1、宜兴市丁蜀学区宜兴市丁蜀学区 2021 年八年级上第一次质量调研考试数学试题年八年级上第一次质量调研考试数学试题 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列说法正确的是( ) A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，其
2、中1+2 等于（ ） A. 150 B. 180 C. 210 D. 225 4. 如图，ABCADE，若40B ，30E ，则DAE的度数为（ ） A. 70 B. 110 C. 120 D. 130 5. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B到 C 的方向平移到 DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为 6，则阴影部分面积为（ ） A 48 B. 96 C. 84 D. 42 6. 如图，已知ABC=DCB，下列所给条件不能证明ABCDCB的是（ ） A. A=D B. AB=DC C. ACB=DBC D. AC=BD 7. 如图，CD90 ，若添加一
3、个条件，可使用“HL”判定 Rt ABC与 Rt ABD 全等，则以下给出的条件适合的是( ) A. ACAD B. ABAB C. ABCABD D. BACBAD 8. 如图，正五边形ABCDE中，F为CD边中点，连接AF，则BAF的度数是（ ） A. 50 B. 54 C. 60 D. 72 9. 如图，过边长为 1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PACQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 不能确定 10. 如图，在ABC中，以, AB AC为腰作等腰直角三角
4、形ABE和等腰直角三角形ACF，连接,EF AD为BC边上高线，延长DA交EF于点N，下列结论EANABC；EANBAD；AEFABCSS；ENFN，其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 9 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分）分） 11. 下列图形：角；直角三角形；等边三角形；线段；等腰三角形；平行四边形.其中一定是轴对称图形的有_个. 12. 已知，如图，AD=AC，BD=BC，O 为 AB上一点，那么图中共有_对全等三角形 13. 如图，在ABC中，ABAC，AD是 BC边上高，点 E、F是
5、 AD的三等分点，若BEF 的面积为 12，则图中阴影面积为_ 14. 将一张长方形纸条折成如图的形状，已知1110 ，则2 _ 15. 如图，点 D 在边 BC 上，DEAB，DFBC，垂足分别为点 E，D，BDCF，BECD若AFD155，则EDF_ 16. 已知 AB=4，AC=2，D是 BC的中点， AD 是整数，则 AD=_ 17 如图所示，ABAC，ADAE，BACDAE，125 ，230 ，则3_ 18. 如图， ABC 中， ABAC， 点 DABC内部一点， DBDC， 点 E是边 AB 上一点， 若 CD平分ACE，AEC100，则BDC_ 19. 如图，ABC 和CDE
6、都是等边三角形，AD和 BE 相交于点 F点 B，C，D 三点在同一直线上，则AD 和 BE 的大小关系是_，它们所成的锐角AFB=_ 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 7 小题，共小题，共 60 分）分） 20. 如图，已知ABCDEF，且A=75，B=35，ED=10cm，求F 的度数与 AB 的长 21. 如图，已知点 A、E、F、C 在同一直线上，A=C，AE=CF，AD=CB，求证：BE/DF 22. 已知：如图，在ABC中，AD 平分BAC，且 BD=CD求证：B=C 23. 尺规作图（需保留作图痕迹） （1）已知ABC，将ABC沿直线 AD折叠，使得边 AC落在边 A
7、B上，作折痕 AD （2）已知MON，点 A 在其内部，在 ON上作一点 P，使得点 P 到点 A 的距离与点 P到射线 OM的距离之和最短 24. 如图，AD是 ABC 中BAC的平分线，DEAB于点 E，SABC7，DE2，AB4，求 AC的长 25. 在ABC 中， ABAC， D是直线 BC上一点， 以 AD为一条边在 AD的右侧作ADE， 使 AEAD， DAEBAC，连接 CE （1）如图，当点 D在 BC延长线上移动时，若BAC25，则DCE ； （2）设BAC，DCE 当点 D 在 BC延长线上移动时， 与 之间有什么数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC上 （不与 B
8、、 C两点重合） 移动时， 与 之间有什么数量关系？请直接写出你的结论 26. 【初步探索】 （1）如图 1：在四边ABC中，ABAD，90BADC ，E、F分别是BC、CD上的点，且EFBEFD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系 小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_； 【灵活运用】 （2）如图 2，若在四边形ABCD中，ABAD，180BD ，E、F分别是BC、CD上的点，且EFBEFD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图 3，已知在四边形ABCD中，180AB
