1、 2022 年上海市杨浦区中考数学三模试卷年上海市杨浦区中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，共 24 分） 1. 2的倒数是( ) A. 2 B. 12 C. 12 D. 2 2. 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于轴对称的点的坐标为( ) A. (3,2) B. (3,2) C. (2,3) D. (2,3) 3. 下列运算中，正确的是( ) A. 2 + 3 = 52 B. 23 32= 66 C. (22)3= 86 D. 42 2 = 2 4. 如果二次函数 = 2+ + 的图象全部在轴的上方，那么下列判断中一定正确的是( ) A. 0， 0 B. 0， 0， 0， 0
2、 5. 一个事件的概率不可能是( ) A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 1.5 6. 如图，已知 = 30，点、在射线上(点在点、之间)，半径长为2的 与直线相切，半径长为3的 与 相交，那么的取值范围是( ) A. 5 9 B. 4 9 C. 3 7 D. 2 ，点、分别是边、的中点，/交的延长线于点 (1)求证：四边形是菱形； (2)联结，如果 ，求证： = 2 24. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线 =13 + 1与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内， ，且 = (1)求点的坐标； (2)将 沿轴向右平移， 点、 、 的对应点分别是点、 、 ， 如果点、 都落在双曲线 =上，
3、求的值； (3)如果直线 =13 + 1与第(2)小题中的双曲线 =有两个公共点和，求的值 25. 已知在 中， = 90，是 的内角的平分线，过点作 ，交的延长线于点 (1)如图1，联结，求证： = ； (2)如图2，如果cot =247，求的值； (3)如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过 的斜边中线与边的交点，且 = 4，求边的长 第 6 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：2的倒数12， 故选： 求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为1 本题考查实数的性质，做此类型的题目关键在于对实数相关概念(如倒数等)的理解 2.【答
4、案】 【解析】解：点(3,2)关于轴对称的点的坐标为(3,2) 故选： 根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 3.【答案】 【解析】解：、2 + 3 = 5，故 A 不符合题意； B、23 32= 65，故 B不符合题意； C、(22)3= 86，故 C符合题意； D、42 2 = 2，故 D不符合题意； 故选： 根据整式的加法、乘法，除法，
5、幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答 本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键 4.【答案】 【解析】解：当抛物线开口向上，且抛物线与轴无交点时，图象全部在轴上方， 0，抛物线与轴交点在轴上方，即 0， 故选： 由次函数的图象全部在轴的上方， 可得抛物线开口向上， 抛物线与轴交点位置， 从而可判定， 的符号 本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系 5.【答案】 【解析】解：一个事件的概率不可能是1.5， 故选： 根据概率的意义，概率公式，即可解答 本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键 6.【答案】 【解析】解：设
6、 与直线相切时切点为，连接， ， = 30， = 2， = 4， 当 与 相内切时，设切点为，如图1， = 3， = + = 4 + 3 2 = 5； 当 与 相外切时，设切点为，如图2， = + = 4 + 2 + 3 = 9， 半径长为3的 与 相交，那么的取值范围是：5 0时，图象与轴有两个交点；= 0，图象与轴有一个交点； 0，图象与轴无交点 13.【答案】 = 2+ 2 【解析】解：根据题意，二次函数的解析式是 = 2+ 2， 故答案为： = 2+ 2 根据抛物线在对称轴的右侧，且在对称轴左侧函数的值随的值增大而增大，则 0，则 0，即可得到解析式 此题考查了二次函数的图象性质，能够
7、根据变化规律确定的符号，能够根据对称轴的位置确定的符号 14.【答案】3 【解析】解：设梯形的上底长为； 由题意得：+72= 5， 解得： = 3， 故答案为3 设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底的方程，求出即可解决问题 该题主要考查了梯形的中位线定理及其应用问题；应牢固掌握梯形的中位线定理并能灵活运用 15.【答案】21 【解析】解：如图所示： 过点作 于点， = 4， 第 10 页，共 21 页 =12 =12 4 = 2， 在 中， = 5， = 2， = 2 2= 52 22= 21 故答案为：21 根据题意画出图形，过点作 于点，由垂径定理可得出的长，在 中，利用
