1、2022 年四川省广元市中考数学试卷年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意每小题一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若实数 a 的相反数是3，则 a 等于（ ） A3 B0 C D3 2 （3 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D三棱柱 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax2+xx3 B （3x）26x2 C3y2x2y6x2y2 D （x2y） （x+2y）x22y2 4 （3 分）如图，直线 ab，将三角尺直角顶点放在直线 b 上，若
2、150，则2 的度数是（ ） A20 B30 C40 D50 5 （3 分）某药店在今年 3 月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和 N95 口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费 1600 元，N95 口罩花费 9600 元已知一次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少 10 元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为 x 元，则列方程正确的是（ ） A B C D+10 6 （3 分）如图是根据南街米粉店今年 6 月 1 日至 5 日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图下列结论正确的是（ ） A平均数是 6 B众数是 7
3、C中位数是 11 D方差是 8 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，若CAB65，则ADC 的度数为（ ） A25 B35 C45 D65 8 （3 分）如图，在ABC 中，BC6，AC8，C90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，与 AB 交于点 D，再分别以 A、D 为圆心，大于AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M、N，作直线 MN，分别交AC、AB 于点 E、F，则 AE 的长度为（ ） A B3 C2 D 9 （3 分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D 都在格点处，AB 与 CD相交于点 P，则 cosAPC 的值为（ ）
4、 A B C D 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： （1）abc0； （2）4a+c2b； （3）3b2c0； （4）若点 A（2，y1） 、点 B（，y2） 、点C（，y3）在该函数图象上，则 y1y3y2； （5）4a+2bm（am+b） （m 为常数） 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：a
5、34a 12 （4 分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034 米，将这个数用科学记数法表示为 13 （4 分）一个袋中装有 a 个红球，10 个黄球，b 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 a 与 b 的关系是 14 （4 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠，恰经过圆心 O，若 AB2，则阴影部分的面积为 15 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在第二象限内，反比例函数 y的图象经过OAB 的顶点 B 和边 AB 的中点 C，如果OA
6、B 的面积为 6，那么 k 的值是 16 （4 分）如图，直尺 AB 垂直竖立在水平面上，将一个含 45角的直角三角板 CDE 的斜边 DE 靠在直尺的一边 AB 上，使点 E 与点 A 重合，DE12cm当点 D 沿 DA 方向滑动时，点 E 同时从点 A 出发沿射线 AF 方向滑动当点 D 滑动到点 A 时，点 C 运动的路径长为 cm 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程共三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程共 96 分）分） 17 （6 分）计算：2sin60|2|+（）0+（）2 18 （8 分）先化简，再求值：（1） ，其中 x 是不等式组的整数解 19 （8 分）
7、如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AC 平分DAB，AB2CD，E 为 AB 中点，连结 CE （1）求证：四边形 AECD 为菱形； （2）若D120，DC2，求ABC 的面积 20 （9 分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了 A 体育类、B 美术类、C 音乐类和 D 其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示） 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域 C 所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （2
8、）明德中学共有学生 2500 人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数； （3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的 4 名社团学生（男女各 2 名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 21 （9 分）如图，计划在山顶 A 的正下方沿直线 CD 方向开通穿山隧道 EF在点 E 处测得山顶 A 的仰角为 45，在距 E 点 80m 的 C 处测得山顶 A 的仰角为 30，从与 F 点相距 10m 的 D 处测得山顶 A 的仰角为 45，点 C、E、F、D 在同一直线上，求隧道 EF 的长度 22 （10 分）如图，在平面
