1、6.2.1 排列排列 6.2 排列与组合排列与组合 1. 分类加法计数原理：分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有一般地，如果完成一件事有两类不同方案两类不同方案，在第，在第1类方类方案中有案中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中有类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共种不同的方法，那么完成这件事共有有mn种不同的方法种不同的方法. 复习巩固：复习巩固： 2. 分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要一般地，完成一件事需要两个步骤两个步骤，做第，做第1步有步有m种不同种不同的方法，做第的方法，做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，
2、那么完成这件事共有mn种不同的方法种不同的方法. 特别地，如果完成一件事有特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m1种不同的方法，种不同的方法，在第在第2类方案中有类方案中有m2种不同的方法，种不同的方法， 在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法，那种不同的方法，那么完成这件事共有么完成这件事共有m1+m2+ +mn种不同的方法种不同的方法. 特别地，如果完成一件事需要特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方
3、法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有m1m2mn种不同的方法种不同的方法. 在上节例在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐一些重复性工作而显得烦琐. 能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢? 为此，先来分析两个具体的问题为此，先来分析两个具体的问题. 问题问题1 从甲从甲、乙乙、丙丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动名参加一项活动，其中其中1名同学参加名同学参加上午的活动上午的活动，另另1名同学参加下午的活动名同学参加下午的活动
4、，有几种不同的选法有几种不同的选法？ 由分类加法计数原理可得，不同的选法有由分类加法计数原理可得，不同的选法有 326 种，种，所有的排法如下：所有的排法如下： 如果把上面问题中被取的对象叫做如果把上面问题中被取的对象叫做元素元素 . 那么那么问题可叙述为：问题可叙述为： 从从3个不同元素个不同元素a, b, c 中任取中任取2个，然后按个，然后按一定一定顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法，共有多少种不同的排列方法 ？ 乙乙 乙乙 丙丙 甲甲 下午下午 丙丙 乙乙 甲甲 上午上午 相应的选法相应的选法 甲乙甲乙 甲丙甲丙 乙甲乙甲 乙丙乙丙 丙甲丙甲 丙乙丙乙 甲甲 丙丙 所有
5、不同排列是所有不同排列是 ab , ac , ba , bc , ca , cb . 不同的排列方法种数为不同的排列方法种数为 326 . 问题问题2 从从1, 2, 3, 4这这4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数多少个不同的三位数? 由分步乘法计数原理可得，不同的三位数有由分步乘法计数原理可得，不同的三位数有 43224 个，个，所有的三所有的三位数如下：位数如下： 1 2 3 4 3 4 2 4 2 3 由此可写出所有的三位数：由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143 213 214
6、 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 百位百位 十位十位 个位个位 2 1 3 4 3 4 1 4 1 3 3 1 2 4 2 4 1 4 1 2 4 1 2 3 2 3 1 3 1 2 同样，问题同样，问题2可以归结为可以归结为: 从从4个不同的元素个不同的元素a, b, c, d中任意取出中任意取出3个，并按照个，并按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法共有多少种不同的排列方法? 所有不同排列是所有不同排列是 不同的排列方法种数为不同的排列方法种数为 43224 . ab
7、c abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素，并按照，并按照一定的顺序一定的顺序排排成一列，叫做从成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列(arrangement). 思考思考 上述问题上述问题1, 2的共同特点是什么的共同特点是什么? 你能将它们推广到一般情形吗你能将它们推广到一般情形吗? 排列：排列： 问题问题1和问题和问题2都是研
8、究从一些不同元素中取出部分元素，并按照都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序一定的顺序排成一列的方法数排成一列的方法数. 我们把这种计数方法称为我们把这种计数方法称为排列排列. 排列的定义中包含两个基本内容：排列的定义中包含两个基本内容： 一是一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺序列按照一定顺序列” “一定顺序一定顺序”就是与就是与位置有关位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志重要标志 根据排列的定义，根据排列的定义，两个排列相同两个排列相同，当且仅当这两个排列的当且仅当这两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且元素
9、的而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同 练习练习 判断下列问题是否为排列问题：判断下列问题是否为排列问题： (1)选选 2 个小组分别去植树和个小组分别去植树和种菜；种菜； (2)选选 2 个小组种菜；个小组种菜； (3)选选 10 人组成人组成 1 个学习小组；个学习小组； (4)从从 1，2，3，4，5 中任取中任取 2 个数相除；个数相除； (5)10 个车站个车站，站与站间的车票站与站间的车票 解解：(1)植树和种菜是不同的活动植树和种菜是不同的活动，存在顺序的区别存在顺序的区别，因此是排列问题因此是排列问题 (2)(3)不存在顺序的区别不存在顺序的区别，因此不是排列问题因此
10、不是排列问题 (4)两个数相除与这两个数的顺序有关两个数相除与这两个数的顺序有关，因此是排列问题因此是排列问题 (5)车票使用时有起点和终点之分车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的故车票的使用是有顺序的，因因此是排列问题此是排列问题 例例1 某省中学生足球赛预选赛每组有某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛场，那么每组共进行多少场比赛? 分析分析: 每组任意每组任意2支队之间进行的支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组场比赛，可以看作是从该组6支队中选支队中
