1、2021年度江苏省南京市三校九年级第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 12. 有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A. 1B. 4C. 10D. 113. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）A. B. C. D. 4. 如果长方形的宽增加，长减少1，那么其面积增加已知原长方形的面积为，则原长方形的长和宽分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知AB是O的直径，过点A的弦AD平行于半径OC，若A70，则B等于（ ）A. 30B. 35C. 40D. 606.
2、 如图，AB是半O的直径，点C在半O上，AB5cm，AC4cmD是上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A 1B. 2C. 21D. 3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程的解为_8. 若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程_9. 一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_度10. 如图，正六边形的面积是，则对角线的长是 _11. 如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_12. 对于实数a
3、，b，我们定义一种运算“”为：aba2ab，例如131213若x40，则x_13. 若关于x一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_14. 如图，甲船从点O出发，自南向北以40海里/时的速度行驶；乙船在点O正东方向120海里的A处，以30海里/时的速度自东向西行驶，经过_小时两船的距离为100海里 15. 在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为_16. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cmD是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C
4、），连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是_三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）x25x60；（2）4x28x+1018. 用一根长为的铁丝，围成一个矩形，请用所学的方程或函数知识解答：矩形的面积是否可以为？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由19. 如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，求的半径20. 如图，O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE1cm，BE5cm，DEB30，求：（1）CD的弦心距OF的长；（2）弦CD的长21. 如图，是的直
5、径，为上一点，在上，且，的延长线与交于点（1）求证：；（2）若，求的度数22. 已知关于x方程x22（m+1）x+m230的两实根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）如果x12+x22x1x2+33，求m的值23. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%（1）该品牌粽子每个售价为5元，则每天出售个（2）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元24. 如图，点D在O的直径AB的延
6、长线上，点C在O上，ACCD，D30，（1）请判断CD是否O的切线？并说明理由；（2）若O的半径为6，求弧AC的长（结果保留）25. 某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利销售利润+返利）26.
7、用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙的长为am，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm（1）当a41时，矩形菜园面积是320m2，求x；（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围27. 如图，AB是O直径，点P在O上，且PAPB，点M是O外一点，MB与O相切于点B，连接OM，过点A作ACOM交O于点C，连接BC交OM于点D（1）求证：ODAC；（2）求证：MC是O的切线；（3）若，BC12，连接PC，求PC的长2021年度江苏省南京市三校九年级第一次
8、联考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可【详解】解：根据题意得：1-3+a=0解得：a=2故选A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于02. 有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A. 1B. 4C. 10D. 11【答案】D【解析】【分析】根据圆的半径为5，可得到圆的最大弦长为10，即可求解【详解】半径为5，直径为10，最长弦长为10，则不
9、可能是11故选：D【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解圆的直径是圆的最长的弦是解题的关键3. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式【详解】解：x26x10，x26x1，x26x919，（x3）210故选：B【点睛】此题考查配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数
10、为1，一次项的系数是2的倍数4. 如果长方形的宽增加，长减少1，那么其面积增加已知原长方形的面积为，则原长方形的长和宽分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】设长方形的长为，则长方形的宽为，根据长方形的面积公式结合“长方形的宽增加，长减少，那么其面积增加”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设长方形的长为，则长方形的宽为，依题意，得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）， ，即原长方形的长和宽分别为， 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键5. 已知AB是O的直径，过点A的弦AD平行于半径
11、OC，若A70，则B等于（ ）A. 30B. 35C. 40D. 60【答案】B【解析】【分析】由ADOC，A=70，根据平行线的性质，即可求得AOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得B的度数【详解】解：ADOC，A=70，AOC=A=70，B=AOC=35故选：B【点睛】此题考查了圆周角定理与平行线的性质此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键6. 如图，AB是半O的直径，点C在半O上，AB5cm，AC4cmD是上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE在
12、点D移动的过程中，BE的最小值为（）A. 1B. 2C. 21D. 3【答案】B【解析】【分析】如图，连接BO、BC在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O、E、B共线时，BE的值最小，最小值为OBOE，利用勾股定理求出BO即可解决问题【详解】解：如图，连接BO、BCCEAD，AEC90，在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，AB是直径，ACB90，在RtABC中，AC4，AB5，OE2，在RtBCO中，OE+BEOB，当O、E、B共线时，BE的值最小，最小值为OBOE2，故选：B【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是
13、在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程的解为_【答案】x1=0，x2=3【解析】【分析】先移项，再提取公因式x，即可根据因式分解法解方程【详解】x23x=0x(x3)=0解得：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握8. 若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程_【答案】x24x+3=0【解析】【分析】先计算出1与3的和、积，然后根据根与系数的关系写出满足
14、条件的一元二次方程【详解】1+3=4，13=3，以1和3为根的一元二次方程可为x24x+3=0.故答案为:x24x+3=0.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解题的关键.9. 一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_度【答案】80【解析】【分析】设这个扇形的圆心角是n，根据S扇形=，求出这个扇形的圆心角为多少即可【详解】设这个扇形的圆心角为n，则8，解得，n80，故答案为：80【点睛】本题主要考查了弧长和扇形面积的基本概念，掌握求弧长和扇形的面积公式是解题的关键10. 如图，正六边形的面积是，则对角线的长是 _【答案】8【解析】【分析】连接，先解答正六边形的边
15、长为4，再解得，继而解得，最后根据含30直角三角形的性质解题【详解】解：设正六边形的边长为，正六边形的面积是，解得连接，在正六边形中，故答案为：8【点睛】本题考查正六边形的性质、含30直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键11. 如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_【答案】18【解析】【分析】根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；【详解】圆锥的底面半径为3cm，底面周长，又母线长为6cm，；故答案是18【点睛】本题主要考查了扇形面积求解，准确判断圆锥与扇形之间的关系是解题的关键12. 对于实数a，b，我们定义一种运算“”为
16、：aba2ab，例如131213若x40，则x_【答案】0或4【解析】【分析】先认真阅读题目，根据题意得出方程，解方程即可【详解】解：，或4，故答案为：0或4【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能得出一元二次方程，题目比较典型，难度适中13. 若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可知，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解不等式即可求得实数k的取值范围【详解】关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，且解得且故答案为：且【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系
17、:当0时,方程有两个不相等的实数根;当=0时，方程有两个相等的实数根;当0时，方程没有实数根14. 如图，甲船从点O出发，自南向北以40海里/时速度行驶；乙船在点O正东方向120海里的A处，以30海里/时的速度自东向西行驶，经过_小时两船的距离为100海里 【答案】2或 【解析】【分析】设经过x小时两船的距离为100海里，由题意可知BC=100,海里，则可分别表示出OC和OB的长度，再在直角OBC中运用勾股定理即可.【详解】解：设经过x小时两船的距离为100海里，则OC=40x，OB=120-30x，BC=100，则(40x)2+(120-30x)2=1002，解得x=2或 ，故答案为2或 .
