1、北京市大兴区2021-2022学年高一下期末检测数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 这组数据的第50百分位数是（ ）A. 3B. C. 4D. 52. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数（ ）A. B. C. D. 3. 抛掷一枚硬币两次，则至少有一次正面朝上的概率是（ ）A. B. C. D. 4. 已知是单位向量，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）A. B. C. D. 6. 一个袋中只装有红球黄球和蓝球，从中随机摸出一个球，若摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，
2、则摸出红球或蓝球的概率是（ ）A. B. C. D. 7. 已知点，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 8. “直线与平面平行”是“直线与平面内无数条直线平行”的A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知向量满足，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若与是共线向量，则_.12. 若复数满足，则_；_.13. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示
3、，由此图，估计总体数据不低于30的概率为_；估计总体数据的第80百分位数是_.14. 已知直线和平面.给出下列三个论断：；.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.15. 已知以为起点向量在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为_.设集合，则表示的区域的面积为_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知向量满足.（1）当与的夹角为时，求；（2）当实数为何值时，向量与垂直；（3）若，求的值.17. 从这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对为第一次取到的数字，为第二次取到的数字.设事件“第一次取出的
4、数字是1”，“第二次取出的数字是2”.（1）写出此试验样本空间及的值；（2）判断与否为互斥事件，并求；（3）写出一个事件，使成立.18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若平面平面，求的大小.19. 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18.（1）如果已知男女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差；（2）如果已知男女样
5、本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系；（3）如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由.20. 在中，.（1）若，求；（2）若存在且唯一确定，求的取值范围.21. 如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；（2）在三棱锥中，若为中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（3）设是及其内部的点构成的集合，当时，求三棱锥的体积的取值范围.北京市大兴
6、区2021-2022学年高一下期末检测数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 这组数据的第50百分位数是（ ）A. 3B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义计算求解即可.【详解】将数据从低到高排列为1，2，3，4，5，5.而，所以第50百分位数是.故选：B.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数对应的点的坐标是，可直接求得复数，再利用共轭复数的概念求解.【详解】由复数对应的点的坐标是，可得，故，故选：A.3. 抛掷一枚硬币两次，则至少有一次正面朝上的概率是（ ）A B. C. D
7、. 【答案】D【解析】【分析】用列举法写出所有基本事件，再由概率公式计算【详解】抛掷一枚硬币两次，朝上的面可能为：正正，正反，反正，反反，共4个，其中至少有一次正面朝上有正正，正反，反正共3个，所以概率为故选：D4. 已知是单位向量，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据单位向量的定义即可判断AB；根据数量积的运算律即可判断C，根据数量积的模的计算方法即可判断D.【详解】解：因为是单位向量，所以，又，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ）
8、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理求解即可【详解】因为，故，由正弦定理，故m故选：D6. 一个袋中只装有红球黄球和蓝球，从中随机摸出一个球，若摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，则摸出红球或蓝球的概率是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率公式即可.【详解】因为，所以.所以故选：C.7. 已知点，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意写出、,带入即可算出答案.【详解】由题意知：，.所以：.故选：A.8. “直线与平面平行”是“直线与平面内无数条直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充
9、分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可.【详解】因为“直线与平面平行”，所以根据线面平行的性质定理可知“直线与平面内无数条直线平行”，反之不成立，因为直线还可能在平面内.故选：A.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确语句间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.9. 已知向量满足，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的定义即可.【详解】因为，向量满足，且，所以，则，所以.故选：B.10. 如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平
10、面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点，再根据几何关系，结合线线角线面角与二面角的定义，分析的正切值大小结合正切的单调性判断即可【详解】取的中点，连接如图.易得，故直线与所成的角.又直线平面，故与平面所成的角.又平面，故二面角的平面角.因为，故，又均为锐角，故故选：B二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若与是共线向量，则_.【答案】【解析】【分析】由两向量共线的坐标表示计算即可得出答案.【详解】因为与共线所以：.故答案为：.12. 若复数满足，则_；_.【答案】 . # . 【解析】【分析】根据复数的除法运算与模长的公式求
11、解即可【详解】由题意，故答案为：；13. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示，由此图，估计总体数据不低于30的概率为_；估计总体数据的第80百分位数是_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据频率分布直方图先算出数据在之间的频率为：，即可估计算出总体数据不低于30的概率，与总体数据的第80百分位数.【详解】数据在之间的频率为：;数据在之间的频率为：;数据在之间的频率为：;数据在之间的频率为：;所以总体数据不低于30的概率为：;数据在之间的频率为：，数据在之间的频率为：，因此总体数据的第80百分位数一定位于.由.可以估计估计总体数据的第80百分位数是.故答案为：；.14. 已知直线和平面.给出
