1、江苏省镇江市丹徒区江苏省镇江市丹徒区 20212021 年九年级上第一次月考数学试题年九年级上第一次月考数学试题 一、选择题（每题选择题（每题 3分，共分，共 18 分）分） 1. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. 20axbxc B. 225 =1xx x C. 246 =7xx D. 325=0 xx 2. 一元二次方程2304yy配方后可化为（ ） A. 2112y B. 2112y C. 21324y D. 21324y 3. 关于 x的一元二次方程2(1)10axxa 的一个根为 0，则实数 a的值为 A 1 B. 0 C. 1 D. 1或 1 4. 判断一元二次方
2、程2210 xx 的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 没有实数根 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 2x213x+150 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 11.5 C. 10 D. 8或 11.5 6. 已知 a是方程 x2+x1=0 的一个根，则22211aaa的值为（ ） A. 152 B. 152 C. 1 D. 1 二填空题（每题二填空题（每题 2 分，共分，共 24 分）分） 7. 若方程1kx -2x-3=0是关于 x 的一元二次方程，则k _ 8. 一元二次方程21 3321xxx化为一
3、般形式为_ 9. 方程 4（x1）21 的根是_ 10. 如图， AB是O的直径， 点D， C在O上， ADOC， DAB60 ， 连接AC， 则DAC的度数为_ 11. 已知一元二次方程 x2-6x+5-k=0根的判别式=4，则 k=_ 12. 已知 x1，x2是一元二次方程 x22x1=0的两根，则1211xx=_ 13. 若一元二次方程 x2x+k=0有实数根，则 k的取值范围是_ 14. 一元二次方程 x2+323x=0 的解是_ 15. 两个连续整数的平方和为 113，则这两个连续整数为_ 16. 某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 2500 元降到了 1600元，则
4、平均每月降价的百分率是_ 17. 关于 x 的方程 a （x+m）2+b=0的根是 x1=4， x2=-6， （a， b， m 均为常数， a0） ， 则关于 x的方程 a （x+m-3）2+b=0的根是_ 18. 已知 x 为实数，且满足（x+1） （x+2） （x+3） （x+4）=48，则 x2+5x=_ 三、解答题三、解答题 19. 用适当的方法解下列方程 （1）x23 （2）24960 xx （3）x（2x4）68x （4）2x28x10 20. 已知：如图，在O中，AB为弦，C、D两点在 AB 上，且 ACBD求证：OACOBD 21. 已知关于x的方程226350 xxmm的一个
5、根为一 1，求另一个根及m的值. 22. 已知一元二次方程 ax2+bx+c0的一个根为 1，且 a、b满足 b22aa+3，求 c的值 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x24xm20 （1）求证：该方程有两个不相等实数根； （2）若该方程两个实数根 x1，x2满足12123x xxx，求 m的值 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件赢利 40元，为了扩大销售，增加利润尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2件； （1）若商场平均每天要赢利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元
6、时，商场平均每天赢利最多？ 25. 矩形 ABCD 中，AB=17，BC=21，点 P在 AB 边上，且满足 AP=3PC，求 PB之长 26. 已知 CD 为ABC 的中线，A及BDC 的度数分别是方程 x2-75x+1350=0的两根， （1）求A及BDC 的度数； （2）求B的度数 江苏省镇江市丹徒区江苏省镇江市丹徒区 20212021 年九年级上第一次月考数学试题年九年级上第一次月考数学试题 一、选择题（每题选择题（每题 3分，共分，共 18 分）分） 1. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. 20axbxc B. 225 =1xx x C. 246 =7xx D. 3
7、25=0 xx 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 【详解】解：A当 a=0时，方程 ax2+bx+c=0 不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C是一元二次方程，故本选项符合题意； D含未知数的项的最高次数是 3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2的整式方程，叫一元二次方程 2. 一元二次方程2304yy配方后可化为（ ） A. 2112y B.
