江苏省淮安市淮安区2021年高二上期中数学试卷(含答案解析)

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资源描述

1、江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高二上期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 已知直线过点,两点,则直线的斜率为( )A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为( )A B. C. D. 3. 已知圆的一条直径的端点分别是,则该圆的方程为( )A B. C D. 4. 已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为( )A. 1B. 3C. 9D. 815. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则其顶点到渐近线的距离为( )A. B. C. D. 6. 过点作与圆相切的直线l,则直线l的方程为( )A. B. C. 或D. 或7. 已知直线和直线都过点,则过点和点的直线

2、方程是( )A. B. C. D. 8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线的方程为,则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B. 5C. D. 二、多选题(本大题共4小题,每题5分,共20分.每题全选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 下列说法错误的是( )A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B. 点关于直线的

3、对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为10. 已知双曲线C的方程为,则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的实轴长为8C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为11. 已知点P是直线上的动点,定点,则下列说法正确的是( )A. 线段PQ的长度的最小值为B. 当PQ最短时,直线PQ的方程是C. 当PQ最短时P的坐标为D. 线段PQ的长度可能是12. 已知的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于,则正确的是( )A. 当时,点的轨迹是双曲线.B. 当

4、时,点圆上运动.C. 当时,点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.D. 无论n如何变化,点运动轨迹是轴对称图形.三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13. 两条平行直线和之间的距离是_.14. 已知圆的圆心为为坐标原点,则以为直径的圆的标准方程为_.15. 若圆:与圆:()相交,则正数的取值范围为_.16. 在直角平面坐标系中,分别是双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线左、右两支分别交于点,若,则的值是_四、解答题(本大题共6小题,共70分,第17题10分,1822题均为12分)17. 已知两条直线,;求为何值时,与(1)平行;(2)垂直.18. 在下列所给的三个条件中任选

5、一个,补充在下面的问题中,并加以解答.与直线垂直;过点;与直线平行.问题:已知直线过点,且_.(1)求直线的一般式方程;(2)若直线与圆相交于点,求弦的长.19. 在平面直角坐标系中,已知三个顶点坐标分别为,经过这三个点的圆记为(1)求边的中线所在直线的一般式方程;(2)求圆的一般方程20. 已知椭圆的中心在原点,离心率为,焦点在轴上且长轴长为10过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点(1)求椭圆的标准方程;(2)若双曲线与椭圆有公共的焦点,且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,求双曲线的标准方程21. 直线与双曲线相较于,两点.(1)若,求线段长;(2)当为何值时,以为直径的圆经过坐标

6、原点?22. 已知抛物线与直线相交于两点,线段中点的横坐标为5,且抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求, 的值;(2)已知点为抛物线上一动点,点为轴上一点,求线段长最小值.江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高二上期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 已知直线过点,两点,则直线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线斜率的坐标公式,即得解【详解】设直线的斜率为,则.故选:A2. 抛物线的准线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程

7、可变为故其准线方程为故选:C3. 已知圆的一条直径的端点分别是,则该圆的方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式求出圆心,由两点间距离公式求出半径,即可得到圆的方程【详解】解:由题意可知,的中点为,又圆的半径为,故圆的方程为故选:B4. 已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为( )A. 1B. 3C. 9D. 81【答案】A【解析】【分析】根据条件,利用椭圆标准方程中长半轴长a,短半轴长b,半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为,则半焦距c=2,于是得,解得,所以的值为1.故选:A5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍,则其顶点到渐近线的距离

8、为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件求出,的大小,求出顶点坐标和渐近线方程,结合点到直线的距离公式进行求解即可【详解】由双曲线的方程得,双曲线虚轴长是实轴长的倍,可得,则双曲线的顶点为,双曲线的渐近线方程为,不妨取渐近线,即,则顶点到渐近线的距离.故选:B.6. 过点作与圆相切的直线l,则直线l的方程为( )A. B. C 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径,根据直线与圆相切,分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况,由求解.【详解】圆即为,圆心是, 当直线斜率不存在时,直线方程为,而,直线与圆相切,当直线斜率存在时,设直线方程为,圆心到直线的

9、距离为;,解得,所以直线l的方程为,综上:直线l的方程为或,故选:C7. 已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把点分别代入两直线方程,得到且,根据两个式子,即可求得所求的直线方程.【详解】因为直线和直线都过点,可得且,即点和点适合直线,所以过点和点的直线方程是.故选:A.8. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚

