1、1.1空间向量及其运算课时1 空间向量及其线性运算一、基础巩固知识点1 空间向量的有关概念1. 下列关于空间向量的说法中正确的是()A.两个有公共终点的向量一定是共线向量B.空间中任意两个单位向量必相等C.若向量AB,CD满足|AB|CD|,则ABCDD.长度为0的向量是零向量2. 2022广东深圳南山外国语学校高二上期中下列说法正确的是()A.任一空间向量与它的相反向量都不相等B.将空间中所有单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.模为3的空间向量大于模为1的空间向量D.不相等的两个空间向量的模可能相等3. (多选)2022广东佛山里水高级中学高二上质检在平行六面体ABCD-AB
2、CD中,与向量AB相等的向量有()A.CDB.ABC.DCD.BC知识点2 空间向量的加、减运算4. 2022河北石家庄六中高二上期中已知A,B,C,D为空间中的四个点,则DA+CD-CB=()A.DBB.ABC.ACD.BA5. (多选)2022福建三明尤溪一中高二上段考已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列互为相反向量的是()A.OA+OD与OB1+OC1B.OB-OC与OA1-OD1C.OA1-OA与OC-OC1D.OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD16. 2022北京市中关村中学高二上期中如图,四面体A-BCD的所有棱长都为2,点E,F分别为
3、棱AB,AD的中点,则|AB+BC|=;|BC-EF|=.7. 如图所示,在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中:(1)化简A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1,并在图中标出化简结果的向量;(2)化简DE+E1F1+FD-DD1+AD,并在图中标出化简结果的向量.知识点3 空间向量的数乘运算8. 如图,在三棱锥A-BCD 中,E是棱CD的中点,且BF=23BE,则AF=()A.12AB+34AC-34ADB.AB+34AC-34ADC.-5AB+3AC+3ADD.13AB+13AC+13AD9. 已知点G是正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,则PA+P
4、B+PC+PD=()A.4PGB.3PGC.2PGD.PG10. 2022山东师范大学附属中学高二上期中已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P满足AP=12AB+12AD+AA1,则PA1=.11. 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下向量,则(1)AP=;(2)MP+NC1=.知识点4 空间向量的共线与共面问题12. 2022福建福州一中高二上期中已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列各组向量中,与AC共面的是()A.B1D1,B1B B.C1C,A1DC
5、.BA1,AD1 D.A1D1,A1A13. 2022山东烟台高二上期中已知a,b为非零向量,且a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且向量m,n,p不共面,若ab,则x+y=()A.-13 B.-5C.8 D.1314. (多选)若空间向量a,b,c不共面,则()A.b+c,b-c,a共面B.b+c,b-c,2b共面C.b+c,a,a+b+c共面D.a+c,a-2c,c共面15. 2022山东高二上联考如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,且PA底面ABCD,E,F分别是棱AB,PC的中点.求证:EF,AP,AD共面.16. 如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是
6、边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.用向量法求证:四边形EFGH是梯形.二、能力提升1. (多选)2022重庆名校联盟高二上联考已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使MA,MB,MC共面的是()A.OM=13OA+14OB+15OC(O为空间中任意一点)B.MA=MB+2MCC.OM=OA+2OB+3OC(O为空间中任意一点)D.MA=3MB-2MC2. 2022湖北武汉市育才高中高二上月考光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年.它的墩台为砖石砌成的正四棱台,如图所示,正四棱台
7、的上、下底面的棱长之比为910,则HE+FB+19DC=.3. 2022山东潍坊四中高二上月考如图,O为ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若AG=AM与OG=12OA+14OB+14OC同时成立,则实数的值为.4. 2022江西上饶横峰中学高二月考如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别是棱AA1,BC,C1D1的中点.设M是该正方体表面上的一点,若EM=xEF+yEG(x,yR),则所有点M形成的图形的周长是.5. 如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13.(1)用向量AB,AC,AD表示AM;(2)求
8、证:B,G,N三点共线.6. 2022黑龙江佳木斯高三调研如图,H在四棱锥P-ABCD的棱PC上,且PH=12HC,点G在AH上,AG=mAH,四边形ABCD为平行四边形.若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.参考答案一、基础巩固1. DA中,两个有公共终点的向量的方向不一定相同或相反; B中,单位向量的模都相等而方向不确定;C中,向量不能比较大小.故选D.2. DA零向量的相反向量是它本身.B将空间中所有单位向量平移到同一个起点,则它们的终点构成一个球.C向量不能比较大小.D任一非零向量与其相反向量不相等,但是它们的模相等.3. BC画图易知,在平行六面体ABCD-ABCD中,与向量AB相
