1、第第1 1章章 三角函数三角函数 5.1.2 5.1.2 弧度制弧度制 温故而知新温故而知新 1、角度制的定义、角度制的定义 规定周角的规定周角的1/360为为1度的角度的角.这种用度做单位来这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。度量角的制度叫角度制。 1 2、弧长公式及扇形面积公式、弧长公式及扇形面积公式 nR 180 l= nR2 360 S= n R l 1、弧度制 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做叫做1弧度的角。弧度的角。 设弧设弧AB的长为的长为l， 若若l=r，则，则AOB= 1 弧度弧度 l r = O B r l=r A 1弧度弧度
2、 讲授新课讲授新课 r 1rad O A B l=r AOC的弧度数就是 l r 2r r = = 2 rad 弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小 C l=r 一般地，我们规定：一般地，我们规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝的弧度数的绝对值：对值： = l r 其中其中l为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的长，作为圆心角时所对圆弧的长，r r 为圆的半径。这种用为圆的半径。这种用“弧度弧度” 做单位来度量角的做单位来度量角的 制度叫做制度叫做弧度制弧
3、度制。 2 2、弧度与角度的换算、弧度与角度的换算 l r = 则则AOB= 2弧度弧度 此角为周角此角为周角 即为即为360 360= 2 弧度弧度 180= 弧度弧度 l=2 r O A (B) r 若若l=2 r， 两种单位制的换算： 关系式： “弧度”或“rad”可省略不写，保留 2 rad = 360 rad = 180 180 1 rad = ( )57.30 57 18 (2)弧度换成角度 1= rad0.01745rad 180 (1)角度换成弧度： 360 = 2 rad 180 = rad “角化弧”时，将n乘以 ； “弧化角”时，将乘以 ； 180180特殊角的度数与弧度
4、数的对应表： 度数 0 30 45 60 90 弧度 0 150 270 360 6 2 3 3 4 5 6 3 2 4 2 3 2 120 135 180 正角的弧度数是正数， 角的概念推广后，角的概念推广后， 弧度数的概念也随之推广：弧度数的概念也随之推广： 负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是零 正实数 0 负实数 正角 零角 负角 任意角的集合 实数集R 角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系 3 3、例题、例题 例例1. 把下列各角把下列各角化成弧度化成弧度 (1) 67 30 (2) 120 (3) 75 (4) 135 (5) 300 (6) - 210 例例2: 把下列各弧度
5、化成度把下列各弧度化成度. (1) (2) (3) (4) 5 53 312125 54 46 65 5(1)108o (2)15o (3)-144o (4)-150o 例3.把下列各角化成 的形式： （1） ；（2） ；（3） 解（1） （3） )84(48)4(.象限象限试判断下列各角所在的试判断下列各角所在的 （2） 424731502384又.8是第三象限的角是第三象限的角 弧度数的计算公式： = l r (l是以角作为圆心角时所对弧的长， r是圆的半径) 弧度制的提出：弧度制的提出： 如果命运是块顽石，我就化作大锤，如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得粉碎！将它砸得粉碎！ 莱昂哈
6、德欧拉（17071783） 大师对话大师对话 弧长半径弧长公式： lRS21例 利用弧度制证明扇形面积公式 ， （其中l是扇形的弧长，R是圆的半径） 证明： 如左图，因为圆心角为1rad的扇形 221R的面积为 radRllRRRlS21212而弧长为l的扇形的圆心角的大小为 所以它的面积 即：弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 根据公式 ，可以得到 = l r l = r O S R l 你能将下列特殊角转化为弧度制吗？你能将下列特殊角转化为弧度制吗？ 4例.,cm4,cm82度数度数求该扇形的圆心角的弧求该扇形的圆心角的弧面积为面积为已知扇形的周长为已知扇形的周长为:解解
7、则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设扇形半径为,L,R8LR2 4LR21 4L2R 得得解解的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 RL 24 NoImage思考题： 试证：扇形周长一定时，当圆心角 =2时，扇形面积最大. r l 练习练习 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）： 1、 终边与终边与X轴正半轴重合轴正半轴重合； 2、 终边与终边与X轴负半轴重合；轴负半轴重合； 3、 终边与终边与X轴重合；轴重合； 4、 终边与终边与Y轴正半轴重合轴正半轴重合； 5、 终边与终边与Y轴负半轴重合轴负半轴重合； 6、 终边与终边与Y轴重合轴重
8、合； 7、第一象限内的角、第一象限内的角； 8、第二象限内的角、第二象限内的角； 9、第三象限内的角、第三象限内的角； 10、第四象限内的角、第四象限内的角； )(2| )(2| )(| )(22| )(232| )(2| )(222| )(222| )(2322| )(22232| )57. 1241. 3(210 练习.象限象限试判断下列各角所在的试判断下列各角所在的4)2(1)1(.1是第一象限的角是第一象限的角 234 .4是第三象限的角是第三象限的角练习练习 .,求出角的范围求出角的范围已知角的终边区域已知角的终边区域如图如图x y 0 045(1) x y 0 045(2) 提炼总结： 1.180= 弧度； “弧化角”时，将乘以 ； 2.“角化弧”时，将n乘以 ； 3.弧长公式: l = r 4.扇形面积公式： lRS21180180思考题： 试证：扇形周长一定时，当圆心角 =2时，扇形面积最大. r l