9、直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y（x0）的图象相交于点 B（1，6） ，并与 x 轴交于点 A点 C 是线段 AB 上一点，OAC 与OAB 的面积比为 2：3 （1）求 k 和 b 的值； （2）若将OAC 绕点 O 顺时针旋转，使点 C 的对应点 C落在 x 轴正半轴上，得到OAC，判断点 A是否在函数 y（x0）的图象上，并说明理由 23 （10 分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书已知购买 2 本科技类图书和 3 本文学类图书需 154 元，购买 4 本科技类图书和 5 本文学类图书需 282 元 （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
10、（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变） ：购买科技类图书超过 40 本但不超过 50 本时，每增加 1 本，单价降低 1 元；超过 50 本时，均按购买 50 本时的单价销售社区计划购进两种图书共计 100 本，其中科技类图书不少于 30 本，但不超过 60 本按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 24 （10 分）在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是边 BC 的中点，连结 DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AD4，BD9，求O 的半径 25 （12 分）在 RtABC
11、 中，ACBC，将线段 CA 绕点 C 旋转 （090） ，得到线段 CD，连接AD、BD （1）如图 1，将线段 CA 绕点 C 逆时针旋转 ，则ADB 的度数为 ； （2）将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转 时 在图 2 中依题意补全图形，并求ADB 的度数； 若BCD 的平分线 CE 交 BD 于点 F，交 DA 的延长线于点 E，连结 BE用等式表示线段 AD、CE、BE 之间的数量关系，并证明 26 （14 分）在平面直角坐标系中，直线 yx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A，B 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 C （1）求
12、a，b 满足的关系式及 c 的值； （2）当 a时，若点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，求ABP 周长的最小值； （3）当 a1 时，若点 Q 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点，过点 Q 作 QDAB 于点 D，当 QD 的值最大时，求此时点 Q 的坐标及 QD 的最大值 2022 年四川省广元市中考数学试卷年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意每小题一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）若实数 a 的相反数是3，则 a 等于（ ） A3
13、B0 C D3 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：D 【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键 2 （3 分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A长方体 B圆柱 C圆锥 D三棱柱 【分析】根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可 【解答】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱， 故选：B 【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） Ax2+xx3 B （3x）26x2 C3y2x2y6x2y2 D （x2
14、y） （x+2y）x22y2 【分析】根据合并同类项判断 A 选项；根据幂的乘方与积的乘方判断 B 选项；根据单项式乘单项式判断C 选项；根据平方差公式判断 D 选项 【解答】解：A 选项，x2与 x 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B 选项，原式9x2，故该选项不符合题意； C 选项，原式6x2y2，故该选项符合题意； D 选项，原式x2（2y）2x24y2，故该选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，平方差公式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个
15、因式是解题的关键 4 （3 分）如图，直线 ab，将三角尺直角顶点放在直线 b 上，若150，则2 的度数是（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可 【解答】解：由图可知，3180901180905040， ab， 2340， 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及互余的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等 5 （3 分）某药店在今年 3 月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和 N95 口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费 1600 元，N95 口罩花费 9600 元已知一次性医用外科口罩的
