于选项 A 中，当a0b时，此时1a1b，所以 A 是错误的；对于选项B 中，当 0cd时，此时不等式不一定成立，所以 B 是错误的；对于选项 C 中，当c0 时，不等式不成立，所以 C 是错误的 根据不等式的性质，可得若ac2bc2时，则ab是成立的，所以 D 是正确的 5已知 2x3y3，若x，y均为正数，则3x2y的最小值是( C
10、 ) A53 B83 C8 D24 解析 因为 2x3y3，x，y均为正数， 则3x2y133x2y(2x3y) 13129yx4xy1229yx4xy38， 当且仅当9yx4xy且 2x3y3， 即x34，y12时取等号，所以3x2y的最小值是 8 6集合yN N|yx26，xN N的真子集的个数是( C ) A9 B8 C7 D6 解析 x0 时，y6；x1 时，y5；x2 时，y2；x3 时，y3 所以yN N|yx26，xN N2,5,6共 3 个元素，其真子集的个数为 2317 个，故选 C 7若不等式 4x2ax40 的解集为 R R，则实数a的取值范围是( D ) Aa|16a0
11、 Ba|16a0 Ca|a0 Da|8a8 解析 不等式 4x2ax40 的解集为 R R， 所以a24440，解得8a8， 所以实数a的取值范围是a|8a8 8中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式Sppapbpc求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足ab12，c8，则此三角形面积的最大值为( C ) A4 5 B4 15 C8 5 D8 15 解析 由题意，p10， Sabc ab 2010a10b2 8 5，当且仅当ab6 时取等号，所以此三角形面积的最大值为
12、8 5 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列命题中，是全称量词命题的有( BC ) A至少有一个x使x22x10 成立 B对任意的x都有x22x10 成立 C对任意的x都有x22x10 不成立 D存在x使x22x10 成立 解析 A 和 D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B 和 C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以 B、C 是全称量词命题故选 BC 10下列命题中真命题的是( AB ) A“ab0”是“a2
13、b2”的充分条件 B“ab”是“3a3b”的充要条件 C“ab”是“|a|b|”的充分条件 D“ab”是“ac2bc2”的必要条件 解析 当ab0 时a2b2，A 正确；B 正确；对于 C，当a1，b2 时，满足ab，但|a|b|，故 C 不正确；对于 D，“ab”与“ac2bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确故选 AB 11已知不等式ax2bxc0 的解集为x|12x2 ，则下列结论正确的是( BCD ) Aa0 Bb0 Cc0 Dabc0 解析 因为不等式ax2bxc0 的解集为x|12x2 ，故相应的二次函数yax2bxc的图象开口向下，所以a0，故 A 错误；易知 2 和12是方
14、程ax2bxc0 的两个根，则有ca10，ba320，又a0，故b0，c0，故 BC 正确；由二次函数的图象可知当x1 时yabc0，故 D 正确，故选 BCD 12设a、b是正实数，下列不等式中正确的是( BD ) Aab2abab Ba|ab|b Ca2b24ab3b2 Dab2ab2 解析 对于 A，ab2abab12ababab2ab，当ab0 时，不等式不成立，故A 中不等式错误；对于 B，ab|ab|a|ab|b，故 B 中不等式正确；对于 C，a2b24ab3b2a24b24ab0(a2b)20， 当a2b时， 不等式不成立， 故 C 中不等式错误；对于 D，ab2ab2 22，
15、故 D 中不等式正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中横线上) 13若x1，则y3x1x1的最小值是_32 3_ 解 析 x 1 ， x 1 0 ， 因 此y 3x1x1 3(x 1) 1x132x1x1332 3， 当且仅当3(x1)1x1， 即x331时取等号， 因此y3x1x1的最小值是 32 3 14不等式ax25xc0 的解集为x|13x12，则a_6_，c_1_ 解析 由题意知a0，且不等式对应方程的两个根分别为13，12，根据根与系数的关系 得 5a1312，ca1312，解得 a6，c1. 15 已知集合A1,2,3，Bx|3xa0，
16、若AB， 则a的值为_3 或 6 或 9_ 解析 由题意可知Bx|xa3 若AB， 则a31 或a32 或a33， 得a3 或 6 或 9 16在下列所示电路图中，下列说法正确的是_(1)(2)(3)_(填序号) (1)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； (2)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； (3)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； (4)如图所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件 解析 (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(
