1、第六章 6.2排列不组合 知识点一 排列数的定义 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 我们把从我们把从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同排列的个数排列的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示. mnA排列的第一个字母排列的第一个字母 元素总数元素总数 取出的元素数取出的元素数 m，n所满足的条件是：所满足的条件是： (1) mN*，nN* ； (2) mn . mnA 例如，前面问题例如，前面问题1是从是从3个不同元素中
2、任取个不同元素中任取2个元素的排列为个元素的排列为326 ， 可记作：可记作： 233 26.A 问题问题2是从是从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的排列数为个元素的排列数为43224 ， 可记作：可记作： 344 3 224.A 符号符号 中的中的A是英文是英文arrangement(排列排列)的第一个字母的第一个字母 mnA思考 排列与排列数相同吗？ 答案 一个排列就是完成一件事的一种方法，它丌是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数. 两者显然不同. 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 追问1: 如何求排列数 ？ 2An第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-2)
3、种 2A(1)nn n=-3A(1)(2)nn nn=-追问2: 如何求排列数 ？ 3An 可以按依次填可以按依次填2个空位得到：个空位得到： 2nA 可以按依次填可以按依次填3个空位得到：个空位得到： 3nA探究探究 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 (mn)是多少是多少? mnA 我们先从特殊情况开始探究，思考从我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排个元素的排列数列数 是多少？是多少？ 2nA3nA 又又是是多多少少？()mnAmn 进进而而归归纳纳是是多多少少？*A(1)(2)(1), ,mnn nnnmm nN
4、mn=-+危L且第1位 第2位 n 种 (n-1)种 第3位 (n-(m-1)种 第m位 (n-2)种 . 利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式: Amn 一般地，求排列数 可以按依次填m个空位来考虑： 排列数公式 的连乘形式 35_A 23_A 例如：例如： 3 26.5 4 360. 知识点二 排列数公式及全排列 排列数公式的特点：排列数公式的特点： (1). 公式中是公式中是m个连续正整数个连续正整数的连乘积；的连乘积； (2). 连乘积中最大因数为连乘积中最大因数为n，后面依次减，后面依次减1，最小因数是，最小因数是(nm1). 2. 全排列：全排列：从从n个不同素中取出
5、个不同素中取出n个元素个元素的一个排列称为的一个排列称为n个不同元素的个不同元素的一个全排列一个全排列 .（即：把（即：把n个元素个元素全部取出全部取出的一个排列）的一个排列） (1).全排列数为全排列数为: 1.排列数公式：排列数公式： *(1)(2)(1). (,N)mnAn nnnmm nmn且且(1)(2)2 1nnAn nn n ！(2).阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12 n称为称为n的阶乘的阶乘，用，用 表示表示, n！0!1. 规规定定：!nnAn 即即: 解：解： 例例1 计算：计算： 734427776244(1)(2)(3)(4).AAAAAA ；37
6、(1)7 6 5210A ；47(2)7 6 5 4840A ；77447!(3)7 6 52104!AA ；4262(4)6 5 4 3 2 16!720 .AA 737744A7!AA4!=646622AAA=典例分析 练习练习1 15 14 13 12 11 10_ .mnAnm如如果果, ,那那么么, ,22(1)1321320=1211().nAn nnnnn 解解：, ,即即, ,解解得得, ,或或舍舍去去15 6 练习练习2 2132_ .nAn已已知知, ,则则12 巩固练习 思考思考 由例由例1可以看到，可以看到， 观察这观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？两个结果，从
7、中你发现它们的共性了吗？ 6734264677626642427!6!.4!AAAAAAAAA；, ,即即.nmnnn mn mAAA (1)(2)(1)mnAn nnnm证明：证明： (1)(2)(1)()2 1()2 1n nnnmnmnm !.()!nnn mn mAnAnm !.()!mnnAnm 排列数公式排列数公式 的阶乘形式的阶乘形式 排列数公式排列数公式 的连乘形式的连乘形式 排列数公式的两种形式排列数公式的两种形式 *(1)(2)(1). (,N)mnAn nnnmm nmn且且1.排列数公式的连乘形式： 2.排列数公式的阶乘形式： mnnAnm!.()! 归纳公式 排列数公
8、式的选择排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 例例2 证明：证明： mmnnAnA11(1) ；证明证明： 11(1)!(1).()!()!mmnnnnnnAAnmnm (2) 11.mmmnnnAmAA (2) 1!()!(1)!mmnnnnAmAmnmnm (1)!(1)!nmnm nnm (1)!(1)!nnnm (1)!(1)!nnm 1.mnA 11.mmmnnnAmAA 典例分析 化简得x219x840，解得7x12， 练习 3
9、 丌等式 Ax86Ax28的解集为 A.2,8 B.2,6 C.(7,12) D.8 解析 由 Ax86Ax28，得： 又 x8，x20，所以 2x8， 由及xN*，得x8. 18(1)8(2)6(8)!8(1)8(2)8(2)!xxxxxx8!6(8)!8(2)!xx即： (1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？ 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有
10、多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法? (3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ (4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？ (6) 若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？ (5) 若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？ 有条件的排
11、列问题：有条件的排列问题： 命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题 命题角度2 定序问题 命题角度3 元素的“在”与“不在”问题 我们把这种方法称为：我们把这种方法称为： 捆绑法捆绑法. . (1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？ 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (1) 将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法；种排法； 55A而三个女孩之间有而三个女孩之间有