10、下的点处出发,河岸线所在直线的方程为,则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】设关于的对称点为,列方程求对称点坐标,再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.【详解】由关于的对称点为,所以,可得,即对称点为,又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选:D二、多选题(本大题共4小题,每题5分,共20分.每题全选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 下列说法错误的是( )A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为

11、【答案】AD【解析】【分析】A注意垂直于x轴的直线;B由对称点所在直线的斜率与斜率关系,及其中点在对称直线上判断正误;C求直线与数轴交点即可求面积;D注意直线也符合要求即可判断.【详解】A:垂直于x轴的直线不存在斜率,错误;B:由、中点为且,两点所在直线的斜率为,故与垂直,正确;C:令有,令有,所以围成的三角形的面积是,正确;D:由也过且在x轴和y轴上截距都为0,错误.故选:AD10. 已知双曲线C的方程为,则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的渐近线方程为B. 双曲线C的实轴长为8C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】

12、由双曲线方程求出,根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值,然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离,即可求解【详解】由双曲线C的方程为,得:,对于A:双曲线C的渐近线方程为,故A正确;对于B:双曲线C的实轴长为,故B正确;对于C:取焦点,则焦点到渐近线的距离,故C正确;对于D:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为,故D错误;故选:ABC.11. 已知点P是直线上的动点,定点,则下列说法正确的是( )A. 线段PQ的长度的最小值为B. 当PQ最短时,直线PQ的方程是C. 当PQ最短时P的坐标为D. 线段PQ的长度可能是【答案】AC【解析】【分析】当PQ垂直直线时

13、,PQ最短,即可判断A、D,设出P坐标,根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标,即可判断C,由两点式求出直线方程,即可判断B【详解】解:当PQ垂直直线时,PQ最短,Q到直线的距离为,故A正确;故PQ的长度范围为,故D错误;设,则,解得,故P为,故C正确;此时直线PQ的方程是,即,故B错误,故选:AC12. 已知的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于,则正确的是( )A. 当时,点的轨迹是双曲线.B. 当时,点在圆上运动.C. 当时,点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大.D. 无论n如何变化,点的运动轨迹是轴对称图形.【答案】BD【解析】【分析】设,进而根据题意得,进而依次讨

14、论各选项即可得答案.【详解】解:设,则 ,所以,整理得, 所以对于A选项,时,点的轨迹是去除了两个点的双曲线上,故A选项错误;对于B选项,当时,点的轨迹为圆,故在圆上运动,故B选项正确;对于C选项,当时,点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆,离心率为,故当时,椭圆的离心率随着的增大而减小,故C选项错误;对于D选项,由于,点的运动轨迹,对任意的点与均在,故曲线关于轴对称,点的运动轨迹为,可能为椭圆,双曲线,圆,但均为轴对称图形,故D选项正确.故选:BD三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13. 两条平行直线和之间的距离是_.【答案】#【解析】【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算.【

15、详解】,所以它们之间的距离为:.故答案为:.14. 已知圆的圆心为为坐标原点,则以为直径的圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】求出圆心的坐标和半径,即可得出圆的方程.【详解】圆心C的坐标为,则的中点坐标为,半径,所以以为直径的圆的方程为.故答案为:【点睛】本题考查了圆的标准方程,考查了运算求解能力,属于基础题目.15. 若圆:与圆:()相交,则正数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由圆心距离小于半径之和,大于半径之差的绝对值可得【详解】两圆和()相交,圆:的半径和圆心分别是1,圆:()的半径和圆心分别是,两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差,小于两个圆的半径之和,即.,正数的取值

16、范围是.故答案为:.16. 在直角平面坐标系中,分别是双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线左、右两支分别交于点,若,则的值是_【答案】#【解析】【分析】根据双曲线的定义可得,在中应用余弦定理可得,注意其符号判断c的范围,再根据直线与圆相切可得,构造方程求参数c,进而求b.【详解】由题设,又,则,在中,则,即,又直线与相切,则,综上,解得,而,则,所以,可得.故答案为:.【点睛】关键点点睛:注意应用余弦定理求关于椭圆参数的表达式,再由直线与圆的相切关系得到另一个关于椭圆参数的表达式,联立求参数.四、解答题(本大题共6小题,共70分,第17题10分,1822题均为12分)17. 已知两条直