16、单价比 N95 口罩的单价少 10 元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为 x 元，则列方程正确的是（ ） A B C D+10 【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是 x 元，则购进 N95 口罩的单价是（x+10）元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于 x 的分式方程 【解答】 解： 设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是 x 元， 则购进 N95 口罩的单价是 （x+10） 元， 依题意得：， 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 6 （3 分）如图是根据南街米粉
17、店今年 6 月 1 日至 5 日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图下列结论正确的是（ ） A平均数是 6 B众数是 7 C中位数是 11 D方差是 8 【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论 【解答】解：由题意知， 平均数为：7， 众数为：3、5、7、9、11； 中位数为：7； 方差为：8； 故选：D 【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，若CAB65，则ADC 的度数为（ ） A25 B35 C45 D65 【分析】首先利用
18、直径所对的圆周角是直角确定ACB90，然后根据CAB65求得ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可 【解答】解：AB 是直径， ACB90， CAB65， ABC90CAB25， ADCABC25， 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键 8 （3 分）如图，在ABC 中，BC6，AC8，C90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，与 AB 交于点 D，再分别以 A、D 为圆心，大于AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M、N，作直线 MN，分别交AC、AB 于点 E、F，则 AE 的长度为（ ） A B3 C2 D
19、 【分析】利用勾股定理求出 AB，再利用相似三角形的性质求出 AE 即可 【解答】解：在 RtABC 中，BC6，AC8， AB10， BDCB6， ADABBC4， 由作图可知 EF 垂直平分线段 AD， AFDF2， AA，AFEACB90， AFEACB， ， ， AE， 故选：A 【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 9 （3 分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D 都在格点处，AB 与 CD相交于点 P，则 cosAPC 的值为（ ） A B C D 【分析】把 AB 向上平移一
20、个单位到 DE，连接 CE，则 DEAB，由勾股定理逆定理可以证明DCE 为直角三角形，所以 sinAPCsinEDC 即可得答案 【解答】解：把 AB 向上平移一个单位到 DE，连接 CE，如图 则 DEAB， APCEDC 在DCE 中，有 EC，DC2，DE5， EC2+DC2DE2， 故DCE 为直角三角形，DCE90 sinAPCsinEDC， cosAPC 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： （1）ab
21、c0； （2）4a+c2b； （3）3b2c0； （4）若点 A（2，y1） 、点 B（，y2） 、点C（，y3）在该函数图象上，则 y1y3y2； （5）4a+2bm（am+b） （m 为常数） 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与 y 轴的交点，可得 a0，b0，c0，由对称轴为直线 x2，可得 b4a，当 x2 时，函数有最大值 4a+2b+c；由经过点（1，0） ，可得 ab+c0，c5a； 再由 a0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大； 再结合所给选项进行判断即可 【解答】解：抛物线的开口向下， a0
22、， 抛物线的对称轴为直线 x2， b0， 抛物线交 y 轴的正半轴， c0， abc0，所以（1）正确； 对称轴为直线 x2， 2， b4a， b+4a0， b4a， 经过点（1，0） ， ab+c0， cba4aa5a， 4a+c2b4a5a+8a7a， a0， 4a+c2b0， 4a+c2b，故（2）不正确； 3b2c12a+10a2a0，故（3）正确； |22|4，|2|，|2|， y1y2y3，故（4）不正确； 当 x2 时，函数有最大值 4a+2b+c， 4a+2b+cam2+bm+c， 4a+2bm（am+b） （m 为常数） ，故（5）正确； 综上所述：正确的结论有（1） （3）
23、 （5） ，共 3 个， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12 （4 分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬
24、的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034 米，将这个数用科学记数法表示为 3.41010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：0.000000000343.41010 故答案为：3.41010 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值
25、13 （4 分）一个袋中装有 a 个红球，10 个黄球，b 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 a 与 b 的关系是 a+b10 【分析】根据任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，可知摸到黄球的概率为 0.5，从而可以求出袋中球的总数，然后即可计算出 a 和 b 的关系 【解答】解：任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， 摸到黄球的概率为 0.5， 袋中球的总数为：100.520， a+b+1020， a+b10， 故答案为：a+b10 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出袋中球的总数 14 （
