1、北京市顺义区2021-2022学年高二下期末数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 的值为（ ）A. 20B. 10C. 5D. 22. 的展开式中，的系数为（ ）A. 12B. C. 6D. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）X012P02a0.5A. 0.3B. 0.8C. 1.2D. 1.34. 设函数，则（ ）A. 0B. C. 1D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现
2、该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）A. 64种B. 81种C. 7种D. 12种7. 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛马羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟A. B. C. D. 8. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物
3、密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）A. B. C. D. 9. 已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 1210. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ）A. B. 一定存在极小值点C. 若，则是函数的极小值点D. 若，则二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知等差数列，则_.12. 某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有_种.13. 已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例
4、为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为_.14. 函数的最小值为_.15. 已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论： ； 数列一定是递增数列； 数列通项公式可以是； 数列的通项公式可以是.所有正确结论的序号是_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明演算步骤或证明过程.16. 已知展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.（1）求n的值；（2）求展开式中各项系数的和；（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.17. 已知函数.（1）求单调区间；（2）求在区间上的最值.18. 下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百
5、分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生数为14人.分数段频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在分数段内的人数；（2）现从分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；（3）若在分数段内的女生有4人，现从分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望.19. 已知数列为等差数列，前n项和为，数列是以为公比的等比数列，且.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）数列满足，记数列的前n项和为，求的最小值.20. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2
6、）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.（3）证明：.21. 若存在某常数M（或m），对于一切，都有（或），则称数列上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”.（1）已知4个数列的通项公式如下：；.请写出其中“有界数列”的序号；（2）若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；（3）在（2）的条件下，记数列的前n项和为，是否存在正整数k，使，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.北京市顺义区2021-2022学年高二下期末数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 的值为（ ）A. 20B. 10C. 5D. 2【答案】A【解析】【分析】由排列数定义
7、计算【详解】故选：A2. 的展开式中，的系数为（ ）A. 12B. C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，所以，即的系数为；故选：C3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）X012P0.2a0.5A. 0.3B. 0.8C. 1.2D. 1.3【答案】D【解析】【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望公式计算可得；【详解】解：依题意可得，解得，所以；故选：D4. 设函数，则（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】求出导函数，直接代入求解.【详解】因为函数，所以，所以.故选：B5.
8、 已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即，在点的切线斜率等于，即，在点的切线斜率大于，即，所以；故选：B6. 已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）A. 64种B. 81种C. 7种D. 12种【答案】A【解析】【分析】由分步计数原理计算【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为故选：A7. 中国古代数学名著九章算术中
9、有这样一个问题：今有牛马羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.【详解】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，所以，解得：.故选：B8. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气
10、.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、所对应的点为、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C9. 已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意可得，得，由于等差数列的各项均为正整数，得到公差也为正整数，即为24的约数，从而可求出相应的的值，进而可求出的最小值
11、【详解】因为，所以，所以，所以，因为数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值为11，故选：C10. 已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（ ）A. B. 一定存在极小值点C. 若，则是函数的极小值点D. 若，则【答案】D【解析】【分析】求出导函数，有两个不等实根，然后由极值点、单调性与的根的关系判断各选项【详解】，是极大值点，有两个不等实根， ，即，设有两不等实根和，是极大值点，则时，时，从而时，是极小值点B正
