1、 第第 21 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分）. 1下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A4（x+2）25 B2x2+3x10 C2x+y22 D 2方程（x+1）29 的解为（ ） Ax12，x24 Bx12，x24 Cx14，x22 Dx12，x24 3一元二次方程 x22x 的解为（ ） A2 B2 C0 或2 D0 或 2 4若 a 是 x22x70 的一个根，则 a22a+1 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 5下列关于 x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） Ax24x+40
2、 Bx2mx+40 Cx24xm0 Dx24xm20 6如图，把一块长为 50cm，宽为 40cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为 800cm2，设剪去小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（ ） A（502x） （40 x）800 B（50 x） （40 x）800 C（50 x） （402x）800 D（502x） （402x）800 7某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A19% B20% C21% D
3、22% 8定义运算：mnmn22mn1，例如：4242224211若关于 x 的方程 ax0 有实数根，则 a 的取值范围为（ ） A1a0 B1a0 Ca0 或 a1 Da0 或 a1 9已知 x2+3x10 的两个根为 x1、x2，则 x1+x2的值为（ ） A2 B2 C3 D3 10对于一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，下列说法： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若方程 ax2+c0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c0 必有两个不相等的实根； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 ac+b+10 成立； 若 x0是一元二次方程 ax2+bx
4、+c0 的根，则 其中正确的（ ） A只有 B只有 C D只有 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11若关于 x 的方程（m3）x|m1|+5x30 是一元二次方程，则 m 的值为 12关于 x 的一元二次方程（m3）x2+m2x9x+5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为 13已知一元二次方程 x2+3x+（a2+1）0 有一个根为 x1，则 a 的值为 14 三角形两边的长分别为 2 和 7， 第三边的长是方程 x210 x+160 的根， 则该三角形的周长为 15德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染
5、性极强某地有 1 人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144 人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒？ 16已知实数 a、b 满足（a2+b2）2（a2+b2）20，则 a2+b2 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17 （12 分）用适当的方法解下列方程： （1）x25x+60； （2）x2+3x0； （3）3x2+x3x+1 18（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k20 （1）求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两
6、个实数根 x1，x2，满足 x1x22k+3求 k 的值 19 （6 分）2022 年北京冬季奥运会于 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩” （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产 500 个“冰墩墩” ，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加 20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售 20 个，每个盈利 40 元，在每个降价幅度不超过 10 元的情况下，每下降 2 元，则每天可多售 10 件如果每天要盈利 1440 元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 20 （6 分）金华市区某超市
7、以原价为 40 元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为 32.4 元/瓶 （1）求平均每次降价的百分率 （2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液（超过200 瓶） 该超市对购买量大的客户有优惠措施，在 32.4 元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过 200 瓶的部分不打折，超过 200 瓶的部分打八折学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由 21 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x1 是方程的根，
8、试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 22 （7 分）为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将 x21 视为一个整体，然后设 x21y，则原方程可化为 y25y+40，解此方程得 y11，y24 当 y1 时，x211，所以； 当 y4 时，x214，所以 所以原方程的根为， 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想运用上述方法解下列方程： （1） （x2x） （x2x4）4； （2）x4+x2120 23 （8 分）阅读以