9、CADC，ABAD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图 3所示，仍然满足EFBEFD，请写出EAF与DAB的数量关系，给出证明过程 宜兴市丁蜀学区宜兴市丁蜀学区 2021 年八年级上第一次质量调研考试数学试题年八年级上第一次质量调研考试数学试题 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列说法正确的是( ) A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据
10、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形求解即可 【详解】A、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形,故本选项错误，不符合题意; B、全等三角形的面积相等,但是面积相等的两个三角形不一定全等,故本选项错误，不符合题意; C、边长相等的两个等边三角形是全等三角形,故本选项错误，不符合题意; D、全等三角形是指两个能完全重合的三角形,故本选项正确，符合题意 故选 D 【点睛】 本题考查了全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.所谓完全重合,是指形状相同、大小相等 2. 下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ） A. 1 个
11、B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【详解】分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形绕一个点旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形 解答：解：第一个是中心对称图形，但不是轴对称图形，其它三个是轴对称图形故选 C 3. 如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，其中1+2 等于（ ） A. 150 B. 180 C. 210 D. 225 【答案】B 【解析】 【分析】根据 SAS可证得ABCEDC，可得出BACDEC，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】由题意得：ABED，BCDC，90DB ， ABCEDC， BACDE
12、C， 12180 故选 B 【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABCEDC. 4. 如图，ABCADE，若40B ，30E ，则DAE的度数为（ ） A. 70 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等的性质解得40DB ，再结合三角形内角和 180解题即可 【详解】ABCADE BD 40B 40D 1801804030110DAEDE 故选：B 【点睛】本题考查全等三角形的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 5. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B到 C 的
13、方向平移到 DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为 6，则阴影部分面积为（ ） A. 48 B. 96 C. 84 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质得出 BE=2，DE=AB=14，则 OE=3，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解 【详解】解：由平移的性质知，BE=2，DE=AB=4， OE=DE-DO=4-1=3， S四边形ODFC=S梯形ABEO=12（AB+OE）BE=12（4+3） 2=7 故选：A 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形 ABEO 的面积相等是解题的关键 6. 如图
14、，已知ABC=DCB，下列所给条件不能证明ABCDCB的是（ ） A. A=D B. AB=DC C. ACB=DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A添加A=D可利用 AAS 判定ABCDCB，故此选项不合题意； B添加 AB=DC 可利用 SAS 定理判定ABCDCB，故此选项不合题意； C添加ACB=DBC 可利用 ASA 定理判定ABCDCB，故此选项不合题意； D添加 AC=BD不能判定ABCDCB，故此选项符合题意 故选 D 7. 如图，CD90 ，若添加一个条件，可使用“HL”判定 Rt ABC与 Rt ABD 全等，则以下给出的条件适合的是( ) A. ACA
