1、1、向量的定义、向量的定义 既有既有大小大小又有又有方向方向的量称为的量称为向量向量。 2、向量的两个要素、向量的两个要素 大小大小和和方向方向。 3、数量的定义、数量的定义 只有只有大小大小没有没有方向方向的量称为的量称为向量向量。 4、向量的表示、向量的表示 (1)代数表示代数表示 大写字母；大写字母； 小写字母。小写字母。 (2)几何表示几何表示 有向线段有向线段 字母表示字母表示 有向线段三要素：有向线段三要素： 起点起点、方向方向、长度长度 ar复习回顾复习回顾 5、向量的长度、向量的长度(模模)的概念的概念 ABuu u r向量向量 的的大小大小(或或长度长度)称为向量的长度称为向
2、量的长度(或称为模或称为模)， 记作：记作： |ABuu u r6、两个特殊的向量、两个特殊的向量 (1)零向量：零向量： 长度为长度为0的向量，记作：的向量，记作： 0r零向量零向量模模为为0，方向方向不确定不确定。 (2)单位向量：单位向量： 长度为长度为1个单位长度的向量。个单位长度的向量。 7、平行向量、平行向量(共线向量共线向量) 方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量，记作：叫做平行向量，记作： /abrr规定：规定：零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行。 8、相等向量与相反向量、相等向量与相反向量 (1)相等向量：相等向量： 长度长度相等相等且且方向方向
3、相同相同的向量。的向量。 (2)相反向量：相反向量： 长度长度相等相等且且方向方向相反相反的向量。的向量。 复习回顾复习回顾 向量与有向线段的区别向量与有向线段的区别 向量只有两个要素，即向量只有两个要素，即方向方向和和大小大小，而有向线段有三要，而有向线段有三要素：即素：即起点起点、方向方向和和大小大小，我们往往，我们往往用有向线段来表示用有向线段来表示向量向量，而向量的表示方法还可以用一个小写字母，也可，而向量的表示方法还可以用一个小写字母，也可以用两个大写字母来表示，也就是线段的起点和终点画以用两个大写字母来表示，也就是线段的起点和终点画出图来就是有向线段；出图来就是有向线段； 也可以这
4、样表述：向量可以用有向线段表示，但向量是也可以这样表述：向量可以用有向线段表示，但向量是自由的，只要不改变它的大小和方向，可以进行自由的，只要不改变它的大小和方向，可以进行任意平任意平移移；不同的有向线段可以是相等的向量，向量可以进行；不同的有向线段可以是相等的向量，向量可以进行加法、减法、数乘或内积、外积的运算，但有向线段不加法、减法、数乘或内积、外积的运算，但有向线段不能，能，平移前后的向量相等平移前后的向量相等，而，而有向线段则不同有向线段则不同。 总之，向量可以用有向线段表示，总之，向量可以用有向线段表示，每一条有向线段对应每一条有向线段对应着一个向量着一个向量，但，但每一个向量对应着
5、无数条有向线段每一个向量对应着无数条有向线段；向；向量和有向线段是两个不同的概念。量和有向线段是两个不同的概念。 复习回顾复习回顾 问题情境问题情境 2019年6月17日四川宜宾长宁县发生6.0级地震，地震发生后一架救援直升机从甲地飞往乙地，再从乙地飞往丙地视察灾情。 问题问题： 能否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以 及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？ 结论结论：_ 从甲地经乙地到丙地两次位移与从甲地直接到从甲地经乙地到丙地两次位移与从甲地直接到丙地的位移相同丙地的位移相同，但距离不相同但距离不相同. . (1)(1)某人从某人从A A到到B,B,再从再从B
6、B按原来的方向到按原来的方向到C,C,则两次位移的则两次位移的 和和 (2)(2)飞机从飞机从A A到到B,B,再改变方向从再改变方向从B B到到C,C,则两次位移的和则两次位移的和 (3) 船的速度是船的速度是 ,水流的速度是水流的速度是 ,则则 两个速度的和两个速度的和 A C A B C C B A 引入新课引入新课 _ABBC_ABBCABAC_ABAC探究探究1 1： 如何定义两个向量的和？如何定义两个向量的和？ b a O a a a a a b b b b b b b 这种作法叫做这种作法叫做三角形法则三角形法则 B b a A a+b 1 1、向量的加法的三角形法则、向量的加法
7、的三角形法则 讲授新课讲授新课 1O作法在平面内任取一点 2OA a,AB b作 3OBab则向量归纳一下三角归纳一下三角形法则的特点形法则的特点 a+b B a A 特点：特点：（通过平移）首尾相接（通过平移）首尾相接 数学建构数学建构 1 1、向量的加法的三角形法则、向量的加法的三角形法则 特例：特例： a b A B C 方向相同方向相同 C A B 方向相反方向相反 a b AC a b ACab: a 00 aa 注1 1、已知向量已知向量ba,（如图） ，求作向量（如图） ，求作向量ba . . a b a b a b a b 练习：练习： 2 2、在在ABC中，中，ABBCCA
8、问题问题在你所画图中在你所画图中,找出找出 |.ab|,b|,a它们之间有怎样的关系它们之间有怎样的关系? 向量加法中模的性质向量加法中模的性质: : 当当 和和 同向时同向时, 当当 和和 反向时反向时, baab2 2、向量加法的、向量加法的平行四边形法则平行四边形法则 b a A a a a a a a a a b b b B b a D a C b a+b 数学建构数学建构 归纳一下平归纳一下平行四边形形行四边形形法则的特点法则的特点 b D b C a a+b 探究探究2 2：求和时用三角形法则与平行四边形法则：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则一样吗？比较
9、一下两种法则 B a A b C a+b B a A 特点：（通过平移）特点：（通过平移） 首尾相接首尾相接 特点：（通过平移）特点：（通过平移） 起点相同起点相同 不同法则，效果相同不同法则，效果相同 1 1. .向量的加法向量的加法 ( (1 1) )定义：求两个向量定义：求两个向量_. . 和的运算和的运算 数学建构数学建构 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ， ，则向量 ，叫做a和b的和，记作ab，即ab ，求两个向量和的运算叫做向量的加法。 OAauurrABbuu u rrOBuuu rOAABOBuuruu u ruu u r数学建构数学建构 向量求和的法则 图示 几何意义