9、下文字并解决问题：对于形如 x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式 x2+6x27，就不能直接用公式法分解了此时，我们可以在 x2+6x27 中间先加上一项 9，使它与 x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去 9，则整个多项式的值不变 即：x2+6x27（x2+6x+9）927（x+3）262（x+3+6） （x+36）（x+9） （x3） ，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法 （1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy5y2 （2）如果 a2+2b2+c22ab6b4c+130，求 a+b
10、+c 的值 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A4（x+2）25 B2x2+3x10 C2x+y22 D 解：A根据一元二次方程额定义，4（x+2）25 不符合定义，故 A 不符合题意 B根据一元二次方程的定义，2x2+3x10 是一元二次方程，故 B 符合题意 C 根据一元二次方程的定义， 2x+y22 有两个未知数， 不符合一元二次方程的定义， 故 C 不符合题意 D根据一元二次方程的定义，不符合题意，故 D 不符合题意 故选：B 2方程（x+1）29 的解为（ ） Ax
11、12，x24 Bx12，x24 Cx14，x22 Dx12，x24 解： （x+1）29， x+13， 所以 x12，x24 故选：A 3一元二次方程 x22x 的解为（ ） A2 B2 C0 或2 D0 或 2 解：x22x， x22x0， x（x2）0， x0 或 x20， x0 或 x2， 故选：D 4若 a 是 x22x70 的一个根，则 a22a+1 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 解：a 是 x22x70 的一个根， a22a70， a22a7， a22a+17+18 故选：D 5下列关于 x 的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） Ax24x+40 Bx2mx+40
12、Cx24xm0 Dx24xm20 解：A、（4）24140，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、（m）2414m216，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； C、（4）241（m）16+4m，可能小于等于 0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； D、（4）241（m）216+4m20，一定有两个不相等的实数根，符合题意 故选：D 6如图，把一块长为 50cm，宽为 40cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为 800cm2，设剪去小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（
13、 ） A（502x） （40 x）800 B（50 x） （40 x）800 C（50 x） （402x）800 D（502x） （402x）800 解：设剪去小正方形的边长为 xcm，则纸盒的底面为长（502x）cm，宽为（402x）cm 的长方形， 由题意可列方程为（502x） （402x）800； 故选：D 7某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A19% B20% C21% D22% 解：设每年增长率为 x，绿地面积为 1， 依题意得第一年的绿地面积为：1+x，则第二年的绿地面积为： （1+x）
14、 （1+x） ， 则（1+x） （1+x）1+44%， 解得 x20% （负值已舍） ， 故选：B 8定义运算：mnmn22mn1，例如：4242224211若关于 x 的方程 ax0 有实数根，则 a 的取值范围为（ ） A1a0 B1a0 Ca0 或 a1 Da0 或 a1 解：由题意可知：axax22ax10， 当 a0 时，原来方程变形为10，方程无解； 当 a0 时， 关于 x 的方程 ax0 有实数根， 4a2+4a4a（a+1）0， 解得 a1 或 a0 故选：D 9已知 x2+3x10 的两个根为 x1、x2，则 x1+x2的值为（ ） A2 B2 C3 D3 解：x2+3x1
15、0 的两个根为 x1、x2， x1+x23 故选：D 10对于一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，下列说法： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若方程 ax2+c0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c0 必有两个不相等的实根； 若 c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根，则一定有 ac+b+10 成立； 若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c0 的根，则 其中正确的（ ） A只有 B只有 C D只有 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案 解：若 a+b+c0，则 x1 是方程 a
16、x2+bx+c0 的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知b24ac0，故正确； 方程 ax2+c0 有两个不相等的实根， 04ac0， 4ac0， 则方程 ax2+bx+c0 的判别式b24ac0， 方程 ax2+bx+c0 必有两个不相等的实根，故正确； c 是方程 ax2+bx+c0 的一个根， 则 ac2+bc+c0， c（ac+b+1）0 若 c0，等式仍然成立， 但 ac+b+10 不一定成立，故不正确； 若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c0 的根， 则由求根公式可得： x0或 x0 2ax0+b或 2ax0+b 故正确 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，