15、D B. ABAB C. ABCABD D. BACBAD 【答案】A 【解析】 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BCBD或ACAD 【详解】解：需要添加条件为BCBD或ACAD，理由为： 若添加的条件为BCBD， 在 RtABC与 RtABD中， BCBDABAB， ()Rt ABCRt ABD HL； 若添加的条件为ACAD， RtABC 与 RtABD中， ACADABAB， ()Rt ABCRt ABD HL 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是知道“HL”即为斜边及一直角边
16、对应相等的两直角三角形全等 8. 如图，正五边形ABCDE中，F为CD边中点，连接AF，则BAF的度数是（ ） A. 50 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】连接 AC，AD，正五边形 ABCDE 中，得到 AB=AE=BC=DE，B=E，证得ABCAED，根据全等三角形性质得到BAC=EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到CAF=DAF，即可得到结论 【详解】解：连接 AC，AD， 五边形 ABCDE是正五边形， ,ABAEBCDEBE ，108BAE， 在ABC和AED中 ABAEBEBCED ABCAED， ,BACEAD ACAD AFCD CAF
17、DAF 1542BAFEAFBAE 故选 B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 9. 如图，过边长为 1 的等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PACQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过 P 作 PFBC 交 AC 于 F，得出等边三角形 APF，推出 AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证 PFDQCD，推出 FD=CD，推出
18、DE=12AC即可 【详解】 过 P 作 PFBC交 AC 于 F. 如图所示： PFBC， ABC是等边三角形， PFD=QCD， APF是等边三角形， AP=PF=AF， PEAC， AE=EF， AP=PF，AP=CQ， PF=CQ. 在 PFD 和 QCD中, PFDQCDPDFQDCPFCQ PFD QCD(AAS)， FD=CD， AE=EF， EF+FD=AE+CD， AE+CD=DE=12AC， AC=1， DE=12. 故选 B 10. 如图，在ABC中，以, AB AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，连接,EF AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N，
19、下列结论EANABC；EANBAD；AEFABCSS；ENFN，其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据EAN 与BAD 互余，ABC 与BAD 互余，利用同角的余角相等即可判断；过 E 作EHDN 于点 H，过 F作 FGDN 于点 G，利用 K字型全等，易证AEHBAD，从而判断；同理可证 AFGCAD ， 可 得GF=AD=EH ， 再 证 EHNFGN ， 即 可 判 断 ； 最 后 根 据SAEF=SAEH+SEHN+SAFN，结合全等三角形即可判断 【详解】AD为 BC 边上的高，EAB=90 EAN+BAD=9
20、0 ，ABC+BAD=90 EAN=ABC 故正确； 如图所示，过 E作 EHDN于点 H，过 F作 FGDN，交 DN 的延长线于点 G， ABE为等腰直角三角形 AE=AB 在AEH与BAD中， AHE=BDA=90 ，EAH=ABD，AE=AB AEHBAD（AAS） 显然EAN与BAD 不全等， 故错误； 同理可证AFGCAD（AAS） FG=AD， 又AEHBAD EH=AD FG=EH 在EHN和FGN 中， ENH=FNG，EHN=FGN=90 ，EH=FG EHNFGN（AAS） EN=FN 故正确； AEHBAD，AFGCAD，EHNFGN SAEF=SAEH+SEHN+SA
21、FN =SABD+SFGN+SAFN = SABD+SAFG =SABD+SCAD =SABC， 故正确； 正确的有共 3 个 故选 C 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握 K字型全等，作出辅助线是解题的关键 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 9 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分）分） 11. 下列图形：角；直角三角形；等边三角形；线段；等腰三角形；平行四边形.其中一定是轴对称图形的有_个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【详解】角;等边三角形;线段；等腰三角形是轴对称图形， 轴对称图形有 4 个. 故答案
