1、 7 7. .3.23.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 1 1. .离散型随机变量的均值：离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X X x x1 1 x x2 2 x xn n P P p p1 1 p p2 2 p pn n 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X X的均值或数学期望，数学期望简称期望的均值或数学期望，数学期望简称期望. . ()() ，E aXbaE Xb2 2. .均值的性质：均值的性质： 3.3.随机变量随机变量X X服从两
2、点分布，则有服从两点分布，则有 ()0 (1)1.E Xppp 温温故知新：故知新： 某人射击某人射击1010次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1 1，1 1，1 1，1 1，2 2，2 2，2 2，3 3，3 3，4 4；则所得的；则所得的平均环数平均环数是多少？是多少？ 104332221111 X21014102310321041 X 1 2 3 4 P 104103102101某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多少？是多少？ 1)24()23()23()22()22()22()2
3、1 ()21()21 ()21(10122222222222 s)()()(122212xxxxxxnsni 加权平均加权平均 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 222224321s(1 2)(22)(32)(42)10101010 1.1.离散型随机变量取值的方差：离散型随机变量取值的方差： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为： nniipEXxpEXxpEXxDX22121)()()( 则称则称 为为随机变量随机变量X的方差的方差。 niiipEXx12)(P1xix2x 1p2pip nxnpX称称 D
4、XX 为随机变量为随机变量X的标准差。的标准差。 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。 问题：问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. . 根据以往的成绩记根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X X和和Y Y的分布列如下表所示的分布列如下表所示. . 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平分
5、别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. . X X 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 P P 0.090.09 0.240.24 0.320.32 0.280.28 0.070.07 Y Y 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 P P 0.070.07 0.220.22 0.380.38 0.300.30 0.030.03 解：解： ()8E X ，( )8E Y . .随机变量随机变量Y Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. . ()4 0.091 0.240 0.321 0.284 0.07D X 1.1
6、6. ( )4 0.071 0.220 0.381 0.304 0.03D Y 0.92. ( )()D YD X ，例例5 5：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X X的方差的方差 解：随机变量解：随机变量X X的分布列为的分布列为 1()1 2 3 4 5 6.6P Xkk, , , , , , , , ,2221122nnD(X)(xE(X) p(xE(X) p(xE(X) p方方差差：17()(123456)62E X 2222227777771()(1)(2)(3)(4)(5)(6) 2222226D X 352591192512146 在方差的
7、计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. . 22211()()() .nniiiiiiD XxE Xpx pE X证明：证明： 21()()niiiD XxE Xp 221(2 ()( ) )niiiixE X xE xp 221112 ()( )nnniiiiiiiix pE Xx pE xp2212()()( )1niiix pE XE XE x 221( ) .niiix pE x 2 2. .方差的性质方差的性质 探究：探究：离散型随机变量离散型随机变量X X加上一个常数加上一个常数，方差会有怎样的变化，方差会有怎样的变化? ?
8、离散型随机离散型随机变量变量X X乘以一个常数乘以一个常数，方差又有怎样的变化，方差又有怎样的变化? ? 它们和期望的性质有什么不同它们和期望的性质有什么不同? ? ()()()().E XbE Xb E aXaE X, ,21()()()niiiD XbxbE Xbp 21()().niiixE XpD X 21()()niiiD aXaxE aXp 2221()().niiiaxE Xpa D X 2()().D aXba D X均值的性质：均值的性质： ()().E aXbaE Xb方差的性质：方差的性质： 2()().D aXba D X() |() |().aXbaD XaX解：解：
9、 1.1.已知随机变量已知随机变量X X的分布列为的分布列为 X X 1 1 2 2 3 3 4 4 P P 0.20.2 0.30.3 0.40.4 0.10.1 求求D(X)D(X)和和(2X(2X7).7). ()1 0.22 0.33 0.44 0.12.4.E X 22222()(10.220.330.440.1)2.40.84.D X 或或2222()(12.4)0.2(22.4)0.3(32.4)0.4(42.4)0.10.84D X2 21(27)2()1.833.5XD X 请看课本请看课本P70P70：练习：练习1 1 2221122nnD(X)(xE(X) p(xE(X)
10、 p(xE(X) p方方差差：(aXb) |a|D(X) |a| (X)例例6 6：投资投资A A，B B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. . 解：解： 股票股票A A收益的分布列收益的分布列 股票股票B B收益的分布列收益的分布列 收益收益X /X /元元 1 1 0 0 2 2 概率概率 0.10.1 0.30.3 0.60.6 收益收益Y /Y /元元 0 0 1 1 2 2 概率概率 0.30.3 0.40.4 0.30.3 (1)(1)投资哪种股票的期望收益大投资哪种股票的期望收益大? (2) ? (2) 投资哪种股票的风险较高投资哪