17、满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11若关于 x 的方程（m3）x|m1|+5x30 是一元二次方程，则 m 的值为 1 【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0， （3）是整式方程，据此即可求解 解：根据题意得，|m1|2 且 m30， 解得：m1 故答案为：1 12关于 x 的一元二次方程（m3）x2+m2x9x+5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为 3 【分析】先根据等式的性质把方程转化成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义和不含一次项得出 m30 且 m290，再求出 m 即
18、可 解： （m3）x2+m2x9x+5， （m3）x2+m2x9x50， （m3）x2+（m29）x50， 一元二次方程（m3）x2+m2x9x+5 化为一般形式后不含一次项， m30 且 m290， 解得：m3， 故答案为：3 13已知一元二次方程 x2+3x+（a2+1）0 有一个根为 x1，则 a 的值为 1 【分析】把 x1 代入方程计算即可求出 a 的值 解：把 x1 代入方程得：（1）2+3（1）+（a2+1）0， 解得 a1， 故答案为：1 14 三角形两边的长分别为 2 和 7， 第三边的长是方程 x210 x+160 的根， 则该三角形的周长为 17 【分析】 先求出方程的解
19、， 再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形， 最后求出三角形的周长即可 解：x210 x+160， （x2） （x8）0， 则 x20 或 x80， 解得 x12，x28 当第三边为 2 时，2+27，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去； 当第三边为 8 时， 2+78， 符合三角形三边关系定理， 能组成三角形， 此时三角形的周长是 2+7+817 故答案为：17 15德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强某地有 1 人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144 人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染
20、后，一共有 1728 人感染德尔塔病毒？ 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据“经过两轮传染后，一共有 144 人感染了德尔塔病毒” ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值，再利用经过第三轮传染后感染了德尔塔病毒的人数经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数+每轮传染中平均一个人传染的人数经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数，即可求出结论 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得： 1+x+x（1+x）144， 整理得：x2+2x1430， 解得：x111，x213（不合题意，舍去） 144+111441728（人） 答：经过三轮传染后，一共有 1728
21、人感染德尔塔病毒 故答案为：1728 16已知实数 a、b 满足（a2+b2）2（a2+b2）20，则 a2+b2 2 【分析】设 a2+b2x，则原方程化为 x2x20，求出 x 的值，再求出 a2+b2的值即可 解： （a2+b2）2（a2+b2）20， 设 a2+b2x，则原方程化为 x2x20， 解得：x2 或1， 当 x2 时，a2+b22， 当 x1 时，a2+b21， 不论 a、b 为何值，a2+b2都不能为负数， 此时不符合题意，舍去， 即 a2+b22， 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17 （12 分）用适当的方法解下列方程
22、： （1）x25x+60； （2）x2+3x0； （3）3x2+x3x+1 【分析】利用因式分解法解方程即可 解： （1）x25x+60 （x2） （x3）0， x20 或 x30， x12，x23； （2）x2+3x0， x（x+3）0， x0 或 x+30， 所以 x10，x23； （3）3x2+x3x+1， x（3x+1）（3x+1）0， （3x+1） （x1）0， 3x+10 或 x10， x1，x21 18（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k20 （1）求证：无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根 x1，x2，满足 x1
23、x22k+3求 k 的值 【分析】 （1）根据根的判别式得出（2k+1）241（k2）4k2+90，据此可得答案； （2） 先根据根与系数的关系得出 x1+x22k+1，x1x2k2，由 x1x22k+3 知 （x1x2）24k212k+9，即（x1+x2）24x1x24k212k+9，从而列出关于 k 的方程，解之可得答案 【解答】 （1）证明：（2k+1）241（k2） 4k2+4k+14k+8 4k2+90， 无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出 x1+x22k+1，x1x2k2， x1x22k+3， （x1x2）24k212k+9， （x1+
24、x2）24x1x24k212k+9， （2k+1）24（k2）4k212k+9， 解得 k0 19 （6 分）2022 年北京冬季奥运会于 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩” （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产 500 个“冰墩墩” ，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加 20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售 20 个，每个盈利 40 元，在每个降价幅度不超过 10 元的情况下，每下降 2 元，则每天可多售 10 件如果每天要盈利 1440 元，则每个“冰墩墩”应降价多少
25、元？ 【分析】（1） 利用该工厂在四月份生产 “冰墩墩” 的数量该工厂在二月份生产 “冰墩墩” 的数量 （1+20%）2，即可求出结论； （2）设每个“冰墩墩”降价 x 元，则每个盈利（40 x）元，平均每天可售出（20+5x）个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方 程，解之取其符合题意的值即可得出结论 解： （1）500（1+20%）25001.44720（个） 答：该工厂在四月份能生产 720 个“冰墩墩” （2）设每个“冰墩墩”降价 x 元，则每个盈利（40 x）元，平均每天可售出 20+10（20+5x）个， 依题意得：
