1、7.4.1 7.4.1 二项分布二项分布 俺投篮，也是俺投篮，也是讲概率滴！讲概率滴！ 创设情境 Ohhhh，进球拉！，进球拉！ 第一投，我要努力！第一投，我要努力！ 又进了，不愧是又进了，不愧是姚明啊！姚明啊！ 第二投，动作要注意！第二投，动作要注意！ 这都进了！这都进了！ 太离谱了！太离谱了！ 第三投，厉害了啊！第三投，厉害了啊！ 第四投，大灌蓝哦！第四投，大灌蓝哦！ 姚明作为中锋姚明作为中锋, 他职业生涯的罚球命中率约为他职业生涯的罚球命中率约为0.8, 假设他每次命中率假设他每次命中率相同相同, 并且每次投篮都是独立的并且每次投篮都是独立的, 请问他一场比赛请问他一场比赛10罚罚6中的
2、概率是多少中的概率是多少? 创设情境 思考：思考：下列一次一次随机试验的共同点是什么？ (1)掷一枚硬币; (2)检验一件产品; (3)飞碟射击; (4)医学检验. 正面朝上；反面朝上 合格；不合格 中靶；脱靶 阴性；阳性 只包含两个结果 探究新知 我们将一个伯努利试验我们将一个伯努利试验独立地重复进行独立地重复进行n次次所组成的随机试验称为所组成的随机试验称为n重伯努利试验重伯努利试验. 显然，显然，n重伯努利试验具有如下共同特征重伯努利试验具有如下共同特征: (1) 同一个伯努利试验同一个伯努利试验重复做重复做n次次； (2) 各次试验的结果各次试验的结果相互独立相互独立. 我们把我们把只
3、包含两个可能结果只包含两个可能结果的试验叫做的试验叫做伯努利试验伯努利试验(Bernoulli trials). “重复“重复”意味着各”意味着各次试验的概率相同次试验的概率相同 思考思考：下面：下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验? 如果是，那么其中的如果是，那么其中的伯努利试验是什么伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么，那么A的概率是多大的概率是多大? 重复试验的次数是多少重复试验的次数是多少? (1) 抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次. (2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞
4、碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次. (3) 一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件. 探究新知 随机试验 是否为n重伯努利试验 P(A) 重复试验的次数 (1) (2) (3) 是是 是是 是是 0.5 0.8 0.05 10 3 20 探究新知 追问追问: (1)伯努利试验与伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？重伯努利试验有何不同？ (2)在在伯努利试验中，我们关注什么？在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验重伯努利试验中呢？中呢？ (1) 伯努利试验伯努利试验做一次做一次试验试验, n重伯努利试验重伯努利试验
5、做做n次试验次试验. (2)在在伯努利试验伯努利试验中中, 我们关注我们关注某个事件某个事件A是是否发生否发生; 在在n重伯努利试重伯努利试验验中中, 我们关注我们关注事件事件A发生的次数发生的次数X . 1A1A2A2A2A2A3A3A3A3A3A3A3A3A0.80.80.80.80.80.80.80.20.20.20.20.20.20.2试验结果 123A A A123A A A123A A A123A A A123A A A123A A A123A A A123A A AX的值 32212110探究新知 探究：探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8
6、. 连续连续3次射击，中靶次数次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的的概率分布列是怎样的? 用用Ai表示表示“第第i次射击中靶次射击中靶”(i1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：，用下图的树状图表示试验的可能结果： 探究新知 由分步乘法计数原理，由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有次独立重复试验共有23=8种可能结果，种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的个相互独立事件的积积. 由概率的加法公式和乘法公式得由概率的加法公式和乘法公式得 3123(0)()0.2P XP A A A2123123123(1)()()()3 0.8 0
7、.2P XP A A AP A A AP A A A2123123123(2)()()()3 0.80.2P XP A A AP A A AP A A A3123(3)()0.8P XP A A A思考：思考：可以利用组合数来简化表示吗？可以利用组合数来简化表示吗？ 探究新知 为了简化表示，每次射击为了简化表示，每次射击用用1表示中靶表示中靶，用用0表示脱靶表示脱靶，那么，那么3次射击恰次射击恰好好2次中靶的所有可能结果可表示为次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概，这三个结果发生的概率都相等，均为率都相等，均为0.82 0.2，并且与哪两次中靶无关，并且与哪两
8、次中靶无关. 同理可求中靶同理可求中靶0次、次、1次、次、3次的概率次的概率. .22130 80 2C因此，因此，3次射击恰好次射击恰好2次中靶的概率为次中靶的概率为 . 1231231232213(2)()()()0.80.2P XP A A AP A A AP A A AC即即 1033230(0)()0.80.2P XP A A AC 1303233(3)()0.80.2P XP A A AC 于是，中靶次数于是，中靶次数X的分布列可表示为的分布列可表示为 33()0.80.20 1 2 3.kkkP XkCk , , , , ,P XP A A AP A A AP AACA12311
9、21323123(1)()()0.80(.2) 连续射击连续射击4次，中靶次数次，中靶次数X2的结果有的结果有 00444(0)0.80.20.2P XC中靶次数中靶次数X的分布列为的分布列为 思考：思考：如果连续射击如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于等于2的的结果有哪些结果有哪些? 写出中靶次数写出中靶次数X的分布列的分布列. 123412341234123412341234A A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A A，,11334(1)0.80.24 0.8 0.2P XC222224(2)0.80.