22、为 4. 【点睛】考查轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 12. 已知，如图，AD=AC，BD=BC，O 为 AB上一点，那么图中共有_对全等三角形 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：由已知条件，结合图形可得 ADBACB， ACOADO， CBODBO 共 3对找寻时要由易到难，逐个验证 试题解析：AD=AC，BD=BC，AB=AB， ADBACB； CAO=DAO，CBO=DBO， AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ACOADO， CBODBO 图中共有 3 对全等三角形 故答案为 3 考点：全等三角形
23、的判定 13. 如图，在ABC中，ABAC，AD是 BC边上的高，点 E、F 是 AD的三等分点，若BEF的面积为 12，则图中阴影面积为_ 【答案】36 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及 AD 是 BC边上的高可得：BDCD，再根据点 E、F 是 AD 的三等分点， 所以AEEFFD，利用三角形同底等高可得ABE、BEF、BDF、ACE、CEF、CDF的面积相等，依此即可求出阴影部分的面积 【详解】解：在ABC中，AB AC，AD是 BC边上的高， BDCD， 点 E、F是 AD的三等分点， AEEFFD， 12ABEBEFBDFACECEFCDFSSSSSS， 阴影部分的面
24、积为：12 336 , 故答案为：36 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质及阴影部分面积的转换是正确解答本题的关键 14. 将一张长方形纸条折成如图的形状，已知1110 ，则2 _ 【答案】55 【解析】 【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到2的度数 【详解】解：如图所示， AB/CD， 1BAD110， 由折叠可得，212BAD1211055， 故答案为：55 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 15. 如图，点 D 在边 BC 上，DEAB，DFBC，垂足分别为点 E，D，BDCF，BECD若
25、AFD155，则EDF_ 【答案】65 【解析】 【分析】由AFD=155 ，知DFC=25 ，根据“AAS”证BDECFD 得BDE=CFD=25 ，从而由EDF=180 -FDC-BDE可得答案 【详解】155AFD， 25DFC， DEAB，DFBC， 90DEBFDC， 在BDE和CFD中， BDCFBECD BDECFD(HL)， 25BDECFD， 18065EDFFDCBDE， 故答案为 65 . 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平角的性质等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 16. 已知 AB=4，AC=2，D是 BC的中点， AD 是整数，则 AD=_ 【答案】2
26、【解析】 【分析】 延长AD至E， 使得AD=DE， 连接EC， 可证明ADBEDC， 从而有EC=AB=4， 即有： 4-2AE4+2，然后确定 AD 的取值范围，从而确定 AD的值 【详解】延长 AD 至 E，使得 AD=DE，连接 EC，如图 D 是 BC 的中点 BD=CD 在ADB与EDC 中 ADDEADBEDCBDCD ADBEDC EC=AB=4 AC=2 4-2AE4+2 即 2AE6 AE=2AD 1AD3 AD为整数 AD=2 【点睛】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法 17. 如图所示，ABAC，ADAE，
27、BACDAE，125 ，230 ，则3_ 【答案】55 【解析】 【分析】根据BACDAE 能够得出1EAC，然后可以证明BADCAE，则有2ABD，最后利用31+ABD可求解 【详解】BACDAE， BACDACDAEDAC， 1EAC， 在BAD和CAE 中， ABACBADCAEADAE BADCAE（SAS） ， 2ABD30 ， 125 ， 31+ABD25 +30 55 ， 故答案为：55 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键 18. 如图， ABC 中， ABAC， 点 D是ABC内部一点， DBDC， 点 E 是
28、边 AB上一点， 若 CD平分ACE，AEC100，则BDC_ 【答案】80 【解析】 【分析】设ACD=DCE=x，ECB=y，利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题 【详解】解：设ACD=DCE=x，ECB=y， AB=AC，DB=DC， ABC=ACB=2x+y，DCB=DBC=x+y， AEC=ECB+EBC， 2x+2y=100 ， BDC=180-（DCB+DBC）=180 -2（x+y）=80 故答案为：80 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题 19. 如图，ABC 和CD
