1、北京市平谷区2021-2022学年高二下期末考试数学试卷一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）A. 函数在上不单调B. 函数在的切线的斜率为0C. 是函数的极小值点D. 是函数的极大值点3. 已知等比数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（ ）A. 20B. 8C. 9D. 1205. 已知是等差
2、数列，其前10项和，则其公差A. B. C. D. 6. 若是数列的前项和，则的值为（ ）A. 26B. 18C. 22D. 727. 函数在上极小值点为（ ）A. B. C. D. 8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次则“两次取球中有3号球”的概率为A. B. C. D. 9. 已知直线与曲线切于点，则b的值为（ ）A. 3B. C. 5D. 10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函
3、数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量已知t=30时，铯137含量的变化率是10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A. 5太贝克B. 75In2太贝克C. 150In2太贝克D. 150太贝克二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11. 展开式中x的系数为_（用数字作答）.12. 甲乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为_.13. 在等比数列中，若，则公比_；_时，的前项积最大.14. 设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐
4、近线方程为_.15. 已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：数列具有性质；数列具有性质；若数列具有性质，则；若数列具有性质，则.其中正确的命题有_.三解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 已知函数在点处的切线斜率为，且当时，取得极值.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.17. 已知是等差数列，其前5项和.（1）求的通项；（2）求前项和的最大值.18. 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据，按照国家学生体质健康标准整理如下表
5、，规定：数据，体质健康为合格.等级数据范围男生人数女生人数优秀42良好54及格811不及格60以下33总计2020（1）估计该校高一年级学生体质健康等级是合格的概率；（2）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；（3）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.19. 已知椭圆短轴的两个端点分别为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时
6、，求函数的单调区间.21. 已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和4.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.北京市平谷区2021-2022学年高二下期末考试数学试卷一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A2. 已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）A. 函数在上不单调B. 函数
7、在的切线的斜率为0C. 是函数的极小值点D. 是函数的极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；对B，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；故选：D3. 已知等比数列满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得公比，进而计算可得答案.【详解】根据题意，设等比数列公比为，若，则有，解得，故.故选：D.4. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上
8、排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（ ）A. 20B. 8C. 9D. 120【答案】A【解析】【分析】根据题意在6个爻选3个作为阳爻求解即可【详解】由题意，在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是 故选：A5. 已知是等差数列，其前10项和，则其公差A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，解得，则，故选D6. 若是数列的前项和，则的值为（ ）A. 26B. 18C. 22D. 72【答案】C【解析】【分析】利用数列前项和与数列的项之间的关系即得.【详解】.故选：C.7. 函数在上的极小值点为（ ）A. B. C. D. 【答案】
9、C【解析】【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.【详解】对于函数，因为，当时，当时，当时，所以在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数，在，是增函数因此，函数在上的极小值点为.故选：C.8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次则“两次取球中有3号球”的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】每次取球时，出现3号球的概率为，则两次取得球都是3号求得概率为，两次取得球只有一次取得3号求得概率为，故“两次取球中有3号球”的概率为，本题选择A选项.9. 已知直线与曲线切于点，则b的
10、值为（ ）A. 3B. C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】因为是直线与曲线的交点,所以把代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.【详解】把代入直线中,得到,求导得：,所以,解得,把及代入曲线方程得：,则b的值为3.故选：A.【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程斜率,是一道基础题.10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的
11、衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量已知t=30时，铯137含量的变化率是10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A. 5太贝克B. 75In2太贝克C. 150In2太贝克D. 150太贝克【答案】D【解析】【详解】M（t）=M0，M（30）=M0=10ln2，M0=600故选D二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11. 的展开式中x的系数为_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】首先写出展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；【详解】解：展开式的通项为
