1、7.3.2 7.3.2 离散型随机变离散型随机变量的方差量的方差 1. 离散型随机变量的均值：离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望， 数学期望简称数学期望简称期望期望. . ()().E aXbaE Xb2. 均值的性质：均值的性质： 3. 随机变量随机变量X服从两点分布，则有服从两点分布，则有 ()0 (1)1.E Xppp 复习引入 问题问题2 从
2、两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和和Y的分布列如下表所示的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， ()8E X ，( )8E Y . .由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均
3、值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 问题探究 为了能直观分析甲乙两名击中环数的为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度离散程度，下面我们分别作出，下面我们分别作出X和和Y的的概率分布图概率分布图. 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X 0 6 7 10 9 8 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于更集中于8环环，即，即乙同学的乙同学的射击成绩更稳定射击成绩更稳定. 思考：思考：怎样怎样定量定量刻画离散型随机变量取值的刻画离散型随机变量取值的离散程度离散程度? 问题探究
4、我们知道，我们知道，样本方差样本方差可以度量一组样本数据的可以度量一组样本数据的离散程度离散程度，它是通过计算，它是通过计算所有数据与样本均值的所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用能否来实现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的用可能取值与均值的“偏差平方的平均值偏差平方的平均值”来来度量随机变量的离散程度度量随机变量的离散程度. X x1 x2 xn P p1 p2 pn 探究新知 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列如下表所示的分布列如下表所示. 随机变量随机变量X所有可能取值所有可能取值xi与与E(X)的偏差的平方为的偏差的平方为 (x
5、1E(X)2， (x2E(X)2 ， ，(xnE(X)2. 所以偏差平方的平均值为所以偏差平方的平均值为 我们把随机变量我们把随机变量X的的这个平均值这个平均值称为随机变量称为随机变量X的的方差方差，用，用D(X)表示表示. (x1E(X)2p1(x2E(X)2 p2 (xnE(X)2pn . 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示的分布列如下表所示. X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称则称 222112221()()()()()nnniiiD XxE XpxE XpxE XpxE Xp 离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差： 为随机变量为随机
6、变量X的的方差方差， 有时也记为有时也记为Var(X)，并称，并称 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差，记为，记为(X). ()D X概念形成 随机变量的随机变量的方差和标准差方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的都可以度量随机变量取值与其均值的偏离偏离程度程度，反映了随机变量取值的，反映了随机变量取值的离散程度离散程度. 方差或标准差方差或标准差越小越小，随机变量，随机变量的取值的取值越集中越集中；方差或标准差；方差或标准差越大越大，随机变量的取值，随机变量的取值越分散越分散. 问题问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往
7、的成绩根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和和Y的分布列如下表所示的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 问题探究 解：解： ()8( )8E XE Y，随机变量随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. D X22222()(68)0.09(78)0.24(88)0.32 (98)
8、0.21.168(108)0.07 D Y22222( )(68)0.07(78)0.22(88)0.38 (98)0.30(100.8)0.0392 D XD Y()( ) 例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差的方差. 解：解：随机变量随机变量X的分布列为的分布列为 1()1 2 3 4 5 66P Xkk, , , , , , , , ,17()(123456)62E X 2222227777771()(1)(2)(3)(4)(5)(6) 2222226D X 352591192512146 典例分析 在方差的计算中，为了使运算简化，还可
9、以用下面的结论在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 22()()()D XE XE X证明：证明： 21()()niiiD XxE Xp 221(2 ()() )niiiixE X xE Xp 221112 ()()nnniiiiiiiix pE Xx pE Xp2212()()()1niiix pE XE XE X 221()niiix pE X 22()()E XE X探究新知 解解2：随机变量随机变量X的分布列为的分布列为 1()1 2 3 4 5 66P Xkk, , , , , , , , ,17()(123456)62E X 22()()()D XE XE X291
10、735( )6212例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差的方差. 典例分析 2222222191()(123456 )66E X说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-E(X)2不失为一种比较实用的方法 方差的性质：方差的性质： 探究：探究：离散型随机变量离散型随机变量X加上一个常数加上一个常数方差会有怎样的变化方差会有怎样的变化? 离散型随机变离散型随机变量量X乘以一个常数乘以一个常数, 方差又有怎样的变化方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同它们和期望的性质有
11、什么不同? ()()()()E XbE Xb E aXaE X, ,21()()(niiixbpDXXEbb 21()()niiixE XpD X 21()niiiaxE aXapDX 1222()()niiiaxE Xpa D X 探究新知 2()()D aXba D X一般地，可以证明下面的结论成立：一般地，可以证明下面的结论成立： () |()|()aXbaD XaX解：解： 1. 已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求求D(X)和和(2X7). ()1 0.22 0.33 0.44 0.12.4E X 22222()(
12、10.220.330.440.1)2.40.84D X 或或2222()(12.4)0.2(22.4)0.3(32.4)0.4(42.4)0.10.84D X 2 21(27)2()1.8335XD X 小试牛刀 例例2 投资投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票股票A收益的分布列收益的分布列 股票股票B收益的分布列收益的分布列 收益收益X /元元 1 0 2 概率概率 0.1 0.3 0.6 收益收益Y /元元 0 1 2 概率概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种
13、股票的风险较高投资哪种股票的风险较高? 典例分析 解：解： (1)()1 0.10 0.32 0.61.1E X ( )0 0.31 0.42 0.31E Y E(X)E(Y) 投资股票投资股票A的期望收益较大的期望收益较大 2222(2)()( 1)0.100.320.61.11.29D X 2222( )00.310.420.310.6D Y D(X)D(Y) 投资股票投资股票A的风险较高的风险较高 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释. 例如，如果随机变量是某项技能的
14、测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等. 1.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和和Y(单位单位: cm)的分布列如下的分布列如下: 甲班的目测误差分布列甲班的目测误差分布列 X 2 1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断先直观判断X和和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和和Y的方差，的方差，验证你的判断验证你的判断.
15、 ()( )0E XE Y乙班的目测误差分布列乙班的目测误差分布列 Y 2 1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 解：解：直观的观察可判断直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证的离散程度较大，下面用方差验证. 222222()( 2)0.1( 1)0.200.410.220.101.2D X D(X)D(Y) X的分布离散程度较大的分布离散程度较大 222222( )( 2)0.05( 1)0.1500.610.1520.0500.7D Y 巩固练习 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息: 解：
16、解：据已知分布列可得据已知分布列可得 甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X /元元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X /元元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙
17、单位如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位. ()( )1400E XE YD X2222()2000.400.32000.24000.140000()( )()( )E XE YD XD Y, ,巩固练习 D X2222()4000.400.34000.28000.11600001. 离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， 2()().D aXba D X3. 方差的性质：方差的性质： 则称则称 22211222221()()()()()= ()()nnniiiD XxE XpxE XpxE XpxE XpE XE X 为随机变量为随机变量X的的方差方差，并称，并称 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差，记为，记为(X). ()D X()(1,2,3, ).iiP Xxp in课堂小结 2. 方差的计算公式：方差的计算公式： 22()() ()D XE XE X