26、 （40 x） （20+5x）1440， 整理得：x236x+1280， 解得：x14，x232（不符合题意，舍去） 答：每个“冰墩墩”应降价 4 元 20 （6 分）金华市区某超市以原价为 40 元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为 32.4 元/瓶 （1）求平均每次降价的百分率 （2）金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液（超过200 瓶） 该超市对购买量大的客户有优惠措施，在 32.4 元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；方案二：不超过 200 瓶的部分不打折，超过 200 瓶的部分打八折学校应该选
27、择哪一种方案更省钱？请说明理由 【分析】 （1）设平均每次降价的百分率为 x，利用经过两次降价后的价格原价（1平均每次降价的百分率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设学校购买 y（y200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为 29.16y 元，选择方案二所需费用为（25.92y+1296）元，分 29.16y25.92y+1296，29.16y25.92y+1296 及 29.16y25.92y+1296 三种情况，求出 y 的取值范围或 y 的值即可得出结论 解： （1）设平均每次降价的百分率为 x， 依题意得：40（1x）232.4， 解得：x10.1
28、10%，x21.9（不符合题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率为 10% （2）设学校购买 y（y200）瓶洗手液，则选择方案一所需费用为 32.40.9y29.16y 元，选择方案二所需费用为 32.4200+32.40.8（y200）（25.92y+1296）元， 当 29.16y25.92y+1296 时，y400， 当 200y400 时，学校选择方案一更省钱； 当 29.16y25.92y+1296 时，y400， 当 y400 时，学校选择两种方案所需费用相同； 当 29.16y25.92y+1296 时，y400， 当 y400 时，学校选择方案二更省钱 答：当购买数量超过 2
29、00 瓶且不足 400 瓶时，学校选择方案一更省钱；当购买数量等于 400 瓶时，学校 选择两种方案所需费用相同；当购买数量超过 400 瓶时，学校选择方案二更省钱 21 （7 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x22bx+（ac）0，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【分析】 （1）把 x1 代入方程得 a+c2b+ac0，整理得 ab，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义
30、得（2b）24（a+c） （ac）0，即 b2+c2a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得 abc，方程化为 x2x0，然后利用因式分解法解方程 解： （1）ABC 为等腰三角形，理由如下： 把 x1 代入方程得 a+c2b+ac0，则 ab，所以ABC 为等腰三角形； （2）ABC 为直角三角形，理由如下： 根据题意得（2b）24（a+c） （ac）0，即 b2+c2a2，所以ABC 为直角三角形； （3）ABC 为等边三角形， abc， 方程化为 x2x0，解得 x10，x21 22 （7 分）为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将 x21 视
31、为一个整体，然后设 x21y，则原方程可化为 y25y+40，解此方程得 y11，y24 当 y1 时，x211，所以； 当 y4 时，x214，所以 所以原方程的根为， 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想运用上述方法解下列方程： （1） （x2x） （x2x4）4； （2）x4+x2120 【分析】 （1）设 x2xa，原方程可化为 a24a+40，求出 a 的值，再代入 x2xa 求出 x 即可； （2）设 x2y，原方程化为 y2+y120，求出 y，再把 y 的值代入 x2y 求出 x 即可 解： （1） （x2x） （x2x4）4， 设 x2
32、xa，则原方程可化为 a24a+40， 解此方程得：a1a22， 当 a2 时，x2x2，即 x2x20， 因式分解得：（x2） （x+1）0， 解得：x12，x21， 所以原方程的解是 x12，x21； （2）x4+x2120， 设 x2y，则原方程化为 y2+y120， 因式分解，得（y3） （y+4）0， 解得：y13，y24， 当 y3 时，x23，解得：x； 当 y4 时，x24，无实数根， 所以原方程的解是 x1，x2 23 （8 分）阅读以下文字并解决问题：对于形如 x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式 x2+6x
33、27，就不能直接用公式法分解了此时，我们可以在 x2+6x27 中间先加上一项 9，使它与 x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去 9，则整个多项式的值不变 即：x2+6x27（x2+6x+9）927（x+3）262（x+3+6） （x+36）（x+9） （x3） ，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法 （1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy5y2 （2）如果 a2+2b2+c22ab6b4c+130，求 a+b+c 的值 【分析】 （1）将前两项配方后即可得到（x+2y）2（3y）2，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）由 a2+2b2+c22ab6b4c+130，可得（ab）2+（b3）2+（c2）20，求得 a、b、c 后即可得出答案 解： （1）x2+4xy5y2 （x2+4xy+4y2）4y25y2 （x+2y）2（3y）2 （x+2y+3y） （x+2y3y） （x+5y） （xy）； （2）a2+2b2+c22ab6b4c+130 （a22ab+b2）+（b26b+9）+（c24c+4）0， （ab）2+（b3）2+（c2）20， （ab）20，（b3）20，（c2）20， ab3，c2， a+b+c8
