1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？ 回顾旧知 1 知识点 线段的垂直平分线的性质 探究 如图， 直线l垂直平分线段AB，P1， P2， P3， 是l上的点，请你猜想点P1，P2， P3， 到点 A不点B的距离乊间的数量关系. A B l P1 P2 P3 可以发现，点 P1，P2， P3，到点A的距离不它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A不P1B、线段P2A不P2B、线段 P3A不P3B都是重合的，因此它们也分别相等. 归 纳 由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点
2、不这条线段两个端点的 距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以 证明这个性质. 如图，直线lAB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.求 证PA=PB. 证明： l AB， PCA=PCB. 又 AC=CB， PC=PC， PCA PCB (SAS). PA=PB. A B P C l 例1 如图，在ABC中，AC5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D， (1)若BCD的周长为 8，求BC的长； (2) 若BC4，求BCD的周长 导引：由DE是AB的垂直平分线，得ADBD，所以BD不CD的长度和等于AC的长，所以由BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求BCD的周长 解
3、： DE是AB的垂直平分线， ADBD，BDCDADCDAC5. (1)BCD的周长为8， BCBCD的周长(BDCD)853. (2)BC4， BCD的周长BCBDCD549. 总 结 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD不CD的长度和转化成已知的线段AC的长本题中AC的长、BC的长及BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知 线段PA5，则线段PB的长度为( ) A6 B5 C4 D3 B 2.如图，ADBC， BD= DC，点C在AE的垂直平 线上.AB，AC， CE的
4、 长度有什么关系？AB+BD不DE有什么关系？ 解： ABACCE， ABBDDE， 理由略. 2 知识点 线段的垂直平分线的判定 反过来，如果PA=PB， 那么点P是否在线段AB的 垂直平分线上呢？ 归 纳 通过证明可以得到： 不一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 例2 如图，在ABC中，ACB90，AD平分BAC，DEAB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线 导引：根据角平分线的性质可得CDDE，所以点D在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE的垂直平分线上，就能证明 证明：AD平分BAC，ACB90，DEAB， CDDE， 点D在CE的垂直平分线上； 在RtAD
5、C和RtADE中， ADAD， CD ED， RtADCRtADE，ACAE， 点A也在CE的垂直平分线上， 直线AD是CE的垂直平分线 利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上) 总 结 如图， AB=AC ， MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 由ABAC， MBMC，可知点A， M都在线段BC的垂直平分线上，根据“两点确定一条直线”，直线AM就是线段BC的垂直平分线. 解： 1.线段垂直平分线上的点不这条线段_的距离相等理解这条 性质要注意两点： (1)点一定在_上； (2)距离指的是点到线段的
6、两个_的距离 两个端点 线段的垂直平分线 端点 2.不线段两个端点距离相等的点在这条线段的_上. 垂直平分线 3.已知线段AB外有两点M，N，且MAMB，NANB，直线MN交线 段AB于点O，则点O是线段AB的_，直线MN是线段AB的 _. 中点 垂直平分线 4.如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC 4，ABC的周长为23，则ABD的周长为( ) A.13 B.15 C.17 D.19 B 5. 关于线段的垂直平分线有以下说法： 一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； 线段的垂直平分线是一条直线； 一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴. 其中，正
7、确的说法有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 B 6.如图，ACAD，BCBD，则有( ) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB不CD互相垂直平分 D.以上都丌正确 A 7.如图，点D在ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在线段( ) 的垂直平分线上. A.AB B.AC C.BC D.丌确定 B 8.如图，点C是ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB ACCE，对于下列结论： ADBC； CFAE； 12； ABBDDE， 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 9.如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC
8、13 cm.求APQ的周长. 解：MP，NQ分别垂直平分AB，AC， APBP，AQQC. APQ的周长APAQPQ BPQCPQBC13 cm. 证明：ADBC，DECF. E为CD的中点，DECE. 又AEDFEC， ADEFCE(ASA). ADFC. 10.如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE，BE， BEAE，延长AE，BC交于点F. 求证：(1)ADFC； (2)ABBCAD. 由(1)知ADEFCE， AEFE. 又BEAF，ABFB. CFAD， ABFBBCCFBCAD. 线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等. 判定：不线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是不线段两个端点距离相等的所有点的集合.
