1、苏教版2019版高考数学复习：必修第二册全册知识点清单第9章平面向量9.1向量概念一、平行向量、相等向量与相反向量1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，平行向量又称为共线向量. 规定：零向量与任一向量平行. 2. 相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何. 向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a=b. 3. 相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作-a，a与-a互为相反向量，即对任意一个向量a，总有-(-a)=a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 二、向量a与b的夹角1. 对于两个非零向量a和b，
2、在平面内任取一点O，作OA=a， OB=b，AOB=(0180)叫作向量a与b的夹角. 当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向；当=90时，则称向量a与b垂直，记作ab. 三、共线向量与相等向量1. 共线向量(1)共线向量并不一定在同一条直线上，只要向量方向相同或相反就是共线向量. (2)向量平行与直线平行是两个不同的概念，向量平行包含向量在同一条直线上的情况，但直线平行不包含直线重合的情况. (3)非零共线向量包括四种情况：方向相同且模相等；方向相同但模不相等；方向相反但模相等；方向相反且模不相等. 因此，共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量. (4)非零向量a，b，c
3、满足：若ab，bc，则ac. 2. 相等向量(1)模相等(或方向相同)是向量相等的必要条件，模相等且方向相同是向量相等的充要条件. (2)向量相等具有传递性，即若a=b，b=c，则a=c. 3. 在图形中寻找共线向量、相等向量、相反向量、垂直向量的方法(1)在平面图形中寻找共线向量时，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找在平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个向量. (2)相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相同的共线向量即可. (3)相反向量一定是共线向量，因此在找相反向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等且方向相反的共线向量即可.
4、 (4)对于垂直向量，先找与表示已知向量的有向线段垂直的线段，然后写出该线段对应的两个向量. 9. 2向量运算9. 2. 1向量的加减法一、向量的加法1. 向量加法的定义已知向量a和b(如图所示)，在平面内任取一点O，作OA=a， AB=b，则向量OB叫作a与b的和，记作a+b. 即a+b=OA+AB=OB. 求两个向量和的运算叫作向量的加法. 2. 向量的加法法则(1)三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a，b，分别作OA=a， OC=b，以OA，OC为邻边作OABC，则以O为起点的对角线表示的向
5、量OB就是向量a与b的和. 我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则. 注：对于共线的两个非零向量a，b的加法运算，只有三角形法则适用. 如图，其中AB=a， BC=b， AC=a+b. 3. 向量加法的运算律(1)交换律：a+b=b+a. 对于零向量和任一向量a，我们规定a+0=0+a=a. (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 4. 向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量，即A1A2+A2A3+AnAn+1=A1An+b，这个法则叫作向量求和的多边形法则. 二、向量的减法1. 向量
6、减法的定义若b+x=a，则向量x叫作a与b的差，记为a-b. 求两个向量差的运算，叫作向量的减法. 2. 向量的减法法则在平面内任取一点O，作OA=a， OB=b，则向量a-b=BA. 如图所示：这就是说，当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a-b. 3. 向量减法的两个重要结论(1)如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. (2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的起点相对于点O的位置向量OB，简记为“终点向量减起点向量”. 三、向量的加、减法运算及其应用1. 在使用向量加法的三角形法则时，要注
7、意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和；向量加法的平行四边形法则应用的前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. 2. 如图所示，向量AB=a， AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线对应的向量分别为AC=a+b， DB=a-b，这一结论的应用非常广泛. 四、向量的三角不等式作OA=a， AB=b，则a+b=OB. 1. 当向量a，b不共线时，如图(1)所示. 根据三角形的三边关系，有|a|-|b|a+b|0时，a与a方向相同；当0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小
8、；当0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小运算律设a，b为向量，为实数，则(1)(a)=()a；(2)(+)a=a+a；(3)(a+b)=a+b二、向量的共线定理1. 设a为非零向量，如果有一个实数，使b=a，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使b=a. 三、常用结论1. 设a，b均为实数，若OA， OB不共线，点P满足OP=aOA+bOB，a+b=1，则A，B，P三点共线. 2. 在ABC中，若D是BC的中点，则AD=12 (AC+AB). 3. 与AB同方向的单位向量为AB|AB|，与AB共线的单位向量为AB|AB|. 4. O是ABC的重心的充要条
9、件是OA+OB+OC=0. 四、向量共线定理的应用1. 判定两向量共线判断a与b是否共线的方法： 断a与b是不是0，若a=0或b=0，则ab. 若a与b均为非零向量，则判断是否存在实数，使a=b，若存在，则ab；若不存在，则a与b不共线. 2. 判定三点共线：一般地，如果存在实数，使得AB=AC，那么AB与AC平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 3. 判定线线平行：一般地，如果存在实数，使得AB=CD，且A，B，C，D四点不共线，那么ABCD. 五、三点共线的推论我们应该熟悉如下结论：已知A，B，C，O为平面内四点，则A，B，C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m，n，使OC
