1、 江苏省南京市六校江苏省南京市六校 20212021- -20222022 学年高一上学年高一上 1212 月联考月联考数学数学试卷试卷 一、单选题一、单选题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分） 1函数() = + 1 +11的定义域是（ ） A1,+） B(1,1)(1,+) C(1,+) D1,1)(1,+) 2将函数 y=ex图象上所有的点向右平移 1 个单位长度， 所得图象对应的函数为()， 则()= （ ） Aex+1 Bex-1 Ce-x+1 De-x-1 3下列函数中，是奇函数的是（ ） A = 2+ 4 B = 3 1 C =1 D
2、 = | 4已知命题 p：|x-1|1，命题 q：1 B C D 6规定max*,+表示取 ab 中的较大者， 例如max*0.1,2+ = 0.1， max*2,2+ = 2.则函数() = max* +1,4 2+的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 7九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 =12 （弦 矢+矢 2 ） ，弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 23 ，矢为 2 的弧田，按照上述方法计算出其面积是( ) A2 + 43 B3+12 C2
3、+ 83 D4 + 83 8已知函数 () = log322+ ， 若 () + ( 1) 0 ， 则实数 的取值范围是（ ） A(,12) B(1,12) C(2,2) D(1,2) 二、多选题二、多选题（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9图中矩形表示集合，是的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ） A() B( ) C( () D 10下列函数中
4、，最小值为 2 的有（ ） A = +1 B = + C = 2+ 2 + 3 Dy=3x+2 11设 = 36, = 216，则下列结论正确的有（ ） A11= 1 B1+1= 1 C + 0 D1212 0 12已知函数() = |log2|,0 2，若存在 0ab1 Dabc 的取值范围为(2,94) 三、填空题三、填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13已知 *1,12,2+，若幂函数 f（x）=x在（0，+）上单调递增，则 f（2）= . 14“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是 6000 密位制，即
5、将一个圆周角分为 6000等份， 每一个等份是一个密位，那么 120 密位等于 弧度 15函数() = log12(2 2)的单调增区间为 16已知函数()为定义在 R 上的奇函数，满足对1,2 ,0,+)，其中1 2，都有(12),1(1) 2(2)- 0，且(2) = 3，则不等式() 6的解集为 . 四、解答题四、解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤） 17在平面直角坐标系 xoy 中，角 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上. （1）若 (0,2)，且 的终边与单位圆
6、的交点的横坐标为210，求 tan 的值； （2）若 tan=2，求sin+cossincos的值. 18已知全集 U=R，集合 = *|25 0+, = *|( )( 2) 0+. （1）若 a=1，求 A(UB)； （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数 a 的取值范围. 19 （1）化简求值：(18)13 (56)0+ 81424+ (233)6； （2）解关于 x 的不等式：2(log)27log23 0. 20在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1） 已知正实数 xy 满足2 + = 1， 求1+12的最小值.甲给出的解法： 由1 = 2 + 22 ，
7、得 24，所以1+12 2112=2 4，所以1+12的最小值为 4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法； （2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数 =1+123(0 23)的最小值. 21数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无穷；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数运算是两类重要的运算.对数的运算性质降低了运算的级别， 简化了运算， 在数学发展史上是伟大的成就.一个自然数数位的个数， 叫做位数.例如： 26=64，所以 26的位数是 2；210= 1024 (103,104)，所以 210的位数是 4. （
8、1）试判断 220和 2100的位数，并说明理由； （2）若 3n（nN*）的位数是 100，试求出 n 的所有可能取值. （本题参考数据：lg20.3010，lg30.4771） 22已知函数() =8+24（a 为常数，且 0，aR）. （1）求证：函数() = +1在,1,+)上是增函数； （2）当 = 1时，若对任意的 ,1,2-，都有(2) ()成立，求实数 m 的取值范围； （3）当()为偶函数时，若关于 x 的方程(2) = ()有实数解，求实数 m 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】【解答】要使函数() = + 1 +