9、等的向量有3个,分别是AB,DC,DC.故选BC.4. DDA+CD-CB=DA+(CD-CB)=DA+BD=BA.5. ACDB中是一对相等向量.6. 23解析 因为AB+BC=AC,所以|AB+BC|=|AC|=2.取BD的中点M,则EF=BM,所以|BC-EF|=|BC-BM|=|MC|=2sin 60=3.7. 解析 (1)A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1=AF+FE+AB+BB1+CD+DC=AE+AB1+0=AE+ED1=AD1.AD1如图所示.(2)DE+E1F1+FD-DD1+AD=DE+EF+FD+A1A+AD=DF+FD+A1D=0+A1D=A1D.A1D如图所
10、示.8. D连接AE,因为E是棱CD的中点,BF=23BE,所以AF=AB+BF=AB+23BE=AB+23(AE-AB)=23AE+13AB=13(AC+AD)+13AB=13AB+13AC+13AD.9. A方法一PA+PB+PC+PD=PG+GA+PG+GB+PG+GC+PG+GD=4PG+(GA+GC)+(GB+GD).又四边形ABCD是正方形,G是它的中心,所以GA+GC=GB+GD=0,故PA+PB+PC+PD=4PG.方法二因为四边形ABCD是正方形,G是它的中心,所以G为AC的中点,也为BD的中点,所以PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PG+2PG=4P
11、G.10. 22解析 设点O,O分别是该正方体上、下底面的中心,如图所示,则AP=12AB+12AD+AA1=AO+OO=AO,故点O与点P为同一点,所以PA1=OA1=22.11. (1)a+12b+c;(2)32a+12b+32c解析 (1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+12b+c.(2)因为M是AA1的中点,N是BC的中点,所以MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+(a+12b+c)=12a+12b+c,NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=a+12c,所以MP+NC1=(12a+12
12、b+c)+(a+12c)=32a+12b+32c.12. C如图,易知BA1CD1.因为AC,AD1,CD1共面,所以AC,AD1,BA1共面,故选C.13. B因为ab且a0,所以存在实数,使得b=a,即(x+1)m+8n+2yp=3m-2n-4p,即(x+1-3)m+(8+2)n+(2y+4)p=0.又m,n,p不共面,所以x+1-3=08+2=02y+4=0,解得x=-13y=8=-4,所以x+y=-5. 14. BCD因为2b=(b+c)+(b-c),所以b+c,b-c,2b共面,故B正确.因为a+b+c=(b+c)+a,所以b+c,a,a+b+c共面,故C正确.因为a+c=(a-2c
13、)+3c,所以a+c,a-2c,c共面,故D正确.对于A,若b+c,b-c,a共面,则存在实数,使得a=(b+c)+(b-c)=(+)b+(-)c,所以a,b,c共面,与a,b,c不共面矛盾,所以b+c,b-c,a不共面,故A错误.故选BCD.15. 证明 设CD的中点为G,连接EG,FG,则GF=12DP,EG=AD,所以EF=EG+GF=AD+12DP=AD+12(AP-AD)=12AD+12AP,所以EF,AP,AD共面.16. 证明 连接BD,因为E,H分别是边AB,AD的中点,所以EH 12 BD,所以EH=12BD=12(CD-CB)=12(32CG-32CF)=34(CG-CF)
14、=34FG,所以EHFG且|EH|=34|FG|FG|.又F不在EH上,所以四边形EFGH是梯形.二、能力提升1. BD因为OM=13OA+14OB+15OC,且13+14+151,所以点M不在平面ABC内,向量MA,MB,MC不共面,故A错误;由空间向量共面定理,知B,D正确;因为OM=OA+2OB+3OC,且1+2+31,所以点M不在平面ABC内,向量MA,MB,MC不共面,故C错误.故选BD.2. HA解析 延长EA,FB,GC,HD相交于点O,则FBFO=EAEO=110,DCHG=910,所以EA=110EO,FB=110FO,DC=910HG.又HG=EF,所以HE+FB+19DC
15、=HE+110FO+110HG=HE+110FO+110EF=HE+110EO=HE+EA=HA.3. 12解析 因为AG=OG-OA=12OA+14OB+14OC-OA=-12OA+14(OB+OC)=-12OA+12OM=12AM,所以=12.4. 32解析 因为EM=xEF+yEG(x,yR),所以点M在平面EFG上.如图,分别取A1D1,AB,CC1的中点N,H,P,则所有点M形成的图形是正六边形EHFPGN.因为EN=12+122=22,所以该正六边形的周长为6EN=32.5. 解析 (1)AM=AB+BM=AB+2312(BC+BD)=AB+13(BC+BD)=AB+13(AC-A
16、B+AD-AB)=13(AB+AC+AD).(2)设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA+AG=BA+34AM=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=-a+13b+13c=43BG,所以BNBG.又BNBG=B,所以B,G,N三点共线.6. 解析 因为PH=12HC,所以PH=12HC=13PC.又点G在AH上,AG=mAH,所以AG=mAH=m(AP+PH)=m(AP+13PC)=mAP+13(PA+AB+BC)=m(23AP+13AB+13AD)=2m3AP+m3AB+m3AD,因为B,G,P,D四点共面,且AB,AD,AP不共面,所以2m3+m3+m3=1,解得m=34.
