1、6.3 二项式定理二项式定理 6.3.1 二项式定理二项式定理 2. 组合数公式：组合数公式： 1. 排列数公式：排列数公式： 其中其中m，nN* 且且 mn，规定，规定 3. 组合数性质：组合数性质： 复习巩固：复习巩固： !(1)(2)(1)()!mnnAn nnnmnm (1)(2)(1)!()!mnn nnnmnAmmnm 00!11.nC，(1)mn mnnCC ；11(2).mmmnnnCCC (ab)2a22abb2 (ab)3a33a2b3ab2b3 (ab)4_ (ab)n_ 探究探究 我们知道，我们知道， (ab)2a22abb2， (ab)3a33a2b3ab2b3. (
2、1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出根据你发现的规律，你能写出(ab)4的展开式吗的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出进一步地，你能写出(ab)n的展开式吗的展开式吗? 02122222C aC abC b；031222333333C aC a bC abC b；a44a3b6a2b24ab3b4 0413222334444444C aC a bC a bC abC b；011222.nnnkn kknnnnnnnC aC abC abC abC b二项式定理：二项式定理： 此公式叫做此
3、公式叫做通项公式通项公式. 011222*().N .nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn 上述公式叫做上述公式叫做二项式定理二项式定理，右边的多项式叫做，右边的多项式叫做(ab)n的的二项展开式，二项展开式， 它一共有它一共有 n1 项，项，其中各项的系数其中各项的系数 叫做叫做二项式系数二项式系数. . 二项展开式中的二项展开式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，通项，用用 来表示，即通项来表示，即通项为展开式为展开式第第k1项项，即，即 (0,1,2, )knCknkn kknC ab 1kT 1.kn kkknTC ab 1. 系数规律：系
4、数规律： 2. 指数规律：指数规律： (1)各项的次数均为各项的次数均为n； (2)各项里各项里a的指数由的指数由n降到降到0，b的指数由的指数由0升到升到n. 3. 项数规律：项数规律： 两项和的两项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项 . 4. 通项公式通项公式: 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些它在求展开式的某些特定项特定项、特定项系数特定项系数、以及数、式的整除方面有广、以及数、式的整除方面有广泛应用泛应用 . 定理的特征：定理的特征： 012.nnnnnCCCC, ,
5、 ,1.(01 2)kn kkknTC abkn , , , , ,二项式定理：二项式定理： 011222*().N .nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn注意：注意： (1) 展开式的第展开式的第k+1项项(通项通项)为为 其中其中 叫做叫做二项式二项式系数，系数，它与它与第第k+1项的系数项的系数是两个不同的概念是两个不同的概念 . knC1Ckn kkknTab ， (2) 它可表示二项展开式中的任意项，只要它可表示二项展开式中的任意项，只要n与与k确确定，该项也随即确定；定，该项也随即确定； 1kn kkknTC ab (3) 表示的是表示的是第第
6、k+1项项，而，而不是第不是第k项；项； 1kn kkknTC ab (4) 中中a, b的位置不能颠倒的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为且它们指数和一定为 n. 1kn kkknTC ab (5) 二项式定理对任意的数二项式定理对任意的数a, b都成立，若设都成立，若设a1, bx，则有，则有 0122(1).nkknnnnnnnxCC xC xC xC x011222*().N .nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn61()xx 例例1 求求 的展开式的展开式 . 解：解：根据二项式定理根据二项式定理，可得可得 61 6061512423334245
7、56666666661()()xxxxC xC x xC x xC x xC x xC xxC x 64224661520156.xxxxxx 解：解： 51.().pq 写写出出的的展展开开式式505142323234455555555().pqC pC p qC p qC p qC pqC q课本课本31页练习页练习 762(1)(12 )41(2)(2)xxxx 求求的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数；求求的的展展开开式式中中的的系系数数. .例例2 解：解：(1) 由通项公式由通项公式，可得可得 33343 17(2 )280.TTCxx 7(12 )4280.x 的的展展开开