12、种排法种排法. 33A 不同的排法共有不同的排法共有 5353720().A A 种种解解: 说明：说明： 捆绑法一般适用于捆绑法一般适用于相邻相邻问题的处理问题的处理. 相邻问题用相邻问题用捆绑法捆绑法 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法? 解解: (2) 不同的排法有不同的排法有 235234288().A A A 种种
13、这种方法称为：这种方法称为：插空法插空法 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 解解: (3) 先把四个男孩排成一排有先把四个男孩排成一排有 种排法，这一排中有五个空档种排法，这一排中有五个空档(包括两端包括两端)，再把三个女孩插入五个空档中有，再把三个女孩插入五个空档中有 种方法，种方法， 所以共有所以共有 种排法种排法. 44A35A43451440A A 说明：说
14、明： 插空法一般适用于插空法一般适用于 问题的处理问题的处理. 互不相邻互不相邻 互不相邻问题用互不相邻问题用插空法插空法 例例3七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？ 解解: (4)不同的排法共有不同的排法共有 种种. 4343144A A B B A A (5) A在在B左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着A在在B右边的一种排法
15、，而在全右边的一种排法，而在全排列中，排列中，A在在B左边与左边与A在在B右边的排法数相等，因此不同的排法有右边的排法数相等，因此不同的排法有 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (5) 若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边小孩的左边(不一定相邻不一定相邻)，有多少种不，有多少种不同的排法？同的排法？ 解解1: 7712520.2A A B 例例3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四
16、家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (6) 若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？ 解解: (6) A, B两小孩的站法有两小孩的站法有 种，其余人的站法有种，其余人的站法有 种种. 所以不同的排法共有所以不同的排法共有 222A55A25252480 ().A A 种种例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：在09这10个数字中，因为0丌能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元
17、素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 解法1： (特殊位置法特殊位置法) 由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法. 29A1299AA99 8648?创=百位 十位 个位 19A29A典例分析 第1步，确定百位上的数字，可以从19这9个数字中取出1个，有 种取法； 19A 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为: 命题角度3 元素的“在”与“不在”问题 解法2： (特殊元素法特殊元素法)符合条件的三位数可以分成三类： 百位 十位 个位 39A0 百位 十位 个位 0 百位 十位 个
18、位 29A29A第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位, 有 种取法. 29A第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位, 有 种取法； 39A第1类, 每一位数字都丌是0的三位数, 可以从19这9个数字中取出3个, 有 种取法； 322999AAA9 879 89 8648+=创+?根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 29A例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典例分析 32109AA109 89 8648-=创-?解法3: : (间接法间接法)从09这10个数字中选取3个的排
19、列数为 310A即所求三位数的个数为 它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数 29A其中0在百位上的排列数为 例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典例分析 带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则 直接法 间接法 位置分析法 元素分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 以元素为主，优先考虑特殊元素 先丌考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部丌符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数 方法归纳 分步 先分类 后分步 练习练习4.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？ 解法
20、一解法一: (特殊元素法特殊元素法) 第一类第一类: 不选甲，则从剩下的不选甲，则从剩下的4人中选人中选3人排列，有人排列，有 种种; 34A第二类第二类: 选甲选甲,先排甲有先排甲有 种，然后从剩下的种，然后从剩下的4人中选人中选2人人排列排列有有 种，则共有种，则共有 种种; 12A24A2142AA所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法. 32144248AAA+?巩固练习 解法二解法二: (特殊位置法特殊位置法) 第一步第一步: 从其余从其余4位同学中找位同学中找1人站排头人站排头, 有有 种种; 14A第二步第二步: 剩下的剩下的4人人(含甲含甲)中找中找2人排列人排列,
21、 有有 种种; 24A所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法. 214448AA?练习练习4.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？ 巩固练习 解法三解法三: (间接法间接法) 所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法. 325448AA-=先从先从5人中选人中选3人排列人排列, 有有 种种 35A24A然后计算甲站排头有然后计算甲站排头有 种种 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种？ 解 方法一 (特殊元素法特殊元素