8、勾股定理及可求出的长 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键 16.【答案】(6 + 63) 【解析】解：过点作 于点 则 = 6米， = 60， = 45， 在 中，60 =6= 3， 解得 = 63， 在 中，45 =6= 1， 解得 = 6， = + = (6 + 63)米 故答案为：(6 + 63). 过点作 于点.则 = 6米， 在 中， 60 =6= 3， 解得 = 63， 在 中，45 =6= 1，解得 = 6，由 = + 可得出答案 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键 17.【答案】13
9、2 【解析】解：延长与交于点， 点关于直线的对称点是点， = ， = ， ， 是等高底三角形，是等底， = ， 点是 的重心， = =23， 设 = = 2，则 = 3， = 2+ 2= 42+ 92= 13， =132=132 故答案为：132 延长与交于点，根据轴对称性质得 = ， = ， ，再由 是等高底三角形，是等底，得 = ，再根据三角形的重心定理得 = =23，设 = = 2，则 = 3，由勾股定理用表示，进而计算的值便可 本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系 18.【答案】53 第 12 页，共 21 页 【解析】解：在 中
10、， = 90， = 8， =45， = 10， = 2 2= 6， ， = 90 = ， = ， ， =， 设 = 3，则 = 4， = 5， = 6 5， /， =， = 8 203， = 10 253， 平分，/， = ， = = =203， /，/， 四边形是平行四边形， = = 3， = + =203 + 3 =293， 293 = 10 253， 解得 =59， = 3 =53， 故答案为：53 根据直角三角形的边角关系可求出，再根据相似三角形，用含有的代数式表示、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出 = ，进而列方程求出即可 本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，
11、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，掌 握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提， 用含有的代数式表示、 、是正确解答的关键 19.【答案】解：原式= 2 1 + 1 2 22+ 4 = 2 1 + 1 2 + 4 = 4 【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义解答即可 本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键 20.【答案】解：+1421= 1 方程两边同乘( + 1)( 1)， 得，( 1) 4 = ( + 1)( 1)
12、 整理得， = 3， 检验：当 = 3时，( + 1)( 1) 0， = 3是原方程的解 【解析】根据解分式方程的一般步骤计算 本题考查的是分式方程的解法，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解 21.【答案】解：(1)过点作 于点 = ， = 4， =12 = 2 在 中， = 90， = 6， sin =26=13， 是的垂直平分线， 第 14 页，共 21 页 = 90，
13、 = 3， = ， 又 = ， = ， sin = sin =13， 即的正弦值为13； (2)过点作 于点 在 中， = 90，sin =13， = 3， =sin= 9， = = 9 4 = 5 在 中， = 90，sin =13， =13 =53， 即点到的距离为53 【解析】(1)过点作 于点.由等腰三角形三线合一的性质得出 =12 = 2.在 中，根据正弦函数的定义得出sin =13，根据三角形内角和定理求出 = = 90 ，则sin = sin =13； (2)过点作 于点.解直角 ，求出 =sin= 9，则 = = 5.再解直角 ，求出 =53，即点到的距离为53 本题考查了解直
14、角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键 22.【答案】解：(1)设与的函数解析式： = + ( 0)， 将点(0,300)，(2,120)代入函数解析式， 得 = 3002 + = 120， 解得 = 90 = 300， = 90 + 300； (2)当 = 90 + 300 = 0时， =103， 两车相遇时，90 + 300 = 60， 解得 = 2， 根据题意，得60 2 + (103+4060 2) = 300， 解得 = 90， 答：乙车变化后的速度为90千米/时 【解析】(1)待定系数法求解析式； (2)先求出甲车从到所用时