10、 注意点 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即 a+b= 向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和。 向量加法的平行四边法则应用的前提是“共起点” 2 2、向量的加法的运算法则、向量的加法的运算法则 +ABBCAC使用使用三角形法则三角形法则时要注意时要注意“首尾相接首尾相接”的条件的条件， 而向量加法的而向量加法的平行四边法则平行四边法则应用的前提是应用的前提是共起点共起
11、点 ABCDEFO数学应用数学应用 1(2)(3)OABCDEFOAOCBCFEOAFE例1：已知 为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（. 03 FEOA）（类型一类型一 向量的加法向量的加法 (a+b)+c=a+(b+c) 向量的多边形法则向量的多边形法则:多个向量相加多个向量相加,通过向量的通过向量的平移将它们顺序“首尾相接平移将它们顺序“首尾相接,则以第一个向量则以第一个向量的起点为起点的起点为起点,以最后一个向量的终点为终点以最后一个向量的终点为终点的向量的向量,即为这多个向量的和向量即为这多个向量的和向量. OA+AB+BC=_ OC 探究探
12、究3 3：求求2 2个以上向量的和向量个以上向量的和向量 O (a+b)+c=_+_=_ OB OC a+(b+c)=OA+_=_ AC c a a A b b B c C OC BC 首尾相接首尾连首尾相接首尾连 01122110nnnnnA AAAAAAAA A一般的向量加法的性质向量加法的性质 a 交换律交换律：a+b=b+aa+b=b+a b a a 结合律结合律：(a+b)+c=a+(b+c) c a+b a b a b c b+c 例例2 2：化简：化简： 首尾相接首尾连首尾相接首尾连 (1)(2)(3)ABCDBCMABNACCBABBDCADC01122110nnnnnA AA
13、AAAAAA A一般的1223110nnnAAA AAAA A变式拓展变式拓展 如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc。 当多个向量求和时可先当多个向量求和时可先求两个向量的和求两个向量的和，再和再和其他向量求和其他向量求和 解 法一 如图，首先在平面内任取一点 O，作向量OAa，接着作向量ABc，则得向量OBac，然后作向量BCb，则向量OCabc 为所求. 法二 如图， (1)在平面内任取一点 O， 作OAa， OBb； (2)作平行四边形 AOBC，则OCab；(3)再作向量ODc；(4)作CODE，则OEOCcabc.则OE即为所求. 1、当多个 向量求和时，可以先求两个向量的和，
14、再求其他向量的和； 2、用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的 起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”，且两种方法 中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置， 两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用。 题后反思：题后反思： 数学应用数学应用 类型二类型二 利用向量的加法法则化简问题利用向量的加法法则化简问题 (1)BCAB； (2)DBCDBC； (3)ABDFCDBCFA. 例例2、化简、化简 向量运算化简常有两种方法：向量运算化简常有两种方法： 一是代数法一是代数法，借助于向量加法的借助于向量加法的交换律和结
15、合律；交换律和结合律； 二是几何法二是几何法，通过作图求解通过作图求解 解 (1)BCABABBCAC. (2)DBCDBCBCCDDB(BCCD)DBBDDB0. （3）ABDFCDBCFAABBCCDDFFAACCDDFFAADDFFAAFFA0.1、方法：向量运算化简常有两种方法， 一是代数法，借助于向量加法的交换律和结合律， 二是几何法，通过作图求解。 2、向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行； (2)
16、应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。 题后反思：题后反思： 数学应用数学应用 类型三类型三 向量的加法的应用向量的加法的应用 例例3、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 变式拓展：变式拓展： 在长江南岸某渡口处，江水以在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度向东流，渡船以以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，受水流的影响，的速度按垂直于河岸的航向航行，受水流的影响，渡船实际的渡船实际的速度速度应如何确定？应
17、如何确定？ 课本第11页练习第1、2、3、4、5、6题. 课堂检测课堂检测 1 1. .向量的加法向量的加法 ( (1 1) )定义：求两个向量定义：求两个向量_. . 和的运算和的运算 课堂小结课堂小结 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ， ，则向量 ，叫做a和b的和，记作ab，即ab ，求两个向量和的运算叫做向量的加法。 OAauurrABbuu u rrOBuuu rOAABOBuuruu u ruu u r课堂小结课堂小结 向量求和的法则 图示 几何意义 注意点 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即 a+b= 向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量(OC是OACB的对角线)就是向量a与b的和。 向量加法的平行四边法则应用的前提是“共起点” 2 2、向量的加法的运算法则、向量的加法的运算法则 +ABBCAC
