1、北京市昌平区2021-2022学年高二下期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 5. 将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C
2、. D. 7. 已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.品牌甲乙占有率60%40%优质率95%90%从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到是优质品的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，则“对任意实数，恒成立”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设均为锐角，且，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知，且，则的最小值为_ .12. 在平面直角坐
3、标系中，角与角均以为始边，它们终边关于轴对称则_13. 已知函数，其导函数为，则_14. 设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则_ .15. 设函数，若，则函数有_个零点；若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_ .16. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；函数在区间和上增函数，在区间上是减函数；函数有三个极值点；函数有三个零点.其中，所有正确结论的序号是_ .三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2
4、）设，求数列的前项和.18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时的取值范围.条件：的最大值为；条件：的一个对称中心为；条件：的一条对称轴为注：如果选择条件、条件、和条件分别解答，按第一个解答计分19. 为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使
5、用平板的概率；（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备， 表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差，的大小.（结论不要求证明）20. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.21. 已知是由正整数组成的无穷数列设，其中，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，的值；（2）设是正整数证
6、明：（）充分必要条件为是公比为的等比数列；（3）证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为北京市昌平区2021-2022学年高二下期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.【详解】文氏图中阴影部分表示的集合为.故选：D2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性即可得出答案.【详解】解：函数在区间上递增；函数在区间上单调递减；函数在区间
7、上递增；函数在区间上递增.故选：B.3. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以命题“，”的否定是，.故选：C4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求得，再根据两角和的正切公式即可得解.【详解】解：因为角以为始边，终边经过点，所以，所以.故选：A.5. 将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件为“两个骰子的点数之和为6”，事件为“红色骰子的点数大于蓝色
8、骰子的点数”，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件概率的计算公式来计算出.【详解】“两个骰子点数之和为6”的事件包括，共种，其中“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”的有种，所以.故选：B6. 已知，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】为正数，为负数，所以，所以.故选：C7. 已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.品牌甲乙占有率60%40%优质率95%90%从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）A.
9、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用全概率计算公式求得正确答案.【详解】买到的是优质品的概率是.故选：A8. 已知函数，则“对任意实数，恒成立”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合一元二次不等式恒成立、充分和必要条件等知识确定正确选项.【详解】恒成立，则，解得或，所以“对任意实数，恒成立”是“”的必要而不充分条件.故选：B9. 设均锐角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式、诱导公式求得正确答案.【详解】依题意：均为
10、锐角，且，所以故选：D10. 已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案.【详解】是奇函数，即关于对称，所以是周期为的周期函数.，所以，由于，所以.故选：C第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知，且，则的最小值为_ .【答案】6【解析】【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】解：，（当且仅当，取“=”）故答案为：6.12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称则_【答案】【解析】【分析】结合余弦的知识求得正确答案.【详解】由于
11、的终边关于轴对称，所以.故答案为：13. 已知函数，其导函数为，则_【答案】【解析】【分析】利用导数求得正确答案.【详解】.故答案为：14. 设数列的前项和为，且，若数列是等差数列，则_ .【答案】【解析】【分析】根据等差数列的知识求得正确答案.【详解】所以等差数列的首项为，公差为，所以.故答案为：15. 设函数，若，则函数有_个零点；若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_ .【答案】 . 3 . 【解析】【分析】第一个空：由函数零点的定义及函数零点存在定理即可求解；第二个空：由题意，原问题可转化为方程无解，令，利用导数判断函数的单调性，求出值域即可得答案.【详解】解：当时，时，令，即，
12、解得或，时，易知在上单调递减，又，所以由函数零点存在定理可得在上有且只有一个零点，综上，时，函数有3个零点；因为函数有且仅有两个零点，所以由第一空的解答可知，当时，方程，即无解，令，则，令，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，且，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：3；.16. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；函数有三个极值点；函数有三个零点.其中，所有正确结论的序号是_ .【答案】【解析】【分析】根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实的图像是的图像，虚的图像
13、是的图像，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系求解.【详解】由图像可知实的图像在区间、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.所以错误，正确；因为，即，由图可知恰有三个零点，故正确；又因为，由图像可知、时，即，又在区间上，的图像在的图像的上方，即在区间上，的图像在的图像的下方，即在区间上，的图像在的图像的上方，即在区间上，的图像在的图像的下方，即所以、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点所以正确故答案为三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知
14、等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得；求得等比数列的首项和公比，从而求得.（2）利用分组求和法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，所以.设等比数列的公比为，由于，所以，所以.【小问2详解】，所以.18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时的取值范围.条件：的最大值为；条件：的一个对称中心为；条件：的一条对称轴为注：如果选择条件、条件、和条件分别
15、解答，按第一个解答计分.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换得，进而得最小正周期；（2）选条件和，结合（1）得，进而得当时，再结合正弦函数的图像性质得，进而解得的取值范围；选择条件，的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意.【小问1详解】解：，所以，函数的最小正周期为.【小问2详解】解：由（1）得，选条件：因为的最大值为，所以，即,此时，实数的值唯一确定，满足题意.所以，当时， ，因为函数在上的最小值为，所以，解得，所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.选条件：的一个对称中心为，所以，即,此时，实数的值唯一确定，满足题意.所以，当时， ，因为函数在上的最小
16、值为，所以，解得，所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为.条件：的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意.19. 为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设样本中上网
17、课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备， 表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差，的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）仅使用手机的概率为，仅使用平板的概率为 （2）分布列见解析， （3）【解析】【分析】（1）用频率估计概率，根据表格计算即可得出答案；（2）学生上网课仅使用电脑的概率，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望公式计算期望即可；（3）根据步骤分别求出和的期望，再根据公式分别求出，即可得出结论.【小问1详解】解：学生上网课仅使用手机的概率为，学生上网课仅使用平板的概率为；【
18、小问2详解】解：学生上网课仅使用电脑的概率为，可取，且，则分布列为：0123；【小问3详解】解：，所以，所以，所以.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1） （2）答案详见解析【解析】【分析】（1）结合切点和斜率求得切线方程.（2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间和极值.【小问1详解】当时，所以在处的切线方程为.【小问2详解】，当时，在上递减，没有极值.当时，的定义域为，令解得.当时，在区间递减；在区间递增；的极小值为，无极大值.当时，在区间递增；在区间递减；的极大值为，无极小值.21. 已知是由正整数组成的无穷数列设，其中，这里
19、表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，的值；（2）设是正整数证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；（3）证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】(1)通过列举法即可求出，的值.(2)证明其充分必要条件，需要分别从充分性和必要性两方面证明.(3)通过假设法，假设中存在大于2的项，再证明其矛盾即可得证.【小问1详解】解：由题知，在中，；【小问2详解】证明：充分性：是公比为等比数列且为正整数， ， ，.必要性：，又， ， ，为公比为的等比数列.【小问3详解】， 对任意 ,假设中存在大于2项，设为满足的最小正整数，则 ，对任意 ，又且，故 ，与矛盾， 对于任意 ，有 ，即非负整数列各项只能为1或2.