9、11有意义， 必须满足 + 1 0 1 0， 解得 1，且 1， 所以函数() = + 1 +1的定义域是,1,1) (1,+)， 故答案为：D. 【分析】 结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零即可得到关于 x 的不等式组，求解出 x 的取值范围即可，由此即可得出函数的定义域。 2 【答案】B 【考点】指数函数的图象与性质 【解析】【解答】将函数 = 图象上所有的点向右平移 1 个单位长度， 所得图象对应的函数为()， 根据左加右减原则得() = 1， 故答案为：B. 【分析】根据题意由函数平移的性质结合指数函数的图象，即可得出答案。 3 【答案】C 【考点】函数奇偶性的判断
10、【解析】【解答】A. = 2+ 4，定义域为 R，() = ()2+ 4 = 2+ 4 = () ()，故不是奇函数； B. = 3 1，定义域为 R，() = ()3 1 = 3 1 ()，故不是奇函数； C. =1，定义域为(,0) (0,+)，() =1= ()，故是奇函数； D. = |，定义域为 R，() = | | = | = () ()，故不是奇函数， 故答案为：C. 【分析】根据题意奇函数的定义，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。 4 【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式 【解析】【解答】已知命题 p：|x1|1，解不等式得：02， 而命题
11、 q：1x 314 1，即 1. . 故答案为：C 【分析】根据题意由幂函数的单调性即可得出 c 与 a 的取值范围，然后由对数函数的性质即可得出 b的取值范围，由此即可比较出大小，从而即可得出答案。 6 【答案】B 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义 【解析】【解答】当 + 1 4 2，即 1时，max* + 1,4 2+ = + 1； 当 + 1 4 2，即 1时，max* + 1,4 2+ = 4 2； 所以() = 4 2, 0 ，即 2+2 0 ，解得 1 0 ，即 () ( 1) = (1 ) ， 则满足 2 22 1 2 1 ，解得 1 2，所以 D 不满
12、足最小值为 2； 故答案为：BC 【分析】根据题意由对勾函数、指数函数以及二次函数和指数函数的单调性，即可求出函数的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。 11 【答案】A,C 【考点】对数的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】对于 A，因为11= 63 + 62 = 1，所以 A 符合题意； 对于 B，因为1+1= 63 62 = 632 1， ，所以 B 不符合题意； 对于 C，因为1+1= 632 0，所以+ 0，而 ab0，所以 a+b 0， 所以 D 不符合题意； 故答案为：AC 【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，结合对数的运算性质由不等式的简单性质，对选
13、项逐一判断即可得出答案。 12 【答案】A,B,D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域；对数函数的图象与性质 【解析】【解答】画出函数的图象如图所示， 观察图象可知，f（x）的值域是 R， |log2| = |log2|，所以有log2 + log2 = 0，所以 ab=1， = (2,94)， 所以 A、B、D 符合题意， 观察图象可知，f（x）=t 有唯一解的充要条件是 t1 或 0得(,0) (2,+)， 令 = 2 2，由于函数 = 2 2的对称轴为 = 1，开口向上， = 2 2在(,0)上递减，在（2，）递增， 又由函数 = log12是定义域内的减函数， 原函
14、数的单调递增区间为(,0) 故答案为: (,0) 【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合对数函数和二次函数的通项和性质，即可得出答案。 16 【答案】(2,0) (2,+) 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；不等式的综合 【解析】【解答】因为(1 2),1(1) 2(2)- 0，所以当1 2时，1(1) 6等价于 0() 6 = (2)或 0() 2或2 6的解集为(2,0) (2,+). 故答案为：(2,0) (2,+). 【分析】根据题意由已知条件即可得出函数() = ()的单调性，再由函数的奇偶性定义结合已知条件整理化
15、简即可得出不等式组，求解出不等式的解集即可。 17 【答案】（1）由三角函数的定义知 =210 因为是锐角，所以 = 1 2 =1 (210)2=7210 所以 =7210210= 7； （2）方法一：因为 = 2， 所以+=+11=2+121= 3； 方法二：因为 = 2，即 = 2， 所以+=2+2= 3. 【考点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系 【解析】【分析】(1)根据题意由任意角的三角函数的定义，代入数值计算出 =210，然后由同角三角函数的基本关系式， 代入数值计算出的取值， 结合同角三角函数的基本关系式计算出结果即可。 (2) 方法一： 由整体思想整理化简，代入数
16、值计算出结果即可。 方法二： 由已知条件即可得出 = 2，代入计算出结果即可。 18 【答案】（1）当 a=1 时，A=(2,5)，B=(1,3) 所以 = (,1- ,3,+)， 所以 A(UB)= ,3,5)； （2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以 BA， 又 A=(2,5)，B=(a,a+2)， 所以有 2 + 2 5，解得 2a3， 所以实数 a 的取值范围是2,3. 【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法 【解析】【分析】(1)根据题意由 a 的取值即可得出不等式，然后由一元二次不等式的解法求解出 x