8、2112y C. 21324y D. 21324y 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程2304yy配方得：22113()( )0224y ， 即21()102y ， 化成2()xab的形式为21()12y 故选：B 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为 1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数 3. 关于 x的一元二次方程2(1)10axxa 的
9、一个根为 0，则实数 a的值为 A. 1 B. 0 C. 1 D. 1或 1 【答案】A 【解析】 【分析】先把 x=0 代入方程求出 a的值，然后根据二次项系数不能为 0，把 a=1舍去 【详解】解：把 x=0代入方程得： |a|-1=0， a= 1， a-10， a=-1 故选：A 4. 判断一元二次方程2210 xx 的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式判断即可 【详解】解：在2210 xx 中， 1,2,1abc ， 22424 1 ( 1)80bacD =-=
10、-创-=， 一元二次方程2210 xx 有两个不相等的实数根 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式熟记公式是解题关键 5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 2x213x+150 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 11.5 C. 10 D. 8或 11.5 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案 【详解】解：2x213x+150 （x-5） （2x-3）=0， 解得：x1=5，x2=1.5， 当等腰三角形的三边为 5，1.5，1.5 时，1.5+1.55，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，
11、舍去； 当等腰三角形的三边为 5，5，1.5 时，此时能组成三角形，三角形的周长是 5+5+1.5=11.5， 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想 6. 已知 a是方程 x2+x1=0 的一个根，则22211aaa的值为（ ） A 152 B. 152 C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简22211aaa，由 a是方程 x2+x1=0的一个根，得 a2+a1=0，则 a2+a=1， 再整体代入即可 【详解】原式=2(1)(1)(1)aaa aa=1(1)a a， a
12、是方程 x2+x1=0 的一个根， a2+a1=0， 即 a2+a=1， 原式=1(1)a a=1 故选 D 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想 二填空题（每题二填空题（每题 2 分，共分，共 24 分）分） 7. 若方程1kx -2x-3=0是关于 x 的一元二次方程，则k _ 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可知方程中 x 的最高次项是二次，可得到最终结果 【详解】解：方程1kx-2x-3=0是关于 x的一元二次方程， x 的最高次项是二次， 12k ， 解得3k ， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，属于基础题，熟练
13、掌握一元二次方程的定义是解题的关键 8. 一元二次方程21 3321xxx化为一般形式为_ 【答案】2840 xx 【解析】 【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可 【详解】 （13x） （x3）2x21， 可化为：x33x29x2x21， 化为一元二次方程的一般形式为 x28x40 故答案为2x8x40 【点睛】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 9. 方程 4（x1）21 的根是_ 【答案】1231,22xx 【解析】 【分析】先等式两边同时除 4，然后
14、直接平方根求解 【详解】解：2114x， 112x ， 1231,22xx 故答案：1231,22xx 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是关键 10. 如图， AB是O的直径， 点D， C在O上， ADOC， DAB60 ， 连接AC， 则DAC的度数为_ 【答案】30 【解析】 【分析】首先利用同一圆的半径相等和平行线的性质得到DAC=CAB，然后利用已知角求解即可 【详解】解：OA=OC， CAO=ACO， ADOC， DAC=ACO， DAC=CAB， DAB=60 ， DAC=12DAB=30 故答案为：30 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知平行线的性质及同
15、一圆的半径相等是解答此题的关键 11. 已知一元二次方程 x2-6x+5-k=0的根的判别式=4，则 k=_ 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 k的方程，即可求出 k的取值 【详解】解：=b2-4ac=36-4（5-k）=16+4k=4， k=-3 故答案为：-3 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b2-4ac 12. 已知 x1，x2是一元二次方程 x22x1=0的两根，则1211xx=_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据韦达定理，得到 x1+x2=2，x1x2=1，然后再
