1、2023届湖北省二十一所重点中学高三第二次联考数学试卷一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1. 设全集U3，2，1，1，2，3，集合A1，1，B1，2，3，则(CUA)B（ ）A 1 B1，2 C2，3 D1，2，32. 已知复数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 3. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 4. 若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5.已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）A. B. C.1 D.6十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了
2、公式：，（其中，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）Asin33Bsin30Csin36Dsin397.在计算机的C语言编译器中，一般对char（一种整数类型）读取后八个字节，如0001 0000 0000视为0000 0000 即为0。故因此，衍生出了补码，即当取值在1000 0000到1111 1111之间，视为负数处理。如果定义一个char类型变量c=127，c+1后输出的值为（ ）A.0 B.128 C.-1 D.-1288.某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总
3、数为（ ）A.288 B.336 C.576 D.1680二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.已知正数x，y，z满足，则（ ）ABCD10.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（ ）A.函数在区间（）上单调递增B.若函数，则的值域为C.若函数，则的值域为D.，11. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学
4、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0jk时，则称是的一个周期为k的周期点.若，下列各值是周期为2的周期点的有（ ）A. 0B. C. D. 112在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是A对于任意的，都有 B对于任意的，数列不可能为常数列C若，则数列为递增数列 D若，则当时，二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 设x+1x+y+1y10展开式中各项系数和为A,x5y的系数为B, 则A=_,B=_.14. 空间四面体ABCD中, ACD=60, 二面角A-CD-
5、B的大小为45, 在平面ABC内过点B作AC的垂线l, 则l与平面BCD所成的最大角的正弦值_.15.函数，其中a，b为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，a的取值范围为 .16. 已知平面向量a, b和单位向量e1, e2满足e1,=-e2, a-e1+e2=3a+e1-e2,b=a+e1,2+=2, 当a变化时, |b|的最小值为m, 则m的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）现有下列三个条件：函数的最小正周期为；函数的图象可以由的图象平移得到；函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，
6、并作出正确解答.已知向量，函数.且满足_.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，的对边分别为，.已知，求的值.18.（12分）已知数列满足，.（1）若且.（）当成等差数列时，求k的值；（）当且，时，求及的通项公式.（2）若，.设是的前n项之和，求的最大值.19.（12分） 已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.（1）若点是棱上的动点请判断下列条件：直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；（2）若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理
7、由.20（12分）某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？21.（12分）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直
8、线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.（1）求抛物线E的标准方程；（2）（）求证：直线过定点；（）记（i）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.22.（12分）已知函数.（）求函数的最小值；（）若方程有两实数解，求证：.（其中为自然对数的底数）2023届湖北省二十一所重点中学高三第二次联考数学试卷参考答案与评分细则一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案CACCCCDB二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号9101112答案ABDACACACD三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9、13.1024，5400 14. 15.) 16.四、 解答题：本题共6小题，共70分。17. （10分）（1）因为，所以.若满足条件：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选.若满足条件：因为，所以，故，即.综上，无论选条件或，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，即，.因为，所以，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.18.（12分）（1）（）因为成等差数列，所以，所以，所以.（）因为，所以，所以，所以，因为，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以.（2）由，因为，可得对于
10、任意恒成立，设，则，又由，所以，显然最大即最大.因为，又因为，所以，所以，所以，考虑函数的性质知，的最大值在端点处取得，取，得到，最大值在，时取得，所以的最大值为.（15分）19.（12分）（1）如图，连接，相交于点，连EM.在梯形中，有，.又因为，所以，故，又平面，平面，所以平面.故当时，平面.（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设，则对于平面ADN，设其法向量，满足，即，故取对于平面BDN，设其法向量，满足，即，故取，若平面ADN平面BDN，则，即，解得，此时
11、N为PC的中点，.20.（12分）（1）据题意，的所有可能取值为0，1，2，3.当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，则当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则所以的分布列为：0123（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，则因为则，所以是首项为，公比为的等比数列.则，所以由，得，所以为奇数.由，得因为为奇数，则，即，则.当时，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.21.（12分）（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，即，所以.抛物线C的标准方程为（2）设，（）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，与抛物线方程联立，化简得：，根据韦达定理可得：即，直线方程为，整理得：.又因为，即.将代入化简可得：，故直线过定点（）由（）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，由（i）知，所以，又因为，即，化简得或又由，得：且，即或综上所述，22.解：（）则分 （）上单调递增不妨设，由（）知，当且仅当时取等号， 又求导易证，当且仅当时取等号，设直线，则由对数平均不等式得，综合可得，.