8、式式的的第第 项项的的系系数数是是(2) 由通项公式由通项公式，可得可得 6631661(2)()( 1) 2.kkkkkkkkTCxC xx 321.kk设设, ,解解得得2516( 1)2192.xC 的的系系数数是是 解：解： 62.(23 )3.ab 求求的的展展开开式式的的第第 项项由通项公式由通项公式，可得可得 2424232 16(2 ) (3 )2160.TTCaba b 642(23 )32160.aba b 的的展展开开式式的的第第 项项是是课本课本P31 解：解： 3313.()1.2nxrx写写出出的的展展开开式式的的第第项项由通项公式由通项公式，可得可得 233131
9、( 1)()().22nrrrn rrrrnnrTCxC xx 23331( 1)()1.22nrrnrnrxrC xx 的的展展开开式式的的第第项项是是课本课本P31 解：解： 106655101010104. (1)6.( )( )( )()xA CBCC CDC 的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数是是()()由通项公式由通项公式，可得可得 5555561010( 1).TC xC x 10510(1)6.xC的的展展开开式式的的第第 项项的的系系数数是是课本课本P31 解：解： 45.(1)(2)(3)(4)(5).xxxxxx在在的的展展开开式式中中, ,含含 的的项项的的系系
10、数数是是_ 含含x4的项是由的项是由5个括号中任意个括号中任意4个括号各取出个括号各取出1个个x，剩余，剩余1个括号取出个括号取出常数相乘得到的，故含常数相乘得到的，故含x4的项的系数是的项的系数是 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)15. 课本课本P31 解：解： rrrrxxT)1(C991 91(1) ()xx 的的展展开开式式的的通通项项是是rrrx299C)1( 9233.rr设设, ,解解得得12(2)()13410 xa 由由于于的的展展开开式式共共有有项项, ,所所以以倒倒数数第第 项项是是展展开开式式的的第第项项, ,即即99129121910CaxTT 93312Ca
11、x .22093ax (2) 展开式中的倒数第展开式中的倒数第4项为项为_ . 12)(ax 巩固训练巩固训练1 (1) 的展开式中含有的展开式中含有x3的系数是的系数是_. 9)1(xx 3339( 1)84.xC 展展开开式式中中有有含含项项的的系系数数为为巩固训练巩固训练2 求求 展开式中的常数项展开式中的常数项. 102)13(xx 解：解： 2 101101C (3)()rrrrTxx 展展开开式式的的通通项项为为520102213C.rrrx 52008.2rr设设, ,解解得得 的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为 102)13(xx 82910C3405.T 巩固训练巩固训
12、练3 求求 的展开式里有多少项有理项的展开式里有多少项有理项？ 1003()xy 解：解： 10031100C()()rrrrTxy 5032100Crrrxy 对于一切有理项，对于一切有理项， 、 必为整数，必为整数， 2r3r则则 r 必是必是6的倍数的倍数. . 1000 r又又,1260， r)1(6096 n由由.17 n得得故故 展开式中的有理项有展开式中的有理项有17个个. 1003)(yx 思考：思考：在本题中若问无理项有多少个在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢如何解决呢？ 巩固训练巩固训练4 已知已知 的展开式中第的展开式中第5项的系数与第项的系数与第3项的系数之比是项的
13、系数之比是14：3，求展开式中的常数项求展开式中的常数项. nxx)1(2 解：解： 121C ()()rn rrrnTxx ,22rrnrnxC 42CC14 3nn 由由题题意意得得: ，(2)(3)14,4 33nn 即即25500105().nnnn 整整理理得得, ,解解得得或或舍舍10202.2rrr 令令, ,得得故展开式中常数项是故展开式中常数项是 2103CT .45 3 巩固训练巩固训练5 求求(x2)10(x21)的展开式中的展开式中x10的系数的系数. 变式变式 若若(a+x)(1+x)4的展开式中的展开式中x的奇次幂项的系数之和为的奇次幂项的系数之和为32，则，则a=
14、_. 解：设解：设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则，则 a1+a3+a5=32， 令令x=1，得，得 (a+1) 24=a0+a1+a2+a3+a4+a5 x=1，得，得 0=a0a1+a2a3+a4a5 得得 a1+a3+a5=8(a+1)=32， 解得解得 a=3 . 1. 二项式定理：二项式定理： 011222*().N .nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn1.kn kkknTC ab 小结：小结： 2. 通项公式：通项公式： 3. 二项式系数：二项式系数： 012.knnnnnnCCCCC, , , , ,