22、法)把元素作为研究对象. 第一类， 不含甲， 此时只需从甲以外的其他 6 名同学中选出 5 名放在 5 个位置上，有 A56种排法. 第二类，含有甲，甲不在首位，先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 名同学中选出 4 名排在没有甲的位置上，有 A46种排法.根据分步乘法计数原理，有 4A46种排法. 由分类加法计数原理知，共有 A564A462 160(种)排法. 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种？ 方法二 (特殊位置法特殊位置法)把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的 6 名同学中选
23、1 名排在首位，有 A16种方法； 第二步，从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4个位置上，有 A46种方法. 由分步乘法计数原理知，共有 A16 A462 160(种)排法. 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种？ 方法三 (间接法间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲在首位的要求， 总的可能情况有A57种， 甲在首位的情况有A46种，所以符合要求的排法有 A57A462 160(种). 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内
24、的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解 (特殊位置法特殊位置法)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 A26种方法； 第二步，从剩下的 5 名同学中选 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A26 A351 800(种)方法. 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解 (特殊位置法特殊位置法)把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的
25、 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25 A351 200(种)方法. 巩固练习 练习5 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (4) 甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解 间接法间接法. 总的可能情况有 A57种，减去甲在首位的 A46种排法，再减去乙在末位的 A46种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次， 所以还需补回一次 A35种排法，所以共有 A572A46A351 860(种)排法. 反思感
26、悟 排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题. (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列. (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中. (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数. (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决. 变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (l) 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法？ (2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法其中甲必须站在
27、中间有多少种不同排法？ (3) 其中甲其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ (4) 其中甲其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5) 其中甲其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ 解解：(1)由于没有条件限制，由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有个人可作全排列，所以不同的排法共有 (2)由于甲的位置已确定由于甲的位置已确定，其余其余4人可任意排列人可任意排列，
28、所以不同的排法有所以不同的排法有 55120 ().A 种种4424 ().A 种种解：解： 变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (l) 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法？ (2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法其中甲必须站在中间有多少种不同排法？ (3) 其中甲其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ (4) 其中甲其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5) 其中甲其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有多少
29、种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ (3) 共有共有 种排法种排法. 242448A A (4) 共有共有 种排法种排法 ； 323472A A 52452472.AA A或或种种排排法法(5) 共有共有 种排法种排法 233336A A (6)可将问题分为两类：可将问题分为两类： 甲站在排尾，其余的人可全排列，甲站在排尾，其余的人可全排列， 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列， 不同的排法共有不同的排法共有 解解1： 变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有
30、多少种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ 解解2： 44.A有有种种排排法法113333.A A A有有种种排排法法4113433378.AA A A种种甲站排头有甲站排头有 种排法，种排法， 44A乙站排尾有乙站排尾有 种排法种排法. 44A但两种情况都包含了但两种情况都包含了 “甲站排头甲站排头, 且乙站排尾且乙站排尾” 的情况，有的情况，有 种排法种排法. 33A 不同的排法有不同的排法有 种排法种排法 543543278AAA1.知识清单： (1)排列数、排列数公式. (2)全排列、阶乘、0！1. (3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题). 2.方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 3.常见误区：忽视 Amn中“n，mN*”这个条件.