10、26 0.80.2P XC33134(3)0.80.24 0.80.2P XC44044(4)0.80.20.8P XC我们把上面这种分布称为我们把上面这种分布称为二项分布二项分布. 探究新知 一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p (0pp1，所以，所以5局局3胜制对甲有利胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利强者越有利. 典例分析 解解2：若采用若采用3局局2胜制，不妨设赛满胜制，不妨设赛满3局，用局，用X表示表示3局比赛中甲胜的局数，局比赛中甲胜的局数，则则XB(3
11、, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为，所以甲最终获胜的概率为 pP XP XC22313(2)(3)0.60.40.60.648同理，若采用同理，若采用5局局3胜制，则胜制，则XB(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为，所以甲最终获胜的概率为 pP XP XP X2(3)(4)(5)CC332445550.60.40.60.40.60.68256 例例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙，乙获胜的概率为获胜的概率为0.4，那么采用，那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?
12、典例分析 思考思考: 为什么假定赛满为什么假定赛满3局或局或5局，不影响甲最终获胜的概率局，不影响甲最终获胜的概率? 采用采用3局局2胜制赛满胜制赛满3局时局时, 若前若前2局获胜局获胜, 那第那第3局的胜负并不影响甲获胜局的胜负并不影响甲获胜; 同样同样, 采用采用5局局3胜制赛满胜制赛满5局局, 若前若前3局获胜局获胜, 那后那后2局的胜负并不影响甲获胜局的胜负并不影响甲获胜, 若前若前4局胜局胜3局局, 那第那第5局的胜负也不影响甲获胜局的胜负也不影响甲获胜. 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确明确伯努利试验伯努利试验及及事件事件
13、A的意义的意义，确定事件，确定事件A发生的发生的概率概率p； (2) 确定重复试验的确定重复试验的次数次数n，并判断各次试验的，并判断各次试验的独立性独立性； (3) 设设X为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的发生的次数次数，则，则XB(n, p). 方法总结 探究探究: 假设随机变量假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n, p), 那么那么X的均值和方差各是什么的均值和方差各是什么? 我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上正面朝上”的概率为的概率为0.5，如果掷，如果掷100次硬币，期望有次硬币，期望有100 0.550次正面朝
14、上次正面朝上. (1)当当n1时时, X分布列为分布列为 P(X0)1p, P(X1)p, 则有则有 E(X) 0 (1p)+ 1 pp D(X) 02 (1p)+ 12 pp2 p(1p) (2)当当n2时时, X分布列为分布列为 P(X0)(1p)2, P(X1)2p(1p), P(X2)p2 E(X)0 (1p)21 2p(1p)2 p2 2p D(X) 02 (1p)212 2p(1p)22 p2(2p)22p(1p) 由此可猜想由此可猜想, 若若XB(n, p), 则有则有 ()E Xnp ，()(1).D Xnpp探究新知 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量根据均值的含义，
15、对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想我们猜想E(X)np. 若若XB(n, p)，则有，则有 ()()(1).E Xnp D Xnpp, ,二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差： 下面对均值进行证明下面对均值进行证明. nkkn knkE XkC pp0()(1) 证明：证明： nnkkn knkppCpp1111101(1)(1) XB n pX()由由,可可得得 的的概概率率分分布布列列为为kkn knP XkC ppkn()(1)1,2, ，nkkn knknCpp111(1) nkkn knknpCpp1111(1) E Xnp() 探究新知 1.一个袋子里装有大小相同的一个
16、袋子里装有大小相同的3个红球和个红球和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，次，则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是 ，方差为，方差为_. 巩固练习 365 2. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，次，X表示“正面朝上”出现的次数表示“正面朝上”出现的次数. (1) 求求X的分布列；的分布列； (2) E(X)_，D(X)_. 44()0.50 1 2 3 4.kP XkCk, , , , , , ,21解：解： 3. 鸡接种一种疫苗后鸡接种一种疫苗后, 有有80%不会感染某种病毒不会感染某种病毒. 如果如果5只鸡接种了疫苗只鸡接种了疫
17、苗, 求求: (1) 没有鸡感染病毒的概率；没有鸡感染病毒的概率； (2) 恰好有恰好有1只鸡感染病毒的概率只鸡感染病毒的概率. XXB5 (5 0.2).设设 只只接接种种疫疫苗苗的的鸡鸡中中感感染染病病毒毒的的只只数数为为, ,则则, ,(1)没没有有鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为P X5(0)0.80.32768(2)1恰恰好好有有 只只鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为P XC145(1)0.2 0.80.4096巩固练习 解：解： 4. 判断下列表述正确与否，并说明理由判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数道四选一的单选
18、题，随机猜结果，猜对答案的题目数XB(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数件，其中的次品数YB(6, 0.1). 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数故猜对答案的题目数X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(4, 0.25). (1) 正确正确. 理由如下：理由如下： 每次抽到次品的概率为每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二
19、项分布的条件抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2) 错误错误. 理由如下：理由如下： 巩固练习 解：解： 5.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求次，求: (1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率；其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2) 其中恰有其中恰有3次击中目标的概率；次击中目标的概率； (3) 其中恰有其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. (1)所所
20、求求概概率率为为p33333108(1)(1)555553125XXB(2)(5 0.6).由由题题意意知知, ,击击中中目目标标次次数数 服服从从二二项项分分布布, ,即即, ,(3)所所求求概概率率为为pC132333324( )(1)553125巩固练习 P XC332532216(3)( )( )556253则则恰恰有有 次次击击中中目目标标的的概概率率为为1. 二项分布：二项分布： 一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p (0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的次数，则X的分布列为的分布列为 ()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn , , , , , , ,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项二项分布分布， 记作记作X B(n，p). 若若XB(n, p)，则有，则有 ()()(1).E Xnp D Xnpp, ,2. 二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差： 课堂小结
