1、北京市通州区2021-2022学年高二下学期期末质量检测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知定义在上的函数的图象在点处的切线方程为，则等于（ ）A. B. C. D. 13. 对三组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数依次是，则它们大小关系是（ ）A. B. C. D. 4. 已知变量x和变量y的一组随机观测数据如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于（ ）A. B. 0C. 10D. 1105. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ）A. 60个B. 106个C. 156个D
2、. 216个6. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则第二天开始营业时，该商品有3件的概率为（ ）A B. C. D. 7. 若，则取得最大值时，（ ）A. 4B. 5C. 6D. 5或68. 直线与函数的图象分别交于AB两点，当|AB|最小时，为（ ）A. 1B. C. D. 9. 假设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，关于随机变量X，Y有以下三个结论：；其中正确结论
3、的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 已知函数，给出下列三个命题：对恒成立；函数在处取得极小值；若对恒成立，则a的最大值为则正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 的二项展开式中项的系数等于_（用数字作答）12. 已知离散型随机变量X的概率分布如右表、则_，_X235P0.3a0.513. 某区3000名学生的期中检测的数学成绩X服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_（参考数据：，）14. 有两台车床加工同一型号零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混
4、放在一起，已知第一二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是_.15. 若函数在上可导，且满足，则_（填“”或“=”或“”或“=”或“【解析】【分析】构造函数，利用导数法结合判断其单调性，再利用单调性判断.【详解】令，因为在上可导，且满足，所以，所以在上递减，所以，即，所以.故答案为：16. 设函数其图象在点处的切线的斜率分别为0，关于a，b，c及函数有下面四个结论：函数有且只有两个极值点则其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据函数图象在点处的切线的斜率为0，可，再由函数在处的切线斜率为，再结合，可求出的大小关系，然后可求出的范围，
5、利用导数求函数的极值点【详解】由，得，因为函数图象在点处的切线的斜率为0，所以，因为函数在处的切线斜率为，因为，所以，所以，所以，由，得，因为，所以，因为，所以，将代入，得，因为方程有实根，所以，所以，得，或，所以，因为，所以，因为，所以，令，则，得或，所以当或时，当时，所以为极小值点，为极大值点，所以函数有且只有2个极值点，综上，正确，错误，故答案为：三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 一个袋子中装有8个大小相同的球，其中有5个红球，3个白球（1）从袋子中任取1个球，设随机变量，X的分布列及；（2）从袋子中依次不放回的取出3个球作为样本，用随机变量Y表
6、示红球的个数，求Y的分布列及【答案】（1）分布列见解析， （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）计算出，可得分布列，再利用期望公式和方差公式计算可得答案；（2）计算出的取值和对应的概率可得分布列及期望.【小问1详解】，X的分布列为01，.【小问2详解】的取值为，的分布列为0123.18. 某校高二年级共有学生400名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1所示表1数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀7354127不优秀61212273不优秀134266400表2数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀8513不优秀72027不优秀152540（1）从400名学生中随机选择一人做代表求选到的同学数学成绩
7、优秀且语文成绩优秀的概率；在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率：（2）从400名学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，样本数据整理如表2，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（，）【答案】（1）；（2）在犯错误的概率不超过前提下，能认为数学成绩与语文成绩有关联【解析】【分析】（1）利用表格中的频数可得概率；利用表格以及条件概率的计算公式，计算可得答案；（2）利用独立性检验公式代入计算，与作比较，可得结论【详解】（1）设事件：选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀，则；设事件：选到同学数学成绩优秀，设事件：选到同学语文成绩优秀，则；（2）在犯错误的概率不
8、超过前提下，能认为数学成绩与语文成绩有关联19. 某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示产品等级一等品二等品普通品样本数量（件）808040（1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率；（2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较，的大小（请直接写出结论）【答案】
9、（1）0.4； （2）随机变量分布列见解析，1.2； （3）.【解析】【分析】（1）求样本空间中随机抽取一件产品为一等品的频率作为概率即可；（2）由题意得XB ( 3, 0.4)，从而求分布列及数学期望；（3）由方差的定义可判断.【小问1详解】在样本空间中，随机抽取一件产品为一等品的频率为.故从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率为.【小问2详解】由题意知，故的分布列为：01230.2160.4320.2880.064.【小问3详解】每件产品的销售价格均降低了a元，产品的平均销售价格也降低了a元,故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变,即20. 甲，乙两名乒
10、乓球运动员进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且每局比赛胜负相互独立（1）若甲，乙两名运动员共进行5局比赛，用随机变量X表示甲胜利的局数，求X的分布列及；（2）现有3局2胜和5局3胜两种赛制，若你作为甲运动员，你希望选择哪种赛制？并说明理由【答案】（1）分布列见解析，3； （2）希望采用“5局3胜制”，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意知，根据二项分布求解即可得解；（2）分别计算两种赛制下甲获胜的概率，比较大小即可得解.【小问1详解】由题意知，随机变量，,，所以的分布列为：X012345P.【小问2详解】希望采用“5局3胜制”，理由如下：采用“3局2胜制”
11、时，甲获胜的概率为，采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为，故.所以对于甲（我）而言，显然“5局3胜制”更有利.21. 设函数，记（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数图象恒在的图象的下方，求实数a的取值范围【答案】（1）； （2）单调区间见解析； （3）【解析】【分析】(1)求出函数在处的导数，即可得到切线方程；(2)求出的导数，讨论参数的范围，根据的符号，写出单调区间；(3)将函数图象的位置关系转化为函数的最值问题，根据(2)中的单调区间，求函数的最值即可.【小问1详解】，所以，则切线方程为.【小问2详解】，当时，则在上为增函数；当时，即，则在上为增函数，上为减函数
12、.综上所述，当时，则的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，则的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】函数的图象恒在的图象的下方，即恒成立；由(2)知，当时，则在上为增函数，此时无最大值，事实上，不合题意；当时，在上为增函数，上为减函数.所以，故；即实数a的取值范围是22. 已知函数（1）令，求的单调区间；（2）当时，若存在，使得，求a的取值范围【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为和. （2）【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用函数导数求解单调区间即可；（2）分类讨论，当在不同区间取值时，利用导数求出函数单调性，再根据函数值及函数值的变化趋势，判断是否存在，使得即可得解.【小问1详解】当时，当时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，即函数的单调减区间为，单调增区间为和.【小问2详解】当时，显然不符合题意；当时，当时，当时，显然符合题意；当时，令解得或，当或时，当或时，所以在上单调递减，在和上单调递增，在上单调递减，而时，故必存在，使得；当时，由知，当或时，当或时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.当时， 当时，.存在，使得， . ，无解，即不存在，使得.综上， a的取值范围是.