26、4 分）如图，将O 沿弦 AB 折叠，恰经过圆心 O，若 AB2，则阴影部分的面积为 【分析】过点 O 作 AB 的垂线并延长，垂足为 C，交O 于点 D，连结 AO，AD，根据垂径定理得：ACBCAB， 根据将O 沿弦 AB 折叠，恰经过圆心 O， 得到 OCCDr， 得到 OCOA，得到OAC30，进而证明AOD 是等边三角形，得到D60，在 RtAOC 中根据勾股定理求出半径 r，证明ACDBCO，可以将BCO 补到ACD 上，得到阴影部分的面积S扇形ADO，即可得出答案 【解答】解：如图，过点 O 作 AB 的垂线并延长，垂足为 C，交O 于点 D，连结 AO，AD， 根据垂径定理得：
27、ACBCAB， 将O 沿弦 AB 折叠，恰经过圆心 O， OCCDr， OCOA， OAC30， AOD60， OAOD， AOD 是等边三角形， D60， 在 RtAOC 中，AC2+OC2OA2， （）2+（r）2r2， 解得：r2， ACBC，OCBACD90，OCCD， ACDBCO（SAS） ， 阴影部分的面积S扇形ADO22 故答案为： 【点评】本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换（折叠问题） ，在 RtAOC 中，根据 OCOA，得到OAC30是解题的关键 15 （4 分）如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在第二象限内，反比例函数 y的图象
28、经过OAB 的顶点 B 和边 AB 的中点 C，如果OAB 的面积为 6，那么 k 的值是 4 【分析】过 B 作 BDOA 于 D，设 B（m，n） ，根据三角形的面积公式得到 OA，求得 A（，0） ，根据点 C 是 AB 的中点，可得 C（，） ，列方程即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BDOA 于 D， 点 B 在反比例函数 y的图象上， 设 B（m，n） ，点 B 在第二象限内， OAB 的面积为 6， OA， A（，0） ， 点 C 是 AB 的中点， C（，） ， 点 C 在反比例函数 y的图象上， mn， mn4， k4， 故答案为：4 【点评】本题考查了反比例函数系数 k
29、 的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键 16 （4 分）如图，直尺 AB 垂直竖立在水平面上，将一个含 45角的直角三角板 CDE 的斜边 DE 靠在直尺的一边 AB 上，使点 E 与点 A 重合，DE12cm当点 D 沿 DA 方向滑动时，点 E 同时从点 A 出发沿射线 AF 方向滑动当点 D 滑动到点 A 时，点 C 运动的路径长为 （2412） cm 【分析】当点 D 沿 DA 方向下滑时，得ECD，过点 C作 CNAD 于点 N，作 CMAF 于点 M证明CNCM，推出 AC平分BAF，推出点 C 在射线 AC上运动，当 CDAD 时，AC的值最大
30、，最大值为 12，当点 D 滑动到点 A 时，点 C 运动的路径长为 2CC 【解答】解：当点 D 沿 DA 方向下滑时，得ECD，过点 C作 CNAD 于点 N，作 CMAF 于点 M DE12cm，CDCE，ACE90， CDCE6cm， MANCNACMA90， 四边形 AMCN 是矩形， MCNDCE90， DCNECM， CDCE，CNDCME90， CNDCME（AAS） ， CNCM， CNDA，CMAF， AC平分BAF， 点 C 在射线 AC上运动， 当 CDAD 时，AC的值最大，最大值为 12cm， 当点 D 滑动到点 A 时，点 C 运动的路径长为 2CC2（126）（
31、2412）cm 故答案为： （2412） 【点评】本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定 D 点的运动轨迹是线段是解题的关键 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程共三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程共 96 分）分） 17 （6 分）计算：2sin60|2|+（）0+（）2 【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可 【解答】解：原式2+2+12+ +2+12+4 3 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握 ap（a0）是解题的关键 18 （8 分）先化简
32、，再求值：（1） ，其中 x 是不等式组的整数解 【分析】小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，再根据分式有意义的条件得到 x 只能取 2，代入求值即可 【解答】解：原式 ， 解第一个不等式得：x3， 解第二个不等式得：x1， 不等式组的解集为：1x3， x 为整数， x 的值为1，0，1，2， x0，x+10， （x+1） （x1）0，x（x1）0， x 只能取 2， 当 x2 时， 原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得到 x 只能取 2 是解题的关键 19 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中
33、，ABCD，AC 平分DAB，AB2CD，E 为 AB 中点，连结 CE （1）求证：四边形 AECD 为菱形； （2）若D120，DC2，求ABC 的面积 【分析】 （1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形 AECD 是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证 ADCD，可得结论； （2） 由菱形的性质可求 AEBECE2， 由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求 BC， AC 的长，即可求解 【解答】 （1）证明：E 为 AB 中点， AB2AE2BE， AB2CD， CDAE， 又AECD， 四边形 AECD 是平行四边形， AC 平分DAB， DACEAC，
