1、北京市朝阳区2021-2022学年高一上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 下列函数在其定义域内是增函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 44. 若，则A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 7. “”是“关于方程有实数根”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 为了节约水资源，某地区对居民用水实行“
2、阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（ ）A. 170立方米B. 200立方米C. 220立方米D. 236立方米9. 已知奇函数的定义域
3、为，其图象是一条连续不断的曲线若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关黄金分割常数也可以表示成，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 函数的定义域是_12. _13. 如图，若角的终边与单位圆交于点，则_，_14. 已知定义在上的函数满足：；在区间上单调递减；的图象关于直线对称，则的解析式可以是_15. 已知函数f(x)=(5-a)x-a+1,x1ax,x1，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是_16. 给出下列四个结
4、论：函数是奇函数；将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；若是第一象限角且，则；已知函数，其中是正整数若对任意实数都有，则的最小值是4其中所有正确结论的序号是_三、解答题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 已知全集，集合，集合（1）求集合及；（2）若集合，且，求实数取值范围18. 已知为锐角，（1）求和的值；（2）求和值19. 已知函数，其中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知条件：；条件：的最小正周期为；条件：的图象经过点（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间20. 已知函数，（）（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，
5、求的取值范围；（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围21. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合（1）若集合，写出和集合；（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、，都存在集合，使得，则称集合具有性质若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值北京市朝阳区2021-2022学年高一上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】,，故选：.2. 下列函数在其定义域内是增函
6、数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在定义域内单调递减，排除B，单调区间不能用并集连接，排除CD.【详解】定义域为R，且在定义域上单调递增，满足题意，A正确；定义域为，在定义域内是减函数，B错误；定义域为，而在为单调递增函数，不能用并集连接，C错误；同理可知：定义域为，而在区间上单调递增，不能用并集连接，D错误.故选：A3. 已知，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C4. 若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
7、析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【详解】由题得.故选A【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断 的范围，即可判断三者的大小关系.【详解】,故，故选：B.6. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【详解】对于选项A，令，但 ，则A错误；对于选项B，令，但，则B错误；对于选项C，当时，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故
8、选：D.7. “”是“关于的方程有实数根”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A8. 为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）
9、污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（ ）A. 170立方米B. 200立方米C. 220立方米D. 236立方米【答案】C【解析】【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭全年用
10、水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C9. 已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线若，则函数在区间内的零点个数至少为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C10. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关黄金分割常数也可以表示成，则（ ）A.
11、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解.【详解】故选：A第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 函数的定义域是_【答案】#【解析】【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，解得，故函数的定义域为.故答案为：.12. _【答案】【解析】【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】故答案为：713. 如图，若角的终边与单位圆交于点，则_，_【答案】 . #0.8 . 【解析】【分析】根据单位圆中的勾股定理和点所在象限求出，然后根据三角函数的定义求出即可【详解】如图
12、所示，点位于第一象限，则有：，且解得：（其中）故答案为：；14. 已知定义在上的函数满足：；在区间上单调递减；的图象关于直线对称，则的解析式可以是_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.【详解】取，则，满足，在区间上单调递减，满足，的图象关于直线对称，满足.故答案为：（答案不唯一）.15. 已知函数f(x)=(5-a)x-a+1,x1ax,x1，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足 ，解得，所以实数a的取值范围为，
13、故答案为：16. 给出下列四个结论：函数是奇函数；将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；若是第一象限角且，则；已知函数，其中是正整数若对任意实数都有，则的最小值是4其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断.【详解】对于，其中，即为奇函数，则正确；对于将的图象向右平移个单位长度，即，则正确；对于若令，则，则不正确；对于，由题意可知，任意一个长为的开区间上至少包含函数的一个周期，的周期为，则，即，则的最小值是4, 则正确；故答案为：.三、解答题共5小题，共70分解答应写出文字说
14、明，演算步骤或证明过程17. 已知全集，集合，集合（1）求集合及；（2）若集合，且，求实数的取值范围【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围【小问1详解】由得：，所以，则，由，所以，【小问2详解】因为且，所以，解得所以的取值范围是18. 已知为锐角，（1）求和的值；（2）求和的值【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出，由正弦的两角和求.（2）利用同角之间的关系可求出，根据结合余弦的差角公式可得出答案.【小问1详解】因为为锐角，且，
15、所以所以【小问2详解】因为为锐角，所以所以所以19. 已知函数，其中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知条件：；条件：的最小正周期为；条件：的图象经过点（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间【答案】（1）条件选择见解析，； （2）单调递增区间为，.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出.选择：由可求得的值，由正弦型函数的周期公式可求得的值，可得出函数的解析式；选择：由正弦型函数的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式；选择：由可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式；（2）解不等式，可得出函数单调递增区间.【小问1详解】解：.选择：因为，所以，又因
16、为的最小正周期为，所以，所以；选择：因为的最小正周期为，所以，则，又因为，所以，所以；选择：因为，所以，所以又因为，所以，所以，又因为，所以，所以【小问2详解】解：依题意，令，解得，所以的单调递增区间为，.20. 已知函数，（）（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若对任意，存在，使得，求的取值范围【答案】（1）或 （2） （3）【解析】【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对
17、位置进行讨论，最终解不等式组求解.【小问1详解】当时，由得，即，解得或所以不等式的解集为或小问2详解】由得，即不等式的解集是所以，解得所以的取值范围是小问3详解】当时，又当，即时，对任意，所以，此时不等式组无解，当，即时，对任意，所以2m3,4-m242,8-2m3,解得，当，即时，对任意，所以此时不等式组无解，当，即时，对任意，所以此时不等式组无解综上，实数的取值范围是【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.21. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合
18、是由集合的所有子集组成的集合（1）若集合，写出和集合；（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、，都存在集合，使得，则称集合具有性质若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值【答案】（1），； （2）有，理由见解析；的最小值为，所有可能取值是、.【解析】【分析】（1）根据题中定义可写出与；（2）（i）求得，取、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，然后验证当、时，集合符合题意，即可得解.【小问1详解】解：由题中定义可得，.【小问2详解】解：（）集合具有性质，理由如下：因为，所以当时
19、，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；综上可得，集合具有性质；（）设集合，不妨设因为为正整数，所以，因为存在使得，所以此时中不能包含元素、且，所以所以因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、且，所以，所以若，则、，而，所以不存在，使得，所以若，则、，而，所以不存在，使得，所以同理可知，若，则，所以当时，若，则取，可知不存在，使得，所以，解得又因为，所以经检验，当、时，集合符合题意所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.