12、，令，解得，所以，故展开式中的系数为；故答案为：12. 甲乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为_.【答案】# 【解析】【分析】计算得到目标至少被命中1次的概率、目标至少被命中1次且乙命中目标的概率，由条件概率公式可求得结果【详解】解：记事件为“乙命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，则，故答案为：13. 在等比数列中，若，则公比_；_时，的前项积最大.【答案】 . . 【解析】【详解】在等比数列中,由,得 ， ；则的前n项积： 当n为奇数时，当n为偶数时 有最大值又 ，且当n为大于等于4的偶数时,，当n=4时,
13、的前n项积最大.故答案为；4.点睛：本题考查了等比数列通项公式及性质，前n项积的表达式，要分析奇数， 偶数的特点，从而找出最大项.14. 设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】yx【解析】【分析】由已知得，再结合求得a，可得渐近线方程【详解】因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx.故答案为：yx【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题15. 已知数列具有性质对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：数列具有性质；数列具有性质；若数列具有性质，则；若数列具有性质，则.其中正确的命题有_
14、.【答案】.【解析】【分析】利用数列新定义判断, ；取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项,即可判断；由题意可知与至少有一个是该数列中的一项，且，分是该数列中的一项和是该数列中的一项讨论即可.【详解】解：对于数列0，1，3，选取1，3，则3+1A，所以数列0，1，3不具有性质P，故错误；对于数列0，2，4，6，（2+0，2-0），（4+0，4-0），(6+0，6-0)，(4+2，4-2)，(6+2，6-2)，(6+4，6-4)这6组数中的每一组至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质P.故正确；若数列具有性质，取数列中最
15、大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以0是该数列中的项，又由，所以，故正确；因为数列具有性质，所以与至少有一个是该数列中的一项，且，若是该数列中的一项，则，因为，易知不是该数列的项，所以，所以若是该数列中的一项，则或或，a、若同，b、若，则，与矛盾，c、，则，综上故正确故答案为：.【点睛】考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题三解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 已知函数在点处的切线斜率为，且当时，取得极值.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.【
16、答案】（1） （2）单调递增区间为，；单调递减区间为.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）的解析式，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；【小问1详解】解：由，有且，解得，故，经检验时，取得极值，符合题意.【小问2详解】解：，令解得或，令解得，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.17. 已知是等差数列，其前5项和.（1）求的通项；（2）求前项和的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设的公差为，结合等差数列通项公式和前项和的性质可得，进而求得通项公式；（2）结合等差设数列的函数性质直接求解即
17、可.小问1详解】为等差数列，.又，即，解得，故，即【小问2详解】因为，随着的增大而减小，且，故当或时，有最大值.18. 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据，按照国家学生体质健康标准整理如下表，规定：数据，体质健康为合格.等级数据范围男生人数女生人数优秀42良好54及格811不及格60以下33总计2020（1）估计该校高一年级学生体质健康等级是合格的概率；（2）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；（3）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人
18、中恰有2人健康等级是优秀的概率.【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为、，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；（3）首先求出样本中男、女生健康等级是优秀的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：样本中合格的学生数为：，样本总数为：，这名学生体质健康合格的概率.【小问2详解】解：依题意的可能取值为、，所以，所以的分布列为：所以.【小问3详解】解：由样本可知男生健康等级是优秀的概率为，女生健康等级是优秀的概率为，则这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.19. 已知椭圆的短轴
19、的两个端点分别为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得、，再根据、的关系，求出，即可得解；（2）设直线的方程为：，即可求出点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出的坐标，同理求出的坐标，再求出，的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到，即可得证；【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以椭圆的方程为：；【小问2详解】解：设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线与的交点，所以，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，
20、可得，即，因为，直线的方程为：，联立，解得：，由题意可得，所以，所以，即，所以，即为定值；20. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间.【答案】（1）； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为.【解析】【分析】（1）利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求出函数导数，解不等式可得出函数的单调区间即可.【小问1详解】当时，则，又，所以在处的切线方程为，即.【小问2详解】时，由函数，得：，当且时，当时，所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.21. 已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.（1）求椭圆的方程；（2）设为原
21、点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可得，即可求出、，从而得解；（2）由（1）可得点坐标，当直线斜率时，直接求出、两点坐标，从而得到直线方程，即可求出的值，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线方程，即可得到点的坐标，从而求出的值；【小问1详解】解：依题意，解得，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：由（1）可知，当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，不妨设此时，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以；当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得，依题意，设，则，又直线的方程为，令，得点的纵坐标为，即，同理，得，所以，综上可得，为定值，定值为