29、E 都是等边三角形，AD和 BE 相交于点 F点 B，C，D 三点在同一直线上，则AD 和 BE 的大小关系是_，它们所成的锐角AFB=_ 【答案】 . AD=BE . 60 【解析】 【分析】由两个等边三角形的性质可证明ACDBCE，从而有 AD=BE，CAD=CBE，再在AFB 中由内角和定理即可求得AFB 的度数 【详解】ABC和 CDE 都是等边三角形 AC=BC，CD=CE，ACB=CAB=CBA=ECD=60 ACB+ACE=ACE+ECD 即ACD=BCE 在ACD和BCE 中 ACBCACDBCECDCE ACDBCE AD=BE，CAD=CBE FAB=CAD+CAB=CBE
30、+CAB FAB+FBA=CBE+CAB+FBA=CAB+CBA=120 在AFB中，AFB=180(FAB+FBA )=60 即 AD和 BE 的大小关系是：AD=BE，它们所成的锐角AFB=60 故答案为：AD=BE， 60 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些性质与判定是关键 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 7 小题，共小题，共 60 分）分） 20. 如图，已知ABCDEF，且A=75，B=35，ED=10cm，求F 的度数与 AB 的长 【答案】F=70 ，AB= 10cm 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出ACB，根据全等三角形
31、的性质得出 DE= AB，F=ACB，即可得出答案 【详解】解：A=75 ，B=35 ， ACB=180 -A-B=70 ， ABCDEF，DE=10cm， F=ACB=70 ，AB=DE=10cm， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等 21. 如图，已知点 A、E、F、C 在同一直线上，A=C，AE=CF，AD=CB，求证：BE/DF 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据 AE=CF，求出 AF=CE，根据 SAS证AFDCEB，推出 BE=DF根据AFDCEB，得出AFD=CEB，根据平行线的判定推出 BEDF
32、【详解】证明：AE=CF AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 在ADF和CBE 中 ADCBACAFCE ADFCBE AFD=BEC BEDF 【点睛】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 22. 已知：如图，在ABC中，AD 平分BAC，且 BD=CD求证：B=C 【答案】见解析 【解析】 【分析】 延长AD至E， 使AD=DE， 连接BE， 利用SAS可证得ADCEBD， 则可得BE=AC， CAD=BED，从而得 AB=BE=AC，所以可得结论 【详解】延长
33、AD 至 E，使 AD=DE，连接 BE，如图 在ADC和EBD中 ADDEADCBDEDCBD ADCEDB(SAS) BE=AC，CAD=BED AD平分BAC BAD=CAD BAD=BED AB=BE AB=AC B=C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质全等三角形的判定结合全等三角形的性质是证明线段相等与角相等的重要工具 23. 尺规作图（需保留作图痕迹） （1）已知ABC，将ABC沿直线 AD折叠，使得边 AC落在边 AB上，作折痕 AD （2）已知MON，点 A 在其内部，在 ON上作一点 P，使得点 P 到点 A 的距离与点 P到射线 OM的距离之和
34、最短 【答案】 （1）见作图； （2）见作图 【解析】 【分析】 （1）用尺规作BAC 的平分线即可； （2）用尺规作垂线的方法作点 A关于 ON的对称点 B，用作垂线的方法过点 B作 BCOM 于点 C，则可得所求作的满足条件的点 P 【详解】 （1）所作的折痕 AD 如下图所示： （2）所作的点 P如下图所示： 【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，过一点作已知直线的垂线，掌握作图步骤是关键 24. 如图，AD是 ABC 中BAC的平分线，DEAB于点 E，SABC7，DE2，AB4，求 AC的长 【答案】AC=3 【解析】 【分析】过 D作 DFAC于 F，根据角平分线性质求出 DF=DE
35、=2，根据 SADB+SADC=7 和三角形面积公式求出即可 【详解】解：过 D 作 DFAC于 F， AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB 于点 E，DE=2， DE=DF=2， SABC=7， SADB+SADC=7， 12 AB DE+12 AC DF=7， 12 4 2+12 AC 2=7， 解得：AC=3 【点睛】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 25. 在ABC 中， ABAC， D是直线 BC上一点， 以 AD为一条边在 AD的右侧作ADE， 使 AEAD， DAEBAC，连接 CE （1）