16、代入计算，即可得到答案 【详解】解：一元二次方程 x22x1=0的两根为 x1、x2， 由韦达定理，得：x1+x2=2，x1x2=1， 121212112xxxxx x ； 故答案是：2 【点睛】本题考查了韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键 13. 若一元二次方程 x2x+k=0有实数根，则 k的取值范围是_ 【答案】k14 【解析】 【分析】根据根的判别式进行解题. 【详解】一元二次方程 x2x+k=0有实数根， =1-4k0，即 k14 14. 一元二次方程 x2+323x=0 的解是_ 【答案】x1=x2=3 【解析】 【详解】试题分析：利用完全平方式分解因式后，利用直接开平方法解方
17、程即可即 x2+323x=0， （x3）2=0， 所以 x1=x2=3 考点：一元二次方程的解法 15. 两个连续整数的平方和为 113，则这两个连续整数为_ 【答案】7，8或-8，-7 【解析】 【分析】设较小的一个数为 x，则另外一个数为（x+1） ，根据两个数的平方和是 313，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设较小的一个数为 x，则另外一个数为（x+1） ， 依题意，得：x2+（x+1）2=113， 整理，得：x2+x-56=0， 解得：x1=7，x2=-8， x+1=8或 x+1=-7 故答案：7，8或-8，-7 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，
18、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 16. 某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 2500 元降到了 1600元，则平均每月降价的百分率是_ 【答案】20% 【解析】 【分析】根据：原售价（1-降低率）2=降低后的售价，然后列出方程求解即可 【详解】解：设平均降价 x 元， 依题意得：2500（1-x）2=1600， 解得：x=0.2=20%或 x=1.8（舍去） ， 答：平均每月降价的百分率为 20% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 17. 关于 x 的方程 a （x+m）2+b=0的根是 x1=4， x2=-6
19、， （a， b， m 均为常数， a0） ， 则关于 x的方程 a （x+m-3）2+b=0的根是_ 【答案】127,3xx 【解析】 【分析】先利用直接开平方法得方程 a（x+m）2+b=0 的解为 x=-mba，则-m+ba，=1，-m-ba，=-2，再解方程 a（x+m-2）2+b=0得 x=3-mba，然后利用整体代入的方法得到方程 a（x+m-3）2+b=0的根 【详解】解：解方程 a（x+m）2+b=0得 x=-mba， 方程 a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a0）的根是 x1=4，x2=-6， -m+ba=4，-m-ba=-6， 解方程 a（x+m-3）2+b=0 得
20、 x=3-mba， x1=3-6=7，x2=3+4=-3 故答案为127,3xx 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 18. 已知 x 为实数，且满足（x+1） （x+2） （x+3） （x+4）=48，则 x2+5x=_ 【答案】2 【解析】 【分析】将原方程变形为： （x2+5x）2+10（x2+5x）-96=0，设 x2+5x=y，利用换元法解方程求解即可 【详解】解： （x+1） （x+2） （x+3） （x+4）=48 （x+1）
21、 （x+4）（x+2） （x+3）=48， （x2+5x+4） （x2+5x+6）=48， （x2+5x）2+10（x2+5x）-24=0， 设 x2+5x=y， 那么原方程可化为：y2+10y-24=0，解得 y1=2，y2=-12， 当 y=2时，x2+5x=2，即 x2+5x-2=0， 22454 12330bac ，此方程有实数解，符合题意； 当 y=-16时，x2+5x=-12，即 x2+5x+12=0， 22454 1 12230bac ，此方程无实数解，不符合题意，舍去； 综上，x2+5x=2 故答案为：2 【点睛】本题考查了换元法解方程、因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，
22、熟练掌握整式的乘法和因式分解是关键 三、解答题三、解答题 19. 用适当的方法解下列方程 （1）x23 （2）24960 xx （3）x（2x4）68x （4）2x28x10 【答案】（1）123,3xx；（2）128,12xx ；（3）121,3xx ；（4）1243 243 2,22xx 【解析】 【分析】 （1）用直接开平方法解方程； （2）用因式分解法解方程； （3）先整理成一般形式，再用因式分解法解方程； （4）利用公式法，先算出根的判别式，再代入到求根公式中. 【详解】 （1）解：3x， 123,3xx； （2）解：+0 xx ， 128,12xx ； （3）解：22468xxx，
23、 2+230 xx， +0 xx ， 121,3xx ； （4）解：22810 xx ， 281abc， 22484 21 =72bac ， 2486 243 2=242bbacxa ， 1243 243 2,22xx. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法是关键. 20. 已知：如图，在O中，AB为弦，C、D两点在 AB 上，且 ACBD求证：OACOBD 【答案】证明见解析 【解析】 分析】根据等边对等角可以证得A=B，然后根据 SAS 即可证得两个三角形全等 【详解】证明：OAOB， AB， 在OAC和OBD中： OAOBABACBD
24、， OACOBD（SAS） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，同圆半径相等正确理解三角形的判定定理是关键 21. 已知关于x的方程226350 xxmm的一个根为一 1，求另一个根及m的值. 【答案】1212mm，另一根为 7. 【解析】 【分析】把 x=-1 代入方程可得关于 m的方程，解方程可求得 m的值，把 m的值代入原方程得到关于 x 的方程，解方程即可求得另一个根. 【详解】把 x=-1代入方程得 1+6+m2-3m-5=0， 即 m2-3m+2=0，解得12m1 m2， 当 m=1或 m=2 时，方程为 x-6x-7=0， 解得 x=-1 或 x=7，即另一根为 7， 综上