17、3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知全集U0,1,2,3,4,5,6，集合AxN N|1x4，BxR R|x23x20 (1)用列举法表示集合A与B； (2)求AB及U(AB) 解析 (1)由题知，A2,3,4，BxR R|(x1)(x2)01,2 (2)由题知，AB2，AB1,2,3,4，所以U(AB)0,5,6 18(本小题满分 12 分)设集合Ax|
18、1x2，集合Bx|2mx1 (1)若“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围； (2)若命题“B(R RA)中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围 解析 (1)若“xA”是“xB”的必要条件，则BA由题知，Ax|1x2 当m12时，Bx|2mx1，此时12m1，解得12m12； 当m12时，B，BA成立 综上，实数m的取值范围是12， (2)Ax|1x2，R RAx|x1 或x2 当m12时，Bx|2mx1， 若(R RA)B中只有一个整数，则32m2， 得32m1； 当m12时，B，(R RA)B，不符合题意 综上，实数m的取值范围是32，1 19(本小题满分 12 分)已知不
19、等式ax23x64 的解集为x|x1 或xb (1)求a，b； (2)解不等式ax2(acb)xbc0 解析 (1)因为不等式ax23x64 的解集为x|x1 或xb，所以x11 与x2b是方程ax23x20 的两个实数根，且b1由根与系数的关系得 1b3a，1b2a，解得 a1，b2. (2)结合(1)可知，原不等式可化为x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)0所以 当c2 时，不等式的解集为x|2xc； 当c2 时，不等式的解集为x|cx2； 当c2 时，不等式的解集为 20(本小题满分 12 分)已知关于x的不等式(kxk24)(x4)0，其中kR R (1)当k变化时，试求不等式的解
20、集A； (2)对于不等式的解集A，若满足AZ ZB(其中 Z Z 为整数集)，试探究集合B能否为有限集 若能， 求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值， 并用列举法表示集合B； 若不能，请说明理由 解析 (1)当k0 时，A(，4)；当k0 时，A(，4)k4k， ；当k0 时，Ak4k，4 (2)由(1)知，当k0 时，集合B中的元素的个数无限； 当k0 时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集 因为k4kk4k4， 当且仅当k2 时， 等号成立， 所以当k2 时，集合B中的元素个数最少，此时A(4,4)，故集合B3，2，1，0,1,2,3 21(本小题满分 12 分)已知某公司
21、生产某款手机的年固定成本为 400 万元，每生产 1 万部还需另投入 160 万元设公司一年内共生产该款手机x(x40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)74 000 x400 000 x2 (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 解析 (1)由题意， 可得年利润W关于年产量x的函数关系式为WxR(x)(160 x400) x74 000 x400 000 x2(160 x400) 74 000400 000 x160 x400 73 600400 000 x160
22、 x(x40) (2)由(1)可得W73 600400 000 x160 x 73 6002400 000 x160 x 73 60016 00057 600， 当且仅当400 000 x160 x，即x50 时取等号，所以当年产量为 50 万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大值 57 600 万元 22(本小题满分 12 分)已知函数yx2mxn(m，nR R) (1)若mn0，解关于x的不等式yx(结果用含m式子表示)； (2)若存在实数m，使得当xx|1x2时，不等式xy4x恒成立，求负数n的最小值 解析 (1)由题得：xx2mxm，即(xm)(x1)0； m1 时可得xR R； m1 时，m1，可得不等式的解集为x|x1 或xm； m1 时，m1， 可得不等式的解集为x|xm或x1 (2)xx|1x2时，xx2mxn4x恒成立， 即为 1xnxm4 对xx|1x2恒成立， 即存在实数m，使得xnx1mxnx4 对xx|1x2恒成立， 所以xnx1maxmxnx4min， 即xnx1maxxnx4min 由yxnx(n0)在1,2上递减， 所以n2n2，即n4，所以负数n的最小值为4