17、线,;求为何值时,与(1)平行;(2)垂直.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据两直线平行可得出关于实数的等式,求出的值,并代入两直线方程检验即可得解;(2)根据两直线垂直可得出关于实数的等式,即可解出的值.【详解】(1)因为,可得,即,解得或,当时,直线的方程为,直线的方程为,两直线重合,不合题意,舍去.当时,直线的方程为,直线的方程为,两直线平行,合乎题意.综上所述,;(2)因为,则,解得.18. 在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.与直线垂直;过点;与直线平行.问题:已知直线过点,且_.(1)求直线的一般式方程;(2)若直线与圆相交于点,求弦的长

18、.【答案】条件选择见解析;(1);(2)【解析】【分析】选:(1)求出直线的斜率,可求得直线的斜率,利用点斜式可求得直线的方程即可;(2)求出圆心到直线的距离,利用勾股定理可求得弦长;选:(1)根据直线上两点求出直线的斜率,利用点斜式可求得直线的方程;(2)求出圆心到直线的距离,利用勾股定理可求得弦长;选:(1)由直线平行求得直线的斜率,利用点斜式可求得直线的方程即可;(2)求出圆心到直线的距离,利用勾股定理可求得弦长.【详解】方案一选条件.(1)因为直线的斜率为,又直线与直线垂直,所以直线的斜率为,依题意,直线的方程为,即.(2)圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为,所以.方案二选条件.(1

19、)因为直线过点及,所以直线的方程为,即.(2)圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为,所以.方案三选条件.(1)因为直线的斜率为,直线与直线平行,所以直线的斜率为依题意,直线的方程为,即.(2)圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为,所以.19. 在平面直角坐标系中,已知三个顶点坐标分别为,经过这三个点的圆记为(1)求边的中线所在直线的一般式方程;(2)求圆的一般方程【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)首先利用中点坐标求出的中点的坐标,进一步利用点斜式求出直线的方程(2)直接利用圆的一般式,建立三元一次方程组,进一步解方程组求出圆的方程【小问1详解】解:(1)在平面直角坐标系中,已知三

20、个顶点坐标分别为,设的中点为所以,则所以直线的斜率,则直线的方程为:,整理成一般式为:【小问2详解】解:已知三个顶点坐标分别为,经过这三个点的圆记为,设圆的方程为:,则:解得:,所以圆的方程为20. 已知椭圆的中心在原点,离心率为,焦点在轴上且长轴长为10过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点(1)求椭圆的标准方程;(2)若双曲线与椭圆有公共的焦点,且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,求双曲线的标准方程【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设椭圆的标准方程为,根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数,从而得出椭圆的标准;(2)设双曲线的右焦点,将代入双曲线方程求得,又以为直径

21、的圆恰好过双曲线的左顶点,且,从而建立等式求出离心率,最后即得双曲线的标准方程【详解】解:(1)设椭圆的标准方程为,根据题意得,则又,椭圆的标准方程为(2)设双曲线的右焦点,将代入双曲线方程,得以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,且,即,整理得,即有又又双曲线与椭圆有公共的焦点,双曲线的标准方程为21 直线与双曲线相较于,两点.(1)若,求线段长;(2)当为何值时,以为直径的圆经过坐标原点?【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)联立直线与双曲线可得,应用韦达定理及弦长公式即可求线段长;(2)联立直线与双曲线可得,注意由判别式求a的范围,应用韦达定理求、关于参数a的表达式,再由为直径的圆

22、经过坐标原点,推出,即可求出参数a.【小问1详解】由题设,联立双曲线并整理得:,所以,则,所以.【小问2详解】联立直线与双曲线得:,整理有,由题意,即,所以,则,若为直径的圆经过坐标原点,则,即,所以,满足要求.22. 已知抛物线与直线相交于两点,线段中点的横坐标为5,且抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求, 的值;(2)已知点为抛物线上一动点,点为轴上一点,求线段长最小值.【答案】(1); (2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由点线距离公式及中点坐标公式有,结合已知求, 的值;(2)设,利用两点距离公式有,根据二次函数的性质及抛物线的有界性,讨论、求对应线段长最小值.【小问1详解】由题设,抛物线焦点为,则,联立直线与抛物线可得:,则,综上,可得或,又,所以.【小问2详解】由(1)知:,设,所以,又,要使线段长最小,即最小即可,当,即时,则时最小值为;当,即时,则若,则,则时最小值为;若,则,则时最小值为;综上,时线段长最小值为;时线段长最小值为;【点睛】关键点点睛:第二问,利用两点距离公式构造关于m的二次函数,分类讨论函数对称轴的位置,求对应的最小值.

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