11、选取取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列. 解：解：可以先从这可以先从这6支队中选支队中选1支为主队，然后从剩下的支为主队，然后从剩下的5支队中选支队中选1支为客队支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6 530. 解：解：(1) 可以先从这可以先从这5盘菜中取盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取盘菜中取1盘盘给同学乙，最后从剩下的给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取盘菜中取1盘给同学丙盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为按分步乘法计数原理，不同的取
12、法种数为 5 4 360. (2) 可以先让同学甲从可以先让同学甲从5种菜中选种菜中选1种，有种，有5种选法；再让同学乙从种选法；再让同学乙从5种菜种菜中选中选1种，也有种，也有5种选法；最后让同学丙从种选法；最后让同学丙从5种菜中选种菜中选1种，同样有种，同样有5种选法种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5 5 5125. 例例2 (1) 一张餐桌上有一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取名同学每人从中各取1盘盘菜，共有多少种不同的取法菜，共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖学校食堂的一
13、个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? 例例 3 写出下列问题的所有排列：写出下列问题的所有排列： (1)从从 1，2，3，4 四个数字中任取两个数字组成两位数四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不共有多少个不同的两位数？请写出这些两位数同的两位数？请写出这些两位数 (2)四个人四个人 A，B，C，D 坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图表坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图表示出来示出来 解解：(1)画树形图如下：画树形图如下： 故所有两位数为：故所有两位数为：12, ,13, ,1
14、4, ,21, ,23, ,24, ,31, ,32, ,34, ,41, ,42, ,43. 共共 12 个个 解解：(2)先安排先安排 A 有有 4 种坐法种坐法，安排安排 B 有有 3 种坐法种坐法，安排安排 C 有有 2 种坐法种坐法，安排安排 D 有有 1 种坐法种坐法，由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理，有有 432124(种种). 画出树形图画出树形图 例例 3 写出下列问题的所有排列：写出下列问题的所有排列： (2)四个人四个人 A，B，C，D 坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图坐成一排照相有多少种坐法？将它们用树形图表示出来表示出来 1. 写出写出: (1) 用用04
15、这这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； (2) 从从a，b，c，d中取出中取出2个字母的所有排列个字母的所有排列. 解：解：(1) 10 12 13 14 20 21 23 24 30 31 32 34 40 41 42 43共共16个个. (2) ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc 共共12 个个. 2. 一位老师要给一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序场，有多少种轮流次序? 解：解：4 3 2 124 (种种). 课本课本P16 3. 学校乒乓团体比赛采用学校
16、乒乓团体比赛采用5场场3胜制胜制 (5 场单打场单打)，每支球队派，每支球队派3名运动员参名运动员参赛，前赛，前3场比赛每名运动员各出场场比赛每名运动员各出场1次，其中第次，其中第1，2位出场的运动员在后位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场场比赛中还将各出场1次次. (1) 从从5名运动员中选名运动员中选3名参加比赛，前名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况场比赛有几种出场情况? (2) 甲、乙、丙甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况. (2) 可分为三类：可分为三类： 打打3场比赛：甲乙丙场比赛：甲乙丙 甲丙乙甲丙乙 乙甲丙乙甲丙 乙丙
17、甲乙丙甲 丙甲乙丙甲乙 丙乙甲；丙乙甲； 打打4场比赛：甲乙丙甲场比赛：甲乙丙甲 甲乙丙乙甲乙丙乙 甲丙乙甲甲丙乙甲 甲丙乙丙甲丙乙丙 乙甲丙乙乙甲丙乙 乙甲丙甲乙甲丙甲 乙丙甲乙乙丙甲乙 乙丙甲丙乙丙甲丙 丙甲乙丙丙甲乙丙 丙甲乙甲丙甲乙甲 丙乙甲丙丙乙甲丙 丙乙甲乙；丙乙甲乙； 解：解：(1) 5 4 360 (种种). 课本课本P17 3. 学校乒乓团体比赛采用学校乒乓团体比赛采用5场场3胜制胜制 (5 场单打场单打)，每支球队派，每支球队派3名运动员参名运动员参赛，前赛，前3场比赛每名运动员各出场场比赛每名运动员各出场1次，其中第次，其中第1，2位出场的运动员在后位出场的运动员在后2场
18、比赛中还将各出场场比赛中还将各出场1次次. (1) 从从5名运动员中选名运动员中选3名参加比赛，前名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况场比赛有几种出场情况? (2) 甲、乙、丙甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况. 打打5场比赛：甲乙丙甲乙场比赛：甲乙丙甲乙 甲乙丙乙甲甲乙丙乙甲 甲丙乙甲丙甲丙乙甲丙 甲丙乙丙甲甲丙乙丙甲 乙甲丙乙甲乙甲丙乙甲 乙甲丙甲乙乙甲丙甲乙 乙丙甲乙丙乙丙甲乙丙 乙丙甲丙乙乙丙甲丙乙 丙甲乙丙甲丙甲乙丙甲 丙甲乙甲丙丙甲乙甲丙 丙乙甲丙乙丙乙甲丙乙 丙乙甲乙丙丙乙甲乙丙. 解：解： 课本课本P17 1从从 1，2
19、，3，4 四个数字中四个数字中，任选两个数进行加、减、乘、除运算任选两个数进行加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有其中可以看作排列问题的运算有( ) A1 种种 B2 种种 C3 种种 D4 种种 课堂检测：课堂检测： B 2信号兵有信号兵有 3 种不同颜色的旗子各种不同颜色的旗子各 1 面面，每次打出每次打出 3 面面，最多能打出最多能打出不同的信号不同的信号( ) A1 种种 B3 种种 C6 种种 D27 种种 C 3某段铁路所有车站共发行某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票种普通车票，那么这段铁路共有的车站那么这段铁路共有的车站数是数是( ) A8 B12 C16 D24 B 小结：小结： 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素，并按照，并按照一定的顺序一定的顺序排排成一列，叫做从成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列(arrangement). 1. 排列的定义：排列的定义： 注意注意排列的两个关键要素：排列的两个关键要素：元素互异，元素按顺序排列元素互异，元素按顺序排列. 2. 排列的简单计算：排列的简单计算：树状图分析、列举、分步乘法计数原理树状图分析、列举、分步乘法计数原理.
