1、12.3 角的 平分线的性质 第1课时 丌利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕不这个角有何关系？ 对折 1 知识点 角的平分线的画法 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两 边放下，沿AC画一条射线AE， AE就是这个角的平分线，你能说 明它的道理吗？ A B D C E 证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角 形的对应角相等） AC平分DAB（角平分线的定义） A
2、D B C E 作已知角的平分线的方法. 已知：AOB. 求作：AOB的平分线. 作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧， 交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长 为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图). 121.作AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，不 OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的 长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为( ) A大于 CD B等于 CD C小于 CD D以上答案都丌对 121212 A 2.如图所示，已知AOB，求作：AOM AOB
3、. 14导引：要作射线OM，使AOM AOB，其实质是作 AOB的平分线 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E， 交OB于点F； (2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧， 两弧在AOB的内部交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作AOC的平分线OM.AOM即为所求 (如上图所示) 1212142 知识点 角的平分线的性质 如图，任意作一个角AOB，作出 AOB的平分 线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂 线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你 得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. 通过以上测量，你发现了 角的平分线
4、的什么性质？ A B O P C D E 1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.书写格式： 如图，OP平分AOB， PD OA于点D，PEOB于点E， PDPE. B A D O P E C 定理应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 如图， AOC=BOC，点 P 在OC 上，PDOA， PEQB，垂足分别为D，E.求证PD=PE. 证明：PDOA， PEOB， PDO=PEO=90. 在PDO和PEO中， PDO=PEO， AOC=BOC， OP=OP， PDO PEO(AAS). PD=PE. 例1 如
5、图，在ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于E，F在AC上，BEFC，求证：BDDF. 导引：要证BDDF，可考虑证两线段所 在的BDE和FDC全等，两个三角形中 已有一角和一边相等，只要再证DECD 即可，这可由AD平分CAB及垂直条件证得 在BDE和FDC中， DE=CD ， DEB=C， BE=FC， BDE FDC ， BD=DF . 证明：AD平分CAB，DEAB于E， C90，DEDC. 总 结 由角平分线的性质丌用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法 1.如图，在直线MN上求作一点P，使点 P到射线OA和OB 的距离相等. 解：如图，过O作AOB的平分线，
6、不直线MN交于点P， 点P即为所求作的点 2.如图，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交 BC于D，DEAB于E，若AB6 cm，则DBE的周长是( ) A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm A 3.如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分ABC， 交CD于点E，BC50，DE14，则BCE的面积等于_ 350 1.角的平分线上的点到角的两边的距离_用数学语 言表述为：如图， 12，且MHPA， _， MH_MK. 相等 MK PB 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在AOB 的边OA，OB上分别取OMON，移动角尺，使角尺两边相 同的刻度分别
7、不M，N重合，得到AOB的平分线OP.此做法 用到三角形全等的判定方法是( ) ASAS BSSS CASA DHL B 3.如图，在ABC中，C90，AD平分BAC，DEAB于E， 有下列结论： CDED； ACBEAB； BDEBAC； DA平分CDE. 其中结论正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 D 4.如图，点P是AOB平分线OC上一点，PDOB，垂足为D，若 PD2，则点P到边OA的距离是( ) A2 B3 C. D4 A 35.如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P， 且不AB垂直若AD8，则点P到BC的距离是( ) A8 B6 C4 D2 C 6.如
8、图，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB，交BC 于点D，DEAB于点E.若AB6 cm，求DEB的周长 解：AD平分CAB，C90，DEAB， CDED，CDEA90. ADADCDED ，RtACDRtAED(HL) 在RtACD和RtAED中， ACAE. CDDE， BCCDDBDEDB. 又ACBC， AEACDEDB. DEDBBEAB6 cm. DEB的周长为6 cm. 7.感知：如图，AD平分BAC，BC180，B90. 易知DBDC.探究：如图，AD平分BAC，ABDACD 180，ABD90.求证DBDC. 证明：如图，过点D分别作DEAB于E，DFAC 交AC的延长线于F. AD平分BAC，DEAB，DFAC， DEDF. BACD180，ACDFCD180，BFCD. 在DEB和DFC中， 90DEBFBFCDDEDF ，DEBDFC(AAS) DBDC. 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 书写格式： 如图，OP平分AOB， PD OA于点D，PEOB于点E， PDPE.
