1、13.3.1 等腰三角形 第1课时 看到下边三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质. 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 1 知识点 等腰三角形边角性质：等边对等角 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC 有什么特点？ A B C D 仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？ 等腰三角形的特征: (1)等腰三角形的两个底角相等； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质. 如图， ABC中，AB=AC，作底边BC的中线
2、AD. AB=AC， BD=CD， AD=AD， BAD CAD (SSS). B=C. 这样，我们就证明了性质1 归 纳 我们可以发现等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对顶角”）. 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数. 解： AB=AC， BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD(等边对等角）. 设A=x，则 BDC=A+ABD=2x， 从而ABC=C=BDC=2x. 于是在ABC中，有A+ ABC=C=x+2x=2x=180. 解得x=36. 所以，在ABC 中，A=36， ABC=C=72.
3、 1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. 解：(1)72; (2)30. 2.若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为( ) A40 B50 C60 D70 D 3.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，BD平分ABC，A36， 则1的度数为( ) A36 B60 C72 D108 C 4.如图，在ABC中，ABAC，BAC100，AB的垂直平分线DE 分别交AB、BC于点D、E，则BAE( ) A80 B60 C50 D40 D 2 知识点 等腰三角形的轴对称性：“三线合一” 探究 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 由这些重合的线段和角，你能发现
4、等腰三角形的性质吗？说一说你的 猜想. 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一 折.你的猜想仍然成立吗？ 归 纳 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高相互重合（简写成“三线合一”） 例2 如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F. (1)若BAD25，求C的度数； (2)求证：EFED. (1)解：ABAC，AD是BC边上的中线， BADCAD，BAC2BAD50. ABAC， CABC (180A) (18050)65. (2)证明：ABAC，AD是BC边上的中线， EDBC，
5、 又BG平分ABC，EFAB，EFED. 1212总 结 (1)等腰三角形的“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的证明戒计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活 (2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用 “三线合一”是等腰三角形中常用的方法 1.如图，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，BAD35，则C 的度数为( ) A35 B45 C55 D60 C 2.如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么 下列结论丌一定正确的是 ( ) AADBC BEBCEC
6、B CABEACE DAEBE D 3.如图，在ABC中，ABAC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果 只添加一个条件使DABEAC，则添加的条件丌能为( ) ABDCE BADAE CDADE DBECD C 1.等腰三角形的两个_相等(简写成“等边对等角”)；这里要注意： “等边对等角”是在_三角形中 底角 同一个 2.等腰三角形的顶角_、底边上的_、底边上的_相互重合(简写成“_”) 平分线 中线 高 三线合一 3.如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D.若AB6， CD4，则ABC的周长是_ 20 4.如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，且DADC，BDBA， 则B的大
7、小为( ) A40 B36 C30 D25 B 5.如图，在ABC中，ABC63，点D，E分别是ABC的边BC，AC 上的点，且ABADDEEC，则C的度数是( ) A21 B19 C18 D17 A 6.如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD为BAC的平分线，AD 3，BC4，则图中阴影部分的面积是( ) A3 B6 C9 D12 A 7.已知ABC的周长是1，BC12AB，则下列直线一定为ABC的对 称轴的是( ) AABC的边AB的垂直平分线 BACB的平分线所在的直线 CABC的边BC上的中线所在的直线 DABC的边AC上的高所在的直线 C 8.如图，在ABC中，ABAC，ADBC
8、于点D，DEAB于点E，DF AC于点F，下列结论：BADCAD；AD上任意一点到AB， AC的距离相等；BDCD；若点P在直线AD上，则PBPC . 其 中正确的是( ) A B C D D 9.如图，在ABC中，ABAC，AD是角平分线， 点E在AD上请写出图中两对全等三角形，并 选择其中的一对加以证明 解：ABEACE， EBDECD， ABDACD(任选其中的两对写出即可) 选择ABDACD证明如下(也可以选择其他两对进行证明)： ABAC， ABDACD. AD是角平分线， BADCAD. 又ABAC， ABDACD(ASA) 10.如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，点D， E分
9、别在边AB， AC上，且ADAE，连接BE，CD，交于点F. (1)判断ABE不ACD的数量关系，并说明理由； 解：ABEACD.理由如下： ABAC，BAEDAC，AEAD， ABEACD(SAS) ABEACD. (2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC. 证明：ABAC， ABCACB. ABEACD， ABCABEACBACD， 即FBCFCB. 易得FBFC. 点F在线段BC的垂直平分线上又由ABAC可得点A也在线段BC的垂直平分线上， 过点A，F的直线垂直平分线段BC. 11.如图，AB，AEBE，点D在AC边上，12，AE和BD相交于点O. (1)求证AECBED； 证明：AE和BD相交于点O， AODBOE. AB， BEO2. 又12， 1BEO. AECBED. 在AEC和BED中， ABAEBEAECBED ，AECBED(ASA) (2)若142，求BDE的度数 解：AECBED， ECED，CBDE. 在EDC中，ECED，142， CEDC (18042)69. BDEC69. 12 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高