25、可得12m1 m2，另一根为 7. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及解一元二次方程，正确把握一元二次方程根的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键. 22. 已知一元二次方程 ax2+bx+c0的一个根为 1，且 a、b满足 b22aa+3，求 c的值 【答案】-5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到 a-20，a-20，解得 a=2，则可计算出 b=3，再根据一元二次方程解的定义得到 a+b+c=0，然后把 a 和 b的值代入即可求出 c 的值 【详解】解：a、b 满足 b22aa+3， a-20，a-20， a=2， b=3， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一
26、个根是 1， a+b+c=0， 2+3+c=0， c=-5 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x24xm20 （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根 x1，x2满足12123x xxx，求 m的值 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1） 根据方程的系数结合根的判别式， 可得出=16+4m20， 由此可证出该方程有两个不等的实根； （2）根据根与系数的关系可得124xx 、212x xm ，结合12123x xxx，可
27、求出1x、2x的值，将其代入中即可求出 m的值 【详解】解： （1）在方程2240 xxm中， =（4）24 1 （m2）=16+4m20， 该方程有两个不等的实根； （2）解：该方程的两个实数根分别为1x、2x， 124xx 、212x xm 12123x xxx， 将代入得，243m， 解得1m 【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件赢利 40元，为了扩大销售，增加利润尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2件； （1
28、）若商场平均每天要赢利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 【答案】 （1）每件衬衫应降价 20元； （2）每件衬衫降价 15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250元 【解析】 【分析】 （1）此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润(40) x元，但每天多售出2x件即售出件数为(202 )x件，因此每天赢利为(40)(202 )xx元，进而可根据题意列出方程求解； （2）先列出二次函数的关系式，再利用二次函数的性质求解 【详解】解： （1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得(40)(202 )1200 xx， 整理
29、得22604000 xx， 解得120 x ，210 x 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降 20 元 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）设商场平均每天赢利y元，则 (202 )(40)yxx， 2260800 xx ， 222(30400)2(15)625xxx， 22(15)1250 x 当15x 时，y取最大值，最大值为 1250 答：每件衬衫降价 15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的代数式及方程 25. 矩形 ABCD 中，AB=17
30、，BC=21，点 P在 AB 边上，且满足 AP=3PC，求 PB之长 【答案】2 【解析】 【分析】设 PB为 x，则17APx，由 AP=3PC，可得173xPC，在RtPCB中，根据已知条件以及勾股定理列出方程，解方程即可 【详解】设 PB为 x， AP=3PC，AB=17，BC=21， 173xPC，17APx 四边形ABCD是矩形， 90B ， 在RtPCB中，根据勾股定理可得， 222,PBBCPC x2+21=（ 17-x3 2 4x2-17x-50=0 12x ， x2=254 （舍去） 答：PB之长为 2 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意列
31、出方程是解题的关键 26. 已知 CD 为ABC 的中线，A及BDC 的度数分别是方程 x2-75x+1350=0的两根， （1）求A及BDC 的度数； （2）求B的度数 【答案】 （1）30 ,45ABDC ； （2）105 【解析】 【分析】 （1）根据题意，解一元二次方程，并根据三角形的外角的性质可得BDCA，进而确定A及BDC的度数； （2）过点 B作 BHAC于 H，连接 DH，根据（1）的结论，以及 CD为ABC 的中线可得，BHD为正三角形， 根据DHAHDCHCDA以及HDCHDBBDC可得HDHBHC， 进而可得BHC为等腰直角三角形，进而求得ABC的度数 【详解】 （1）
32、A及BDC的度数分别是方程 x2-75x+1350=0 的两根， 27513500 xx， 30 (45)0 xx， 解得1230,45xx， BDCAACD ， BDCA， A=30 ，BDC=45 ； （2）过点 B作 BHAC于 H，连接 DH， 30A ， 903060ABH， CD是ABC的中线， ADBD， HDDB， BHD为正三角形， 60HDBDBH， 45BDC， 604515HDCHDBBDC， HDDA， 30DHAA ， DHAHDCHCD， 301515HCDDHAHDC， HDHC， HDHB， HBHC， BHC 为等腰直角三角形， 45HBC， 6045105ABCDBHHBC 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形的中线的性质，三角形内角和以及三角形外角的性质，等角对等边；第一问，根据题意求得方程的解，第二问添加辅助线是解题的关键