34、ABCD， DCACAB， DCADAC， ADCD， 平行四边形 AECD 是菱形； （2）四边形 AECD 是菱形，D120， ADCDCEAE2，D120AEC， AECEBE，CEB60， CAE30ACE，CEB 是等边三角形， BEBCEC2，B60， ACB90， ACBC2， SABCACBC222 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 20 （9 分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了 A 体育类、B 美术类、C 音乐类和 D 其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动学校随机抽取八年级（1）
35、班全体学生进行调查，以了解学生参团情况根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示） 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（1）班学生总人数是 40 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域 C 所对应的扇形的圆心角的度数为 90 ； （2）明德中学共有学生 2500 人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数； （3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的 4 名社团学生（男女各 2 名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 【分析】 （1）根据选 A 的人数和所占的百分比，可以计算出八年级（1）班学生总人数，
36、然后即可计算出选择 C 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中区域 C 所对应的扇形的圆心角的度数； （2）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校参与体育类和美术类社团的学生总人数； （3）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 【解答】解： （1）八年级（1）班学生总人数是：1230%40， 选择 C 的学生有：401214410（人） ， 扇形统计图中区域 C 所对应的扇形的圆心角的度数为：36090， 故答案为：40，90， 补全的条形统计图如右图所示； （2）25001625（人） ， 答：估算
37、该校参与体育类和美术类社团的学生有 1625 人； （3）设男生用 A 表示，女生有 B 表示， 树状图如下所示： 由上可得，存在 12 种可能性，其中恰好选中 1 名男生和 1 名女生的可能性有 8 种， 故恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率是 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 21 （9 分）如图，计划在山顶 A 的正下方沿直线 CD 方向开通穿山隧道 EF在点 E 处测得山顶 A 的仰角为 45，在距 E 点 80m 的 C 处测得山顶 A 的仰角为 30，从与 F 点相距 10m 的 D 处
38、测得山顶 A 的仰角为 45，点 C、E、F、D 在同一直线上，求隧道 EF 的长度 【分析】过点 A 作 AHDE，垂足为 H，设 EHx 米，在 RtAEH 中，利用锐角三角函数的定义求出AH 的长，再在 RtACH 中，利用锐角三角函数的定义列出关于 x 的方程，从而求出 AH，EH 的长，最后在 RtAHD 中，利用锐角三角函数的定义求出 DH 的长，进行计算即可解答 【解答】解：过点 A 作 AHDE，垂足为 H， 设 EHx 米， 在 RtAEH 中，AEH45， AHEHtan45x（米） ， CE80 米， CHCE+EH（80+x）米， 在 RtACH 中，ACH30， ta
39、n30， x40+40， 经检验：x40+40 是原方程的根， AHEH（40+40）米， 在 RtAHD 中，ADH45， DH（40+40）米， EFEH+DHDF（80+70）米， 隧道 EF 的长度为（80+70）米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y（x0）的图象相交于点 B（1，6） ，并与 x 轴交于点 A点 C 是线段 AB 上一点，OAC 与OAB 的面积比为 2：3 （1）求 k 和 b 的值； （2）若将OAC 绕
40、点 O 顺时针旋转，使点 C 的对应点 C落在 x 轴正半轴上，得到OAC，判断点 A是否在函数 y（x0）的图象上，并说明理由 【分析】 （1）将 B（1，6）代入 yx+b 可求出 b 的值；再将 B（1，6）代入 y可求出 k 的值； （2）过点 C 作 CMx 轴于 M，过点 B 作 BNx 轴于 N，过 A作 AGx 轴于 G，先求出点 C 的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点 A的坐标，即可解决问题 【解答】解： （1）函数 yx+b 的图像与函数 y（x0）的图像相交于点 B（1，6） ， 61+b，6， b5，k6； （2）点 A不在函数 y（x0）的图像上，理由
41、如下： 过点 C 作 CMx 轴于 M，过点 B 作 BNx 轴于 N，过 A作 AGx 轴于 G， 点 B（1，6） ， ON1，BN6， OAC 与OAB 的面积比为 2：3， ， ， CMBN4， 即点 C 的纵坐标为 4， 把 y4 代入 yx+5 得：x1， C（1，4） ， OCOC， yx+5 中，当 y0 时，x5， OA5， 由旋转的性质得：OACOAC， OACMOCAG， AG 在 RtAOG 中，OG， 点 A的坐标为（，） ， 6， 点 A不在函数 y（x0）的图像上 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，
42、解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质 23 （10 分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书已知购买 2 本科技类图书和 3 本文学类图书需 154 元，购买 4 本科技类图书和 5 本文学类图书需 282 元 （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ （2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变） ：购买科技类图书超过 40 本但不超过 50 本时，每增加 1 本，单价降低 1 元；超过 50 本时，均按购买 50 本时的单价销售社区计划购进两种图书共计 100 本，其中科技类图书不少于 30 本，但不超过 60 本