12、下列三个论断：；.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.【答案】若，则【解析】【分析】分三种情况判断：作条件，作结论；作条件，作结论；作条件，作结论.只要以上三个命题为真即可.【详解】解：将作条件，作结论：若，则.此命题为假命题（结论应为或）；将作条件，作结论：若，则.此命题为假命题（结论应为与相交或）；将作条件，作结论：若， ，则.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命题.故答案：若， ，则.15. 已知以为起点的向量在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为_.设集合，则表示的区域的面积为_.【答案】 . 2 . 4【解析】【分析】（1）建立
13、平面直角坐标系，运用向量的坐标表示以及坐标运算求解即可；（2）设，根据已知条件得到，进而得到，利用的取值范围，在平面直角坐标系中作出表示的区域，然后求出图形各个顶点的坐标，进而求其面积.【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，；设，即，解得，又， ，即，作出表示的区域，如图所示，则由， ， ， 分别解得，易知四边形为菱形，则菱形的面积为：.故答案为：；.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知向量满足.（1）当与的夹角为时，求；（2）当实数为何值时，向量与垂直；（3）若，求的值.【答案】（1） （2）或 （3）或【解析】【分析】（1）首先求出，
14、再根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；（3）依题意可得，即可求出；【小问1详解】解：由知，.因为与的夹角为，所以【小问2详解】解：由向量与垂直知，所以，所以，所以，所以或.【小问3详解】解：由知，即，所以或.17. 从这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对为第一次取到的数字，为第二次取到的数字.设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”.（1）写出此试验的样本空间及的值；（2）判断与是否为互斥事件，并求；（3）写出一个事件，使成立.【答案】（1）样本空间， （2）与不是互斥事件， （3）【解析】【分析】（1）根据题意直接写
15、出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可；（2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得；（3）根据（1）中满足的基本事件直接求解即可【小问1详解】样本空间所以.因为，所以.从而.因为，所以.从而.【小问2详解】因为，故与不是互斥事件.又.所以.从而.【小问3详解】.18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若平面平面，求的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）证明与平面内两条相交直线分别垂直即可；（2）通过证明平行四边形，证明与平面内的直线平行，进行证明线面平
16、行；（3）利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直，得，由底面为菱形，再利用平面几何知识，求得.【小问1详解】因为平面，平面，所以.又因为底面为菱形，所以.又因为，所以平面.【小问2详解】取为的中点，联结.在中，分别为的中点，所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面.所以平面.【小问3详解】因为平面，平面，所以.因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以则是等边三角形.所以.19. 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的
17、身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18.（1）如果已知男女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差；（2）如果已知男女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系；（3）如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由.【答案】（1）， （2） （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据按比例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算可得答案；（2）根据按比
18、例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算再比较大小可得答案；（3）示例1：可以认为比更接近总体平均身高。理由：男女生身高存在明显差异，采用按男女比例分配的分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样；示例2：不能认为比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于分层随机抽的估计效果；示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果一定好于简单随机抽样.【小问1详解】由题意知，总样本的平均数为总样本的方差为【小问2详解】男女样本量分别为30和70时，总样本的平均数为，总样本的方差
19、为所以.【小问3详解】答案示例1：可以认为比更接近总体平均身高.理由如下：男女生身高存在明显差异，采用按男女比例分配的分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，所以可以认为比更接近总体平均身高.答案示例2：不能认为比更接近总体平均身高.理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于分层随机抽的估计效果，所以不能认为比更接近总体平均身高.答案示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高.理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果一定好于简单随机抽样，所以无法确定是否比更接近总体平均身高.20. 在中，.（1）若，求；（2）若存在且唯一确
20、定，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）或【解析】【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一确定，则，或，从而求得的范围.【小问1详解】因为，所以.因为，所以.由余弦定理知所以.得.所以，或.由正弦定理知.所以，当时，.当时，.【小问2详解】由（1）得，存在且唯一确定，则，或，综上，当或时，存在且唯一确定.21. 如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；（2）在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（3）设是
21、及其内部的点构成的集合，当时，求三棱锥的体积的取值范围.【答案】（1）落上，理由见解析； （2）直线与平面平行，理由见解析； （3）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即得；（2）取的中点，由题可得，进而可得，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，然后利用面面平行的判定及性质即得；（3）作交于，可得平面，在中，作，可得平面，然后求的取值范围即得.【小问1详解】当落上时，平面平面.因为，所以平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】直线与平面平行.证明如下：取的中点，连结.因为平面，所以，在Rt和Rt中，所以，所以，因为为的中点，所以，又在矩形中，所以，因为平面平面，所以平面，在中，分别为的中点，所以，因平面平面，所以平面，又在平面中，所以平面平面，因为平面，所以平面.小问3详解】在矩形中，作交于，已知，由题意知在中，作，交于，沿将折起成后，又，所以平面.因为平面，所以，又，在平面中，所以平面，因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，因为在Rt中，所以，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，因为四面体的体积为，当取得最大值时，即与重合时，四面体的体积取得最大值；当取得最小值时，即与重合时，四面体的体积取得最小值.综上，当时，四面体的体积的取值范围是.