11、种股票的风险较高? ? (1)()1 0.10 0.32 0.61.1E X . .( )0 0.31 0.42 0.31E Y . .E(X)E(Y)E(X)E(Y)， 投资股票投资股票A A的期望收益较大的期望收益较大. . 2222(2)()( 1)0.100.320.61.11.29.D X 2222( )00.310.420.310.6.D Y D(X)D(Y)D(X)D(Y)， 投资股票投资股票A A的风险较高的风险较高. . n22iii 1D(X)x p(E(X) 方方差差：3.3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其
12、误差X X和和Y(Y(单位单位:cm):cm)的分布列如下的分布列如下: : 解：解： 甲班的目测误差分布列甲班的目测误差分布列 X X 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 P P 0.10.1 0.20.2 0.40.4 0.20.2 0.10.1 先直观判断先直观判断X X和和Y Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算的分布哪一个离散程度大，再分别计算X X和和Y Y的方差，验证的方差，验证你的判断你的判断. . ()( )0E XE Y ，乙班的目测误差分布列乙班的目测误差分布列 Y Y 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 P P 0.050.05 0.150.15 0.60.6
13、0.150.15 0.050.05 直观的观察可判断直观的观察可判断X X的离散程度较大，下面用方差验证的离散程度较大，下面用方差验证. . 222222()( 2)0.1( 1)0.200.410.220.101.2D X ，D(X)D(Y)D(X)D(Y)， X X的分布离散程度较大的分布离散程度较大. . 222222( )( 2)0.05( 1)0.1500.610.1520.0500.7D Y . . 请看课本请看课本P70P70：练习：练习3 3 1 1. .离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差： 2D(aXb)a D(X)2 2. .方差与标准差的性质：方差与标准差的性质：
14、 222112niini21n2(xE(X) p(xE(X)D(X)(pxE(X(xE) p(X) p 为随机变量为随机变量X X的的标准差标准差，记为，记为(X).(X). ()D X 课堂小结：课堂小结： 222211n22iin12i2nD(X)x p(E(X)(x px px p )(E(X) 2(aXb)D(aXb)a D(X)|a|D(X)|a| (X)方差或标准差方差或标准差越小越小，随机变量的取值，随机变量的取值越集中越集中；方差或标准差；方差或标准差越大越大，随机，随机变量的取值变量的取值越分散越分散. . 学以致用：学以致用： 1.1.已知随机变量已知随机变量X X的分布列
15、的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求求DXDX和和XX 21 . 042 . 034 . 022 . 011 . 00 EX解：解： 2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222 DX095. 12 . 1 DXX 2.2.若随机变量若随机变量X X满足满足P P（X Xc c）1 1，其中，其中c c为常数，求为常数，求EXEX和和DXDX 解：解： X X c c P P 1 1 离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为： EXEXc c1 1c c DXDX（c cc c）2 21 10
16、 0 学以致用：学以致用： 3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数期数 的分布列为：的分布列为： 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为期付款，其利润为200元，分元，分2期或期或3期期付款，其利润为付款，其利润为250元，分元，分4期或期或5期付款，其利润为期付款，其利润为300元，元， 表表示经销一件该商品的利润。示经销一件该商品的利润。 （1）求事件）求事件A：”购买该商品的：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用位顾
17、客中，至少有一位采用1期付期付款”款” 的概率的概率P(A)； （2）求）求 的分布列及期望的分布列及期望E 。 学以致用：学以致用： 4.为选拔奥运会射击选手为选拔奥运会射击选手，对甲对甲、乙两名射手进行选拔测试乙两名射手进行选拔测试已知已知甲甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环环，且甲射且甲射中中10,9,8,7环的概率分别为环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中乙射中10,9,8环的概率环的概率分别为分别为0.3,0.3,
18、0.2. (1)求求，的分布列；的分布列； (2)求求，的均值与方差的均值与方差，并以此比较甲并以此比较甲、乙的射击技术并从中选乙的射击技术并从中选拔一人拔一人 学以致用：学以致用： 解：(1)依据题意知，0.53aa0.11， 解得 a0.1. 乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， 乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. ， 的分布列分别为 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合结合(1)中中，的分布列的分布列，可得可得 E()100.590.380.170.19.2， E()100.390.380.270.28.7， D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96， D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高说明甲平均射中的环数比乙高 又又D()D()，说明甲射中的环数比乙集中说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定比较稳定 甲的射击技术好甲的射击技术好，选择甲选择甲