43、按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 【分析】 （1）设科技类图书的单价为 x 元，文学类图书的单价为 y 元，根据“购买 2 本科技类图书和 3本文学类图书需 154 元，购买 4 本科技类图书和 5 本文学类图书需 282 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设科技类图书的购买数量为 m 本，购买这两种图书的总金额为 w 元，则文学类图书的购买数量为（100m）本，分 30m40，40m50 及 50m60 三种情况考虑，利用总价单价数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次函数
44、图象上点的坐标特征） ，可求出 w 的取值范围，取其最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设科技类图书的单价为 x 元，文学类图书的单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：科技类图书的单价为 38 元，文学类图书的单价为 26 元 （2）设科技类图书的购买数量为 m 本，购买这两种图书的总金额为 w 元，则文学类图书的购买数量为（100m）本 当 30m40 时，w38m+26（100m）12m+2600， 120， w 随 m 的增大而增大， 2960w3080； 当 40m50 时，w38（m40）m+26（100m）（m26）2+3276， 10， 当 m26 时，w 随 m 的增
45、大而减小， 2700w3080； 当 50m60 时，w38（5040）m+26（100m）2m+2600， 20， w 随 m 的增大而增大， 2700w2720 综上，当 30m60 时，w 的最小值为 2700 答：社区至少要准备 2700 元购书款 【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用、 一次函数的应用以及二次函数的应用， 解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）分 30m40，40m50 及 50m60 三种情况，找出 w 关于 m 的函数关系式 24 （10 分）在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 是边
46、BC 的中点，连结 DE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AD4，BD9，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OD，CD，根据已知可得ACD+DCB90，利用等腰三角形的性质可得OCDODC， 根据直径所对的圆周角是直角可得CDB90， 从而利用直角三角形斜边上的中线可得 DECE，进而可得DCECDE，然后可得ODC+CDE90，即可解答； （2）利用（1）的结论可证ACBADC，从而利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，即可解答 【解答】 （1）证明：连接 OD，CD， ACB90， ACD+DCB90， OCOD， OCDODC， AC 是O 的直径， ADC90， CDB
47、180ADC90， 点 E 是边 BC 的中点， DECEBC， DCECDE， ODC+CDE90， ODE90， OD 是O 的半径， DE 是O 的切线； （2）解：AD4，BD9， ABAD+BD4+913， ACBADC90，AA， ACBADC， ， AC2ADAB41352， AC2， O 的半径为 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键 25 （12 分）在 RtABC 中，ACBC，将线段 CA 绕点 C 旋转 （090） ，得到线段 CD，连接AD、BD （
48、1）如图 1，将线段 CA 绕点 C 逆时针旋转 ，则ADB 的度数为 135 ； （2）将线段 CA 绕点 C 顺时针旋转 时 在图 2 中依题意补全图形，并求ADB 的度数； 若BCD 的平分线 CE 交 BD 于点 F，交 DA 的延长线于点 E，连结 BE用等式表示线段 AD、CE、BE 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据旋转的性质可得 CDCACB，根据等腰三角形的性质得出ADC90，BDC45+，即可得ADB 的度数； （2）依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解； 过点 C 作 CGBD，交 EB 的延长线于点 G，根据等腰三角形的性质可得出 CE
49、 垂直平分 BD，求出GEBD45可得 ECCG，EGEC，证明ACEBCG，可得 AEBG，根据线段的和差即可得出结论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ACBC，将线段 CA 绕点 C 旋转 （090） ， CDCACB，ACD， BCD90， CDCA，CDCB， ADC90，BDC45+， ADBADC+BDC90+45+135， 故答案为：135； （2）依题意补全图形如图， 由旋得：CDCACB，ACD， BCD90+， CDCA，CDCB， ADC90，BDC45， ADBADCBDC9045+45； CE2BEAD 证明：过点 C 作 CGBD，交 EB 的延长线于点 G
50、， BCCD，CE 平分BCD， CE 垂直平分 BD， BEDE，EFB90， 由知，ADB45， EBDEDB45， FEB45， BDCG， ECGEFB90，GEBD45， ECCG，EGEC， ACE90ECB，BCG90ECB， ACEBCG， ACBC， ACEBCG（SAS） ， AEBG， EGEB+BGEB+AEEB+EDAD2EBAD， CE2BEAD 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键 26 （14 分）在平面直角坐标系中，直线 yx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴
