1、北京市昌平区2021-2022学年高一下期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设向量，则（ ）A 1B. 5C. 7D. -53. （ ）A B. C. D. 4. 在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（ ）A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）A. B. C. D. 6. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）A. B. C. D. 7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个
2、小正方形的边长均为1，则（ ）A. B. C. D. 208. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 9. 在中，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，在正方体中，点，分别为线段，上的任意一点给出下列四个结论：存在点，使得平面；存点，使得平面；存在点，使得平面；存在点，使得平面其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 已知复数，则_.12. 在中，已知，则_13 已知向量，满足，
3、则_14. 已知函数的部分图像如图所示，则_；_15. 已知，是两个不同平面，是两条不同的直线，给出下列五个论断：；以其中两个论断作为条件，使得成立这两个论断可以是_（填上你认为正确的一组序号）16. 已知函数，给出下列三个结论：是偶函数；的值域是；在区间上是减函数其中，所有正确结论的序号是_三、解答题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知函数（1）求的值及的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值18. 如图，在直三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面19. 在中，（1）求和的值；（2）求BC边上的高20. 如图，在直角梯形中，以直线
4、为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若平面BCEF与直线AG相交于点H，试确定点H的位置，并求线段BH的长21. 已知函数的定义域为，满足如下两个条件：对于任意，都有成立；函数的所有正数零点中存在最小值为则称函数具有性质（1）若函数具有性质，求的值；（2）若函数具有性质，求和的值；（3）判断函数和是否具有性质，说明理由北京市昌平区2021-2022学年高一下期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【
5、解析】【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解.【详解】解：因为，其在复平面内对应点的坐标为，故复数对应的点位于第二象限.故选：B.2. 设向量，则（ ）A. 1B. 5C. 7D. -5【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，直接计算作答.【详解】因向量，所以.故选：A3. （ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用三角函数的诱导公式化简求值即可.【详解】故选：B4. 在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线的位置关系逐一判断即可.【详解】直线与直线异面但不
6、垂直，直线与直线异面但不垂直，直线与直线异面且垂直，直线与直线共面，故选：C5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义可得答案.【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，所以，故选：D6. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可；【详解】解：对于A：最小正周期为，故A错误；对于B：，则，故为偶函数，故B错误；对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确；对于D：，最小正周期为的
7、偶函数，故D错误；故选：C7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A. B. C. D. 20【答案】C【解析】【分析】根据图可得的坐标，然后可算出答案.【详解】由图可得，所以，所以，故选：C8. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出平移后的解析式，然后求出的值即可.【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，得到的是函数的图像，因为函数的图像关于轴对称，所以，即，所以当时，故选：D9. 在中，则“”是“是钝角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要
8、而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在中，由得：或，而，则，因此得，于是得，是钝角三角形，当是钝角三角形时，取钝角，即钝角三角形不能推出，所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.故选：A10. 如图，在正方体中，点，分别为线段，上的任意一点给出下列四个结论：存在点，使得平面；存在点，使得平面；存在点，使得平面；存在点，使得平面其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当，分别为线段，的中点时，然后可判断出答案.【详解】当，分别为线段，的中点
9、时，所以此时有平面，平面，不存在点，使得平面、平面，故正确结论的序号是，故选：D第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 已知复数，则_.【答案】【解析】【详解】12. 在中，已知，则_【答案】【解析】【分析】由余弦定理结合得出.【详解】在中，已知，则由于，故故答案为：13. 已知向量，满足，则_【答案】【解析】【分析】利用平面向量垂直得向量数量积为0，结合向量数量积的定义即可求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，解得.故答案为：.14. 已知函数的部分图像如图所示，则_；_【答案】 . 2 . 【解析】【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期与，可
10、求出的值.再借助图象平移变换可把上图由的图象向左平移得到的，进而求出.【详解】由相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可得 ，即.又且，所以.观察图象易得轴左侧的第一个对称中心为 ，根据，因此函数的图象可由的图象向左平移得到的，故 ，可得.故答案为：2，15. 已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列五个论断：；以其中两个论断作为条件，使得成立这两个论断可以是_（填上你认为正确的一组序号）【答案】或【解析】【分析】根据空间中的线面、面面位置关系可判断出答案.【详解】由、可得；由、可得；故答案为：或16. 已知函数，给出下列三个结论：是偶函数；的值域是；在区间上是减函数其中，所有正确结
11、论的序号是_【答案】【解析】【分析】计算出可判断，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断，当时，然后可判断.【详解】因为，所以是偶函数，故正确，当时，当时，又因为，所以的值域是，故错误；当时，此时，所以在区间上是减函数，故正确，故答案为：三、解答题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知函数（1）求的值及的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1），最小正周期 （2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简，进而可求的值及的最小正周期；（2）由可求，进而根据正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】，所以，的最小
12、正周期为【小问2详解】因为，则，故当，即时取最大值，当，即时，取最小，18. 如图，在直三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件可得，即可证明；（2）根据条件证明、，然后得到平面即可.【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，【小问2详解】因为，为的中点，所以，因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.19. 在中，（1）求和的值；（2）求BC边上的高【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出
13、的值，然后利用正弦定理可得的值；（2）BC边上的高为，即可算出答案.【小问1详解】因为，所以由余弦定理得，所以，解得，所以，所以由正弦定理可得，；【小问2详解】BC边上的高为.20. 如图，在直角梯形中，以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若平面BCEF与直线AG相交于点H，试确定点H的位置，并求线段BH的长【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）点为的延长线与的延长线的交点，.【解析】【分析】（1）根据条件证明四边形是平行四边形，然后得到即可；（2）根据面面垂直的性质定理得到平面即可；（3）点为的延长线与
14、的延长线的交点，然后可求出答案.【小问1详解】因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因平面，平面，所以平面，【小问2详解】因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，【小问3详解】因为与共面，所以点为的延长线与的延长线的交点，因为，所以，所以，因为平面，所以为直角三角形，所以21. 已知函数的定义域为，满足如下两个条件：对于任意，都有成立；函数的所有正数零点中存在最小值为则称函数具有性质（1）若函数具有性质，求的值；（2）若函数具有性质，求和的值；（3）判断函数和是否具有性质，说明理由【答案】（1） （2） （3）不具有性质，具有性质【解析】【分析】（1）根据函数具有性质，则可取，即可求解.（2）根据具有性质，可知2是最小的正数零点，结合即可求解.（3）根据函数具有性质的必要条件可判断，根据两角和与差的余弦公式即可验证.【小问1详解】对于任意，都有成立；取，则，因为函数的所有正数零点中存在最小值为所以不恒为0，因此【小问2详解】令，由于具有性质，故可知，又由（1）知，所以.【小问3详解】由（1）知：若函数是具有性质，则满足可知：，故函数不具有性质，对任意的，且存在最小的正数使得，故具有性质.