10、=mOA+nOB，且m+n=1. 证明：对于平面上任意一点O及三点A，B，P，若A，B，P三点共线，则存在实数x，y，使得OP=xOA+yOB，且x+y=1；若存在实数x，y，且x+y=1，使得OP=xOA+yOB，则A，B，P三点共线. 这是一个非常重要的结论，利用它可以快速解决某些问题，应熟练掌握. 9. 2. 3向量的数量积一、向量的数量积1. 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab=|a|b|cos . 二、向量投影向量1. 设a，b是两个非零向量，如图， OA表示向量a， OB表示向量b，过点A作OB所在直线的垂线，
11、垂足为点A1. 我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量. 2. 向量数量积的几何意义向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 三、向量数量积的运算律1. 设向量a，b，c和实数，向量的数量积满足下列运算律：(1)ab=ba；(2)(a)b= a(b) = (ab)=ab ；(3)(a+b)c=ac+bc. 四、集向量数量积的运算及性质1. 两个向量a与b的数量积是一个实数，不是向量，其值可能为正(当a0，b0，090时)，可能为负(当a0，b0，900且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角时，ab0时
12、,0，2;当cos 0)，则直线AP过ABC的重心. (4)在ABC中，若HAHB=HBHC=HCHA，则点H是ABC的垂心. (5)在ABC中，若OP=OA+AB|AB|+AC|AC| (0)，则直线AP通过ABC的内心. 三、向量在物理中的应用1. 用向量方法解决物理问题的步骤(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题. (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获取，求出数学模型的相关解. (4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象. 第10章三角恒等变换知识点清单10. 1两角和与差的三角函数一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式1. 两角和与
13、差的余弦、正弦、正切公式名称公式简记符号使用条件两角差的余弦公式cos(-)=cos cos +sin sin C(-)，R两角和的余弦公式cos(+)=cos cos -sin sin C(+)两角和的正弦公式sin(+)=sin cos +cos sin S(+)，R两角差的正弦公式sin(-)=sin cos -cos sin S(-)两角和的正切公式tan(+)= tan +tan1-tantanT(+)，+k+2 (kZ)两角差的正切公式tan(-)= tan -tan1+tantanT(-)，-k+2 (kZ)2. 两角和与差的正切公式的变形(1)T(+)的变形tan +tan =
14、tan(+)(1-tan tan ). tan +tan +tan tan tan(+)=tan(+). tan tan =1-tan +tantan(+). (2)T(-)的变形tan -tan =tan(-)(1+tan tan ). tan -tan -tan tan tan(-)=tan(-). tan tan =tan -tantan(-)-1. 第 17 页 共 75 页二、辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+)(a，b不同时为零)，其中cos =aa2+b2，sin =ba2+b2. 三、辅助角公式的应用1. 公式形式：asin +bcos =a2+b2s
15、in(+) tan =ba，a，b不同时为零或asin +bcos=a2+b2cos(-)tan =ab，a，b不同时为零. 利用辅助角公式可将形如asin +bcos (a，b不同时为零)的三角函数式进行化简. 2. 形式的选择：化为正弦还是余弦，要根据具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 3. 辅助角公式的常见情形(1)sin cos =2sin4；(2)sin 3cos =2sin3；(3)cos 3sin =2sin6. 四、两角和与差的三角公式的灵活应用1. 给角求值解决给角求值问题时，一般先用诱导公式把角化整化小，再统一函数名称，即弦切互化，通常是
16、切化弦，然后观察角之间的关系以及式子的结构特点，从整体出发，利用公式或公式的变形达到求值的目的. 2. 给值求值(1)解决给值求值的问题时，应先分析角的关系，再考虑三角函数名称的联系，最后选择合适的公式求值. (2)分析已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，利用角的代换化异角为同角，具体做法：当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时，应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用公式把所求角变成已知角. 常见的角的拆分与组合：2=(+)+(-)，=(+)-=(-)+， 4+4-=2等. (3)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角
17、函数值缩小角的范围. 3. 给值求角已知三角函数值求角，通常是“值”+“范围”求角，其解题步骤如下：(1)根据条件确定所求角的范围；(2)求所求角的某种三角函数值(为防止增根，最好选取在上述范围内单调的三角函数)；(3)结合三角函数值及角的范围求角. 10. 2二倍角的三角函数一、二倍角的正弦、余弦、正切公式简记符号公式S2sin 2=2sin cos C2cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2T2tan 2=2tan1-tan2对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是32的二倍； 2是4的二倍； 3是6的二倍. 二、倍角公式
18、的变形1. 2sin cos =sin 2，sin cos =12sin 2，cos =sin22sin，cos2-sin2=cos 2， 2tan 1-tan2=tan 2. 2. (1)升幂公式：1sin 2=sin2+cos22sin cos =(sin cos )2，1+cos 2=2cos2，1-cos 2=2sin2. (2)降幂公式：cos2=1+cos22，sin2=1-cos22，(sin cos )2=1sin 2. 3. sin 2=2tan 1+tan2，cos 2=1-tan21+tan2. 三、如何利用倍角公式及其变形化简求值1. 化简、求值的技巧(1)注意公式的灵
19、活应用，如：sin 2x=-cos2x+2=-cos2x+4=1-2cos2x+4=2sin2x+4-1. cos 2x=sin2x+2=sin2x+4=2sinx+4cosx+4. (2)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化. (3)对于含分式的式子，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的，提取公因式后进行约分. (4)对于含二次根式的式子，要注意二倍角公式的逆用. (5)注意角与角之间的隐含关系，如互余、互补等. (6)注意“1”的恒等变形，如tan 45=1，sin2+cos2=1等. 10. 3几个三角恒等式一、积化和差公式1. sin cos =12 sin(+)+sin(-).
