1、北京市平谷区2021-2022学年高一下期末考试数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 已知向量， 且，那么的值为（ ）A B. C. D. 2. 的值等于（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，那么该四棱柱的体积为（ ）A. B. C. D. 4. 已知一个正方体八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 5. 将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是()A. B. C. D. 6. 已知向量、在正方形网格中的位置，如图所示，则（ ）A. B. C. D. 7.
2、 如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）（其中，精确到）A B. C. D. 8. 已知平面，则 “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 10. 在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（ ）A. 个B. 个C. 个D. 无数个第卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请
3、把答案填在答题卡中相应题中横线上）11. 已知，则的值为_.12. 已知复数z=1+3i，则_.13. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则_14. 在中，则_.15. 关于函数，有下面四个结论：是偶函数； 无论取何值时，恒成立；的最大值是； 的最小值是.其中正确的结论是_.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知向量，（1）当时，求x的值；（2）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值；（3）当时，求17. 如图，在三棱锥中，底面，分别为，的中点.设平面与平面交于直线（1）求证：平面；（2）求证：.18. 已知函数（1）求函数最大值，并求出函数取得最大值时的值
4、；（2）求函数的单调递减区间及对称轴方程19. 已知，且为第二象限角.（1）求， ，的值；（2）求的值.20. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点. 为上的点且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.21. 在ABC中，（1）求的大小；（2）若， 求，并计算的面积；从， 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分北京市平谷区2021-2022学年高一下期末考试数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.） 1. 已知向量， 且，那么的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量线
5、性运算的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为， 且，所以，所以，解得.故选：A2. 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦的差角公式求解即可【详解】故选：B3. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，那么该四棱柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】该四棱柱的体积为，由此能求出结果【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，该四棱柱的体积为故选：C4. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，
6、由勾股定理求出直径，再用球的表面积公式求解即可【详解】因为一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，所以正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，由勾股定理可得体对角线为，所以球的半径是,所以这个球的表面积是，故选：D5. 将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由三角函数平移性质和结论可知，将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是:.本题选择A选项.6. 已知向量、在正方形网格中的位置，如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结
7、果.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，则，则，因此，.故选：C.7. 如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）（其中，精确到）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求解即可【详解】由题意可知，由正弦定理可知，即，解得，故选：C8. 已知平面，则 “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】若以“”作为条件，先证明l垂直于，进而证明“”；若以“”作为条件，结合正方体即可判断.【详解】如图1，设，在内作直线m，使得，而，所以.
8、在内作直线n，使得，而，所以.于是，又因为，所以，而，所以，故.如图2，过直线l作平面与平面交于r，若，则以，而，故.如图3，在正方体，记平面，平面，平面ABCD，平面分别为，容易判断，但.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.9. 已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出.【详解】方程在内有解，即在内有解，令，则，所以，解得.故选：C.10. 在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（ ）A. 个
9、B. 个C. 个D. 无数个【答案】C【解析】【详解】线段与线段相交且互相平分，四边形是平行四边形，因的长为定值，为了使四边形面积最大，只须到的距离为最大即可，由正方体的特征可以知道，当点位于，时，平行四边形面积相等，且最大，则使得四边形面积最大的点有个故选点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.第卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11. 已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式计算即可.【详解】.故答案为：1
10、2. 已知复数z=1+3i，则_.【答案】【解析】【分析】由共轭复数的定义及复数的乘法运算即可求得答案.【详解】由题意，.故答案为：10.13. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】直接由结合已知条件求解即可【详解】因为平面向量满足，且与的夹角为，所以，故答案为：14. 在中，则_.【答案】【解析】【分析】由余弦定理建立方程求解即可.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即，解得或（舍）故答案：615. 关于函数，有下面四个结论：是偶函数； 无论取何值时，恒成立；的最大值是； 的最小值是.其中正确的结论是_.【答案】 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断；通过代特值可以判断
11、；将函数化为，进而结合函数的有界性判断；容易判断当x=0时，同时取到最小值0和-1，进而判断.【详解】对，则函数为偶函数，正确；对，错误；对，而，则，又，于是，错误；对，当x=0时，同时取到最小值0和-1，则的最小值是，正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知向量，（1）当时，求x的值；（2）当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值；（3）当时，求【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）由平面向量平行坐标表示即可求得答案；（2）由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案；（3）由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出
12、向量的模.【小问1详解】，即【小问2详解】，向量与向量的夹角的余弦值为【小问3详解】依题意 ，即，17. 如图，在三棱锥中，底面，分别为，的中点.设平面与平面交于直线（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明，然后结合线面垂直的判定定理证明问题；（2）先证明平面，然后结合线面平行的性质定理证明问题.【小问1详解】因为 平面， 平面， 所以 . 因为 ， 所以 平面.【小问2详解】在中，因为 ，分别为，中点，所以 . 因为 平面，平面，所以 平面. 因平面与平面交于直线，所以.18. 已知函数（1）求函数的最大值，并求出函数取得最大值
13、时的值；（2）求函数的单调递减区间及对称轴方程【答案】（1）最大值是，； （2）单调递减区间：对称轴方程：【解析】【分析】（1）先通过辅助角公式将函数化为正弦型函数，进而结合正弦函数的性质求得答案；（2）结合（1），通过正弦函数的单调性和对称轴求得答案即可.【小问1详解】因为，所以当，即时，有最大值是. 所以函数的最大值是，取得最大值时的值是.【小问2详解】由，所以所以的单调递减区间是由，所以的对称轴方程是19. 已知，且为第二象限角.（1）求， ，的值；（2）求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数基本关系与二倍角公式求解即可；（2）由余弦的差角公式结合（1）的计
14、算结果求解即可【小问1详解】由，且为第二象限角，可得， ， ；【小问2详解】 20. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点. 为上的点且.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理证明即可；（2）取中点，取BC中点连接，由平行的传递性与线面平行的判定定理证明即可；（3）由等积法求解即可【小问1详解】在直三棱柱中，底面，所以，又因为，所以平面.【小问2详解】取中点，取BC中点连接，因为为的中点，为上的点且，所以为的中点，所以因为，分别是、的中点，所以，且=，因为，且
15、=，所以，且=，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，又因为平面，平面，所以平面. 【小问3详解】因为，所以=，所以三棱锥体积等于三棱锥的体积为：=.21. 在ABC中，（1）求的大小；（2）若， 求，并计算的面积；从， 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）； （2）若选：，；若选：，.【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，然后利用三角函数的知识可得答案；（2）若选，由余弦定理求出，然后可得答案；若选，首先求出，然后求出，然后可得答案.【小问1详解】在中，因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，所以，在中，所以，因为，所以.【小问2详解】若选，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）所以因此若选，则， 由正弦定理，得，解得