36、如图，当点 D在 BC延长线上移动时，若BAC25，则DCE ； （2）设BAC，DCE 当点 D 在 BC延长线上移动时， 与 之间有什么数量关系？请说明理由； 当点 D 在直线 BC上 （不与 B、 C两点重合） 移动时， 与 之间有什么数量关系？请直接写出你的结论 【答案】 （1）25 ； （2）=；理由见详解；=或 +=180 ；理由见详解 【解析】 【分析】 （1）证BADCAE，推出B=ACE，根据三角形外角性质求出即可； （2）证BADCAE，推出B=ACE，根据三角形外角性质求出即可； +=180 或 =，根据三角形外角性质求出即可 【详解】 （1）解：DAE=BAC， DAE
37、+CAD=BAC+CAD， BAD=CAE， 在BAD和CAE 中 ABACBADCAEADAE ， BADCAE（SAS） ， B=ACE， ACD=B+BAC=ACE+DCE， BAC=DCE， BAC=25 ， DCE=25 ， 故答案为：25 ； （2）解：当点 D在线段 BC延长线上移动时，与 之间的数量关系是 =， 理由是：DAE=BAC， DAE+CAD=BAC+CAD， BAD=CAE， 在BAD和CAE 中 ABACBADCAEADAE ， BADCAE（SAS） ， B=ACE， ACD=B+BAC=ACE+DCE， BAC=DCE， BAC=，DCE=， =； 解： （）
38、当 D在线段 BC上时，+=180 ，如备用图 2 所示，理由如下： 同理可证明：ABDACE（SAS） ， ADB=AEC，ABC=ACE， ADC+ADB=180 ， ADC+AEC=180 ， DAE+DCE=180 ， BAC=DAE=，DCE=， +=180 ； （）当点 D 在线段 BC反向延长线上时，=，如图 3所示， 理由如下：同理可证明：ABDACE（SAS） ， ABD=ACE， ACE=ACD+DCE，ABD=ACD+BAC， ACD+DCE=ACD+BAC， BAC=DCE， BAC=，DCE=， =； 综上所述，当点 D 在直线 BC 上移动时，= 或 +=180 ；
39、 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 26. 【初步探索】 （1）如图 1：在四边ABC中，ABAD，90BADC ，E、F分别是BC、CD上的点，且EFBEFD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系 小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DGBE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_； 【灵活运用】 （2）如图 2，若在四边形ABCD中，ABAD，180BD ，E、F分别是BC、CD上的点，且EFBEFD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸
40、】 （3）如图 3，已知在四边形ABCD中，180ABCADC，ABAD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图 3所示，仍然满足EFBEFD，请写出EAF与DAB的数量关系，给出证明过程 【答案】 （1）BAEFADEAF； （2）EAFBAEDAF； （3）EAF18012DAB 【解析】 【分析】 （1）延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG，可判定ABEADG，进而得出BAEDAG，AEAG，再判定AEFAGF，可得出EAFGAFDAGDAFBAEDAF，据此得出结论； （2） 延长 FD到点 G， 使 DGBE， 连接 AG， 先判定ABEADG， 进而得出BAE
41、DAG， AEAG，再判定AEFAGF，可得出EAFGAFDAGDAFBAEDAF； （3） 在 DC延长线上取一点 G， 使得 DGBE， 连接 AG， 先判定ADGABE， 再判定AEFAGF，得出FAEFAG，最后根据FAEFAGGAE360 ，推导得到 2FAEDAB360 ，即可得出结论 【详解】解： （1）BAEFADEAF理由： 如图 1，延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG， 90BADC ， 90ADGB ， DGBE，ABAD， ABEADG，BAEDAG，AEAG， EFBEFD，DGBE， =EFDGFD GF，且 AEAG，AFAF， AEFAGF， EAF
42、GAFDAGDAFBAEDAF 故答案为：BAEFADEAF； （2）仍成立，理由： 如图 2，延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG， BADF180 ，ADGADF180 ， BADG， 又ABAD， ABEADG（SAS） ， BAEDAG，AEAG， EFBEFDDGFDGF，AFAF， AEFAGF（SSS） ， EAFGAFDAGDAFBAEDAF； （3）EAF18012DAB 证明：如图 3，在 DC 延长线上取一点 G，使得 DGBE，连接 AG， ABCADC180 ，ABCABE180 ， ADCABE， 又ABAD， ADGABE（SAS） ， AGAE，DAGBAE， EFBEFDDGFDGF，AFAF， AEFAGF（SSS） ， FAEFAG， FAEFAGGAE360 ， 2FAE（GABBAE）360 ， 2FAE（GABDAG）360 ， 即 2FAEDAB360 ， EAF18012DAB 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形解题时注意：同角的补角相等