12、确；由于时，因此A正确；若，则，,的两解互为相反数，即，C正确；时，D错故选：D二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知等差数列，则_.【答案】5【解析】【分析】由等差数列的性质计算【详解】由题意，故答案为：512. 某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有_种.【答案】6【解析】【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为故答案：613. 已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率
13、为_.【答案】#078【解析】【分析】根据全概率公式直接求解.【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：.故答案为：.14. 函数的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】求出导函数，确定单调性可得最小值【详解】，由得，得，在上递减，在上递增，所以的极小值也是最小值为故答案为：115. 已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论： ； 数列一定是递增数列； 数列通项公式可以是； 数列的通项公式可以是.所有正确结论的序号是_.【答案】 【解析】【分析】求得与的大小关系判断 ；举反例否定 ；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定 ；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定
14、 .【详解】数列满足不等式（其中），则有（其中）， 由 ，可得.判断正确； 当 时，满足，数列为常数列.则数列不一定是递增数列.判断错误； 当 时，由，可得， 即不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确； 当 时，则不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确；故答案为： 三解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明演算步骤或证明过程.16. 已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.（1）求n的值；（2）求展开式中各项系数的和；（3）判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.【答案】（1）5； （2）1024； （3）不存在.【解析】【分析】（1）利用第2项与第5项的二项式系数
15、相等，列方程，即可解得；（2）利用赋值法令代入可得；（3）利用通项公式列方程求解即可.【小问1详解】的展开式的通项公式为.因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以，解得：.【小问2详解】要求展开式中各项系数的和，只需令代入可得：.即展开式中各项系数的和为1024.【小问3详解】要求展开式中的常数项，只需在中，令，而,所以无解，即展开式中不存在常数项.17. 已知函数.（1）求单调区间；（2）求在区间上的最值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最小值为，最大值为4【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较
16、端点值求出最大值.【小问1详解】定义域为R，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为【小问2详解】由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为418. 下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生数为14人.分数段频率0.120.160.20.180.140.1a（1）求测试成绩在分数段内的人数；（2）现从分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；（3）若在分数段内的女生有4人，现从分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该
17、组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）5 （2）4 （3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用在分数段内的学生数为14人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得X的取值及对应的概率，可得分布列和期望.【小问1详解】高二年级某班学生共有人，因为，所以，所以测试成绩在分数段内的人数为人.【小问2详解】由（1）知在分数段内的学生有5人，设男生有人，若抽出2人这2人都是男生的概率为，则，解得，所以在分数段内男生有4人.【小问3详解】在分数段内
18、的学生有人，所以男生有2人，X的取值有，X的分布列为X012P.19. 已知数列为等差数列，前n项和为，数列是以为公比的等比数列，且.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）数列满足，记数列的前n项和为，求的最小值.【答案】（1）， （2） （3）-10【解析】【分析】（1）根据，求出公差，从而求出通项公式，结合求出公比，得到等比数列的通项公式；（2）利用等比数列求和公式求解；（3）先求出，结合的增减性和正负性求出当或5时，取得最小值，求出最小值【小问1详解】，因为，所以，故，所以，故，又题意得：，所以，解得：或-5（舍去），因为，所以，所以【小问2详解】数列的前n项和【小问3详解
19、】，可以看出为递增数列，且当时，当时，当时，所以当或5时，取得最小值，最小值为20. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.（3）证明：.【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，计算，由点斜式得切线方程；（2）由在上恒成立，然后分离参数转化为求新函数的最值；（3）由导数求得的最小值后，由不等式性质得证【小问1详解】，又，所以切线方程为；【小问2详解】，由题意在上恒成立，设，则，时，递减，时，递增，所以，所以【小问3详解】由（1），时，递减，时，递增，所以，所以21. 若存在某常数M（或m）
20、，对于一切，都有（或），则称数列的上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”.（1）已知4个数列的通项公式如下：；.请写出其中“有界数列”的序号；（2）若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；（3）在（2）的条件下，记数列的前n项和为，是否存在正整数k，使，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1） （2）数列为“有界数列”，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据“有界”的定义，结合函数的性质逐个判断即可；（2）可得，再分析的单调性与最值即可；（3）根据题意，将转化为，再逐项计算分析当时，取值范围即可【小问1详解】中随着的增大而增大，无“上界”；中随着的增大而减小，且当时有最大值5，且恒成立，故为“有界数列”；中随着的增大而增大，无“上界”；中或，为“有界数列”；故“有界数列”的序号为【小问2详解】，随着的增大而增大，且，故存在常数使得，常数1使得，故数列为“有界数列”【小问3详解】，故，若要，则，即，因为 ，故当时，都有成立，故若存在正整数k，使，都有成立，则
