1、2022年北京市顺义区高一下学期期末数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 在平面直角坐标系中，若点，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 6. 中，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知平面和直线，则下列结论正确的是（ ）A. 若垂直于平面内的两条平行直线，则B. 若平行于平面内
2、的一条直线，则C. 若平行于平面内的无数条直线，则D. 若垂直于平面内的两条相交直线，则8. 年月日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了米，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走了米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米9. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点，使得B. 存在点，使得等腰三角形C
3、. 三棱锥的体积为定值D. 存在点，使得平面二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知是复数，是虚数单位，若，则_.12. _.13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则_.14. 如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为_.15. 一次数学实践活动课的任务是测量操场上的国旗的高度，小明测量的数据如下：在水平地面上选取两点，旗杆的底端为，在点处测得旗杆顶端的仰角为，两点距离为，.则小明测得旗杆的高度为_（用表示）.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 已知平面向量，.从下列条件，条件中选出一个作为已知条件，解答下列问
4、题：（1）求的值；（2）求向量夹角的余弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件两个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求三棱锥体积.18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点.（1）若点的横坐标为，求的值；（2）在（1）的条件下，若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角（即），求的值.19. 在中，角所对的边分别为，若，.（1）求的值；（2）求的面积.20. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.21. 如
5、图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，.（1）若平面与平面相交于直线，求证：；（2）求证：平面平面；（3）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.2022年北京市顺义区高一下学期期末数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 在平面直角坐标系中，若点，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示求解即可【详解】由题意，故选：A2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求得复数对应的坐标，从而确定正确选项.【详解】复数对应的点为，在第四象
6、限.故选：D3. 已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据侧面积公式求解即可【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为 故选：D4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，解得.故选：B5. 已知是第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可求得的值.【详解】因为是第二象限角，且，则，因此，.故选：B.6. 在中，则（ ）A. B
7、. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正余弦值的关系求解，再根据正弦定理求解即可【详解】由题意，因为为三角形内角，故，由正弦定理，解得故选：C7. 已知平面和直线，则下列结论正确的是（ ）A. 若垂直于平面内的两条平行直线，则B. 若平行于平面内的一条直线，则C. 若平行于平面内的无数条直线，则D. 若垂直于平面内两条相交直线，则【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直于平行的性质和判定逐个分析即可【详解】对A， 垂直于平面内的两条相交直线才有，故A错误；对B，当，且平行于平面内的一条直线，不成立，故B错误；对C，若平行于平面内的无数条直线，则或，故C错误；对D，根据线面垂直的判定可得若
8、垂直于平面内的两条相交直线，则，故D正确；故选：D8. 年月日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了米，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走了米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】A【解析】分析】由三角形中余弦定理即可求解.【详解】如图：在中，,由余弦定理得：.故选：A9. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件可建立直角坐标系，写出点的坐标，根
9、据点坐标得向量坐标，进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点为圆心，以分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，圆的半径为，设，当时，取最小值，当时取最大值4故选：C10. 正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点，使得B. 存在点，使得等腰三角形C. 三棱锥的体积为定值D. 存在点，使得平面【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接、，再取的中点，连接，即可证明，从而说明A，再证明平面，即可说明C，由平面说明D，最后利用勾股定理说明B.【详解】解：对于A：取的中点，连接、，再取的中点，连接，又正方体的性质可知四边形为平行四边形，所以，
10、则，显然当在上时，不存在，故不存在点，使得，故A错误；显然，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，设为，则，又，故三棱锥的体积为定值，故C正确；因为平面，显然平面与平面不平行，故不存在点，使得平面，故D错误；设，则，所以，显然， ，则不能为等腰三角形，故B错误；故选：C二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知是复数，是虚数单位，若，则_.【答案】#【解析】【分析】利用复数除法化简可得结果.【详解】由已知可得.故答案为：.12. _.【答案】#【解析】【分析】利用正切的差角公式进行求解.【详解】故答案为：13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为
11、，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得，故故答案为：14. 如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】连接交于点，连接，即可得到，从而即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】解：连接交于点，连接，在正方体中，为的中点，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以，所以，即二面角的正弦值为.故答案为：15. 一次数学实践活动课的任务是测量操场上的国旗的高度，小明测量的数据如下：在水平地面上选取两点，旗杆的底端为，在点处测得旗杆顶端的仰角为，两点距离为，.则小明测得旗杆的高度为_（用表示）.【答案】#【解析】【分析】画出图形，根据
12、正弦定理求得，再根据等腰直角三角形的性质求得即可【详解】由题意如图，因为，故，由正弦定理 ，故.又，故为等腰直角三角形，故，即旗杆的高度为故答案为：三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 已知平面向量，.从下列条件，条件中选出一个作为已知条件，解答下列问题：（1）求的值；（2）求向量夹角的余弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）若选：由已知求得，再由向量垂直的坐标表示可求得答案；若选，由已知得，再由向量的模的计算公式可求得答案；（2）由（1）得，由向量夹角的坐标计算公式可求得
13、答案.【小问1详解】解：若选：因为，所以，又，所以，解得；若选，因为，所以，又，所以，又，解得；【小问2详解】解：由（1）得，所以，所以，所以向量夹角的余弦值为.17. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到，从而得证；（2）由正三棱柱的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证；（3）求出的面积，然后利用锥体的体积公式求解即可；【小问1详解】证明：因为、分别为、的中点，则，又，所以，又平面，平面，所以平面【小问2详解】证明：在正三棱柱中，平面且为
14、等边三角形，因为平面，所以，又为的中点，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；【小问3详解】解：在正三棱柱中，、分别为、的中点，则，所以，故三棱锥的体积为；18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点.（1）若点的横坐标为，求的值；（2）在（1）的条件下，若将角的终边绕点逆时针旋转，得到角（即），求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得，进而根据和差角公式代入即可求值；（2）求出二倍角的正余弦值，进而根据余弦的和差角公式即可求解.【小问1详解】由题意知,所以，因此.【小问2详解】由（1）知：，故，又因为，则，所以19. 在中，角所对的边
15、分别为，若，.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理计算可得；（2）首先求出，再根据面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，由余弦定理，即，解得或（舍去）.【小问2详解】解：由（1）可得，所以.20. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出
16、图象，根据图象交点个数即可求解.【小问1详解】由得，故最小正周期为,【小问2详解】由，解得，故的单调递增区间为【小问3详解】令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，.（1）若平面与平面相交于直线，求证：；（2）求证：平面平面；（3）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在为中点，使得平面，【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质判定即可；（2）根据线面垂直的判定，结合勾股定理证明平面即可；（3）取中点，中点，证明平行四边形，进而可得平面，再根据勾股定理求解的长即可【小问1详解】因为，平面，平面，故平面.又平面，且平面与平面相交于直线，故【小问2详解】由题意，且，故，即，解得，故，故.又平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故平面平面【小问3详解】存在为中点，使得平面.证明：取中点，中点，连接如图.由中位线的性质可得，且，又，故且，故平行四边形，故.又平面，平面，故平面.，此时，故