20、2. cos sin =12 sin(+)-sin(-). 3. cos cos =12 cos(+)+cos(-). 4. sin sin =-12 cos(+)-cos(-). 二、和差化积公式1. sin +sin =2sin+2cos-2. 2. sin -sin =2cos+2sin-2. 3. cos +cos =2cos+2cos-2. 4. cos -cos =-2sin+2sin-2. 三、和半角公式sin2=1-cos 2；cos2=1+cos 2；tan2=1-cos 1+cos. 特别地，tan2=sin 1+cos=1-cos sin. 四、万能公式sin =2tan
21、21+tan22；cos =1-tan221+tan22；tan =2tan21-tan22. 五、半角公式的运用1. 利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系. (2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan2=sin 1+cos=1-cos sin计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2=1-cos 2，cos2=1+cos 2计算. (4)下结论：结合(2)求值. 六、三角恒等式的证明与三角函数式的化简1. 三角恒等式证明的常用方法(1)由因导果法：证明的原则是化繁为简；(2)左右归一法：证明等号两边都等
22、于同一个式子或同一个常数；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，即化异为同；(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边右边=1(右边0)”；(5)分析法：即执果索因法，从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，直到符合已知条件或出现明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 2. 证明三角恒等式的基本思路三角恒等式的证明除了遵循化繁为简的原则外，还应注意以下几点：(1) 强化“目标意识”，即在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢； (2)强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标三角函数
23、式之间的差异，并寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变形，使之相互转化，常用方法有代入法、换元法等. 3. 化简三角函数式三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面，其基本方法是统一角，统一三角函数的名称. 常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，弦切互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等. 在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一. 通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简. 化简的结果应满足以下几点：能求值尽量求值；函数名称尽量少；项数尽量少；次数尽量低；分母、根号下尽量不含三角函数. 第11章解三角形知识点清
24、单11.1余弦定理一、余弦定理文字语言三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B，c2=a2+b2-2abcos C余弦定理的其他形式cos A=b2+c2-a22bc，cos B=c2+a2-b22ca，cos C=a2+b2-c22ab二、利用余弦定理解三角形类型求解方法已知两边和它们的夹角，如a，b，C根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c；根据cos A=b2+c2-a22bc，求出A；根据B=180-(A+C)，求出B已知三边可以先用余弦定理求出两角(常常
25、求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180求出第三个角已知两边和其中一边的对角可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角11. 2正弦定理一、正弦定理及其变形文字语言三角形的各边与它所对角的正弦的比相等符号语言asinA=bsinB=csinC常见变形a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R，abc=sin Asin Bsin C，a+b+csinA+sinB+sinC=2R，其中R为ABC外接圆的半径二、三角形的面积公式1. 三角形的面积公式：SABC=12absin C=12
26、bcsin A=12casin B. 三、利用正弦定理判断三角形解的个数1. 三角形解的情况(1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三角形为例进行说明：方法一：从代数角度分析(1)若sin B=bsinAa1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；(2)若sin B=bsinAa=1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sin B=
27、bsinAa1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0sin B=bsinAa1可得B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180”等，此时需进行讨论. 方法二：从几何角度分析角的类型A为锐角条件absin Aa=bsin Absin Aabab图形解的情况一解无解四、正、余弦定理的应用1. 选择合适的定理解三角形三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况：(1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理；(2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理；(3)当已知条
28、件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；(2)化角为边：根据正、余弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=C=-(A+B)， C2=2-A+B2等. 11.
29、3余弦定理、正弦定理的应用一、实际测量中的有关名词名词定义图示铅垂平面与水平面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角指定方向线与目标方向线所成的角(指定方向线一般指正北或正南方向，方向角小于90)方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的角二、测量距离的类型及解法类型图形解法A，B两点间不可达又不可视测出两边及其夹角：BC=a，AC=b，角C，运用余弦定理得AB=a2+b2-2abcosCA，B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧)测出两角及其夹边：BC=a，B，C，根据正弦定理得ABsinC=BCsinA=BCsin-(B+C)=BCsin(B+C)=asin(B+C)，则AB=asinCsin(B+C)A，B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧)先在ADC和BDC中分别求出AD，BD(或AC，BC)的长，再在ABD(或ABC)中运用余弦定理求解. 在ADC中，由正弦定理可得AD=asinACD