18、【点睛】本题结合方位角和平面直角坐标系考查了勾股定理的运用.15. 在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为_【答案】3【解析】【分析】根据勾股定理求出OD，根据直角三角形的性质求出COD，证明RtCODRtAOG，得到AGCD1，AOGCOD30，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案【详解】解：如图所示：在RtOCD中，OD，COD30，在RtCOD和RtAOG中，RtCODRtAOG（HL）AGCD1，AOGCOD30，DOG30，阴影部分的面积123；故答案为：3【点睛】本题考查
19、的是扇形面积计算、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键16. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cmD是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是_【答案】 2BE3【解析】【分析】由AEC=90知E在以AC为直径的M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与M的交点（图中点E点），在RtBCM中利用勾股定理求得BM=，从而得BE长度的最小值BE=BM-ME=-2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点
20、E与点C不重合，得BE3，从而得出答案【详解】如图，由题意知，AEC=90，E在以AC为直径的M的上（不含点C、可含点N），BE最短时，即为连接BM与M的交点（图中点E点），AB=5，AC=4，BC=3，CM=2，则BM=，BE长度的最小值BE=BM-ME=-2，BE最长时，即E与C重合，BC=3，且点E与点C不重合，BE3，所以-2BE3.故答案是：-2BE3.【点睛】考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM与M的交点是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）x2
21、5x60；（2）4x28x+10【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据因式分解法，配方法解一元二次方程即可【详解】（1）x25x60；解得（2）4x28x+10解得【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键18. 用一根长为的铁丝，围成一个矩形，请用所学的方程或函数知识解答：矩形的面积是否可以为？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由【答案】不能，理由见解析【解析】【分析】设矩形宽为xm，面积为Sm2，依题意易求得y与x的函数关系式，再判断矩形的面积能不能为38m2，然后说明理由即可解答本题【详解】设矩形宽为xm，面积为Sm2根据题意得，-x2+12x =
22、38，即x2-12x+38=0，=41，不符合题意；当x=20时，562x+2=1841，符合题意答：x的值为20；（2）假设面积可以达到400m2则x（542x2）=400整理得：x228x200=0=（28）241200=160，方程无实数根，矩形菜园的面积不能达到400m2；（3）由矩形菜园的面积为320m2可得x（542x2）=320，整理得：x228x160=0，解得：x1=8，x2=20.当x=8时，562x+2=42；当x=20时，562x+2=18.x的值只能取一个，18a42【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的知识.27. 如
23、图，AB是O的直径，点P在O上，且PAPB，点M是O外一点，MB与O相切于点B，连接OM，过点A作ACOM交O于点C，连接BC交OM于点D（1）求证：ODAC；（2）求证：MC是O切线；（3）若，BC12，连接PC，求PC的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论可得ACB=90，根据平行线性质得，即ODBC，再根据三角形中位线定理得ODAC；（2）连接OC，根据ACOM，OAOC，可得BOMCOM，根据SAS证明OCMOBM，又因为MB是O的切线，所以OCMOBM90，即可得MC是O的切线；（3）根据OB，得出PAPB，因为BC=12，所以AC=9
24、，过点A作AHPC于点H，可得AH和BH长度，即可得PC的长度【详解】解：（1）AB是O的直径，ACB=90，又ACOM，ODBC，D为BC的中点，O为AB的中点，OD为ABC为中位线，ODAC；（2）如图所示：连接OC，ACOM，OACBOM，ACOCOM，OAOC，OACACO，BOMCOM，在OCM与OBM中，OCMOBM（SAS）又MB是O的切线，OCMOBM90，MC是O的切线；（3）AB是O的直径ACBAPB90OB，AB15，PAPB，BC=12，AC=9，过点A作AHPC于点H，AHCH，PCPH+CH【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角的推论，平行线的性质，全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点