17、 的取值范围，由此即可得出集合 B，再由补集和交集的定义结合不等式，即可得出答案。 (2)由已知条件即可得出集合之间的关系，然后由集合之间的关系，对边界点进行限制，由此即可得出关于 a 的不等式组，求解出 a 的取值范围即可。 19 【答案】（1）原式= (23)13 1 + (23)14 214+ (213 312)6 = 2 + 234+14+ 22 33= 2 + 2 + 108 = 112； （2）原方程可化为(2log2 1)(log2 3) 0， 即12 log2 3，解得2 8， 所以原不等式的解集是,2,8-. 【考点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；对数函数的单调性与
18、特殊点 【解析】【分析】(1)根据题意由指数幂的运算性质，计算出结果即可。 (2)由已知条件即可得出不等式12 log2 3，结合对数函数的单调性，求解出 x 的取值范围，由此即可得出不等式的解集。 20 【答案】（1）解：甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别 是 2x=y 和 x=2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的. 正确的解法如下： 因为 0, 0，且2 + = 1， 所以1+12= (2 + )(1+12) =52+52+ 2=92， 当且仅当=，即 = =13时取“=”， 所以1+12的最小值为92. （2）解：因为0 23，所以0 2 3 2， 所以 =1+123
19、=12,3 + (2 3)-,1+123- =12(4 +323+23) 12(4 + 232323) = 2 + 3， 当且仅当323=23， 即 = 1 33 (0,23)时取“=”， 所以 =1+123(0 23)的最小值为2 + 3. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】(1)根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值；同理结合题意即可得出甲的情况，由此即可得出答案。 (2)由已知条件整理化简原式，然后由基本不等式即可求出代数式的最小值。 21 【答案】（1）解：因为 220=1024 1024=1048576 (106,107)， 所以 220
20、的位数是 7， 设 10k210010k+1（kN*） ， 因为 y=lgx 在(0,+)上是增函数， 所以取常用对数，得 k100 lg2 即 29.130.1， 又 kN*，所以 k=30， 所以 220的位数是 31； （2）解：依题意得1099 3 10100， 取常用对数，得 99n lg30，所以99lg3 100lg3， 即 207.5209.6， 又 nN*，所以 n=208 或 209， 故 n 的所有可能取值为 208 和 209. 【考点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用 【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出以 220的位数是
21、7， 根据题意结合函数的单调性及求解出不等式 k100 lg2 ，由此即可求出 k 的取值。 (2)根据题意由已知条件即可得出不等式99lg3 100lg3，结合对数的运算性质整理化简即可得出关于 n的不等式，结合题意计算出 n 的取值即可。 22 【答案】（1）证明：任取1，2 ,1,+)，且1 2， 则(1) (2) = (1+11) (2+12) =(12)(121)12， 因为1 1 2，所以1 2 0，12 1 0， 所以(1) (2) 0，即(1) (2)， 所以() = +1在,1,+)上是增函数. （2）解：当 = 1时，() = 212在,1,2-上单调递增， 所以当 ,1,
22、2-时， () = 212 ,32,154-， 所以对任意的 ,1,2-，都有(2) ()成立， 转化为22122 (212)恒成立， 即 2+12对 ,1,2-恒成立， 令 = 2 ,2,4-，则 +1恒成立， 所以 ()， 由（1）知() = +1在,2,4-上单调递增， 所以()= (2) =52， 所以的取值范围是(,52-. （3）解：当()为偶函数时， 对 xR，都有() () = 0， 即(2+12) (2+12) = 0恒成立， 即(212)(1 1) = 0恒成立， 所以11 = 0，解得 = 1， 所以() = 2+12， 所以方程(2) = ()， 即22+122= (2
23、+12)()有实数解 令 = 2+12 2212= 2（当 = 0时取“=”） ， 则22+122= (+1)2 2 = 2 2 所以方程() 2 2 = ， 即 = 2在 ,2,+)上有实数解， 而 = 2在 ,2,+)上单调递增， 所以 1. 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断 【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性的定义，整理化简即可得证出结论。 (2)由 a 的取值即可得出函数的解析式，再由指数函数的单调性即可得出函数 f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出不等式22122 (212)，然后由分离参数法即可得出不等式 2+12，令 = 2 ,2,4-整理化简即可得出 +1，结合对勾函数的性质即可求出函数() = +1的最值，由此即可得出 m 的取值范围。 (3)首先由偶函数的定义，整理化简由此计算出 a 的取值，从而即可得出函数的解析式，结合题意即可得出方程(2) = ()即22+122= (2+12)()有实数解，整理化简利用基本不等式即可得到函数的最值，由此即可得出函数的单调性，从而即可得出 m 的取值范围。