15、间，再求出两车的相遇时间，根据题意列方程，求解即可 本题考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键 23.【答案】证明：(1) 点、分别是边、的中点， 是 的中位线， /， =12， = 90， = = 90， ， /，/， 四边形为平行四边形， = ， = = 12 =12， = ， = ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2)如图，设 = ， = ，则 = 2， 第 16 页，共 21 页 ， = + = 90， + = 90， = ， = = 90， ， =，即=2， 2= 22， 由勾股定理得：2= 2+ 2= 32， 2= 2+
16、2= (2)2+ 2= 62， 2= 22， = =12， = 2 【解析】(1)先根据三角形的中位线定理可得：/， =12，证明四边形为平行四边形，可得 = ，再证明 = ，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论； (2)如图，设 = ， = ，则 = 2，证明 ，得2= 22，并结合勾股定理可得结论 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，第(2)有难度，证明 是解题的关键 24.【答案】解：(1)过点作 轴于点，如图所示： 则 = 90， + = 90， ， = 90， + = 90， = ， = ， ()， = ， = ， 当
17、 =13 + 1 = 0时， = 3， (3,0)， = 3， 当 = 0时， =13 + 1 = 1， (0,1)， = 1， = 3， = 1， 点坐标为(4,3)； (2)设 沿轴向右平移距离为， 第 18 页，共 21 页 则(,1)，(4 + ,3)， 点、都落在双曲线 =上， = 3(4 + )， 解得 = 6， 点(6,1)， = 6 1 = 6； (3)联立 =13 + 1 =6， 解得 = 6 = 1或 = 3 = 2， 点坐标为(6,1)，点坐标为(3,2)， = + =12 3 2 +12 3 1 =92 【解析】(1)过点作 轴于点，易证 ()，根据全等三角形的性质可得
18、点坐标； (2)设 沿轴向右平移距离为，则(,1)，(4 + ,3)，根据点、都落在双曲线 =上，列方程求出的值，进一步可求出的值； (3)联立直线解析式与反比例函数解析式可得点和点坐标，根据= + 可求出 的面积 本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形是解题的关键 25.【答案】(1)证明：如图1， 延长，相交于点， 是的平分线， = ， ， = = 90， = ， ()， = ， =12， 在 中， =12， = ； (2)解：如图2， 在 中，cot =247， 设 = 7，则
19、= 24， 根据勾股定理得， = 25， 过点作 于， 是的平分线， = 90， = ， =1212=1212， =， =725=725 +=725+7， =732 =732 24 =214， =754， 在 中，根据勾股定理得， = 2+ 2=354， = ， = ， ， =， =754214354=454， =354454=79； 第 20 页，共 21 页 (3)解：如备用图， 设 = ，则 = 2， 是 的斜边的中线， = ， = = 2， = + = 3， 以点为圆心，长为半径的圆恰好经过 的斜边中线与边的交点， = ， = = 3， + = 2 + 3 = 5 = 90， = 18
20、， = 36， 在 中， =36=45+14= 4(5 1) 【注】如图，在 中， = ， = 36，平分， 证明：36 =5+14， 证明：设 = = ， = ， 在 中， = ， = 36， = = 72， 平分， = =12 = 36 = ， = ， = 180 = = 72 = ， = = ， = ， = = = ， = ， ， =， =， =5+12或 =512(舍去)， 过点作 于，则 =12 =12( ) =514， = = 514 =3+54， = 36 =5+14 【解析】(1)延长，相交于点，判断出 ()，得出 = ，再判断出 =12，即可得出结论； (2)设 = 7，则 = 24， = 25，过点作 于，利用面积法判断出=，进而求出 =214， =754，进而求出 =354，再判断出 ，得出 =454，即可求出答案； (3)设 = ，则 = 2，进而求出 = 3，进而求出 = 36，即可求出答案 此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，勾股定理，面积法，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键 第 22 页，共 1 页
