1、天津市五校2021-2022学年高三上期中联考数学试题一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1. 已知或，则（ ）A. B. C. D. 2. “”是“向量，则”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 4. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数，下列说法正确的个数为（ ）的图象的一个对称中心为的图象的一条对称轴为的单调递增区间是函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象A 1B. 2C. 3D. 46. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则A
2、 B. C. D. 7. 等差数列的前11项和，则（ ）A. 9B. 10C. 11D. 128. 已知，为锐角，则（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数，若对于任意正数，关于方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ）A. B. C. D. 无数二、填空题（本题共6小题，共30分）10. 设复数满足，则_.11. 在区间的值域是_.12. 函数的单调递增区间是_.13 平面向量，中，已知，且，则向量_.14. 已知，则的最大值是_15. 在平面四边形中，当点为边的中点时，的值为_，若点为边上的动点，则的最小值为_.三、解答题（本题共5题，共75分）16. 已知函数（1）
3、求的最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性；17. 在中，分别为内角的对边，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18. 已知数列的前n项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和19. 已知数列，为数列前n项和，若，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求20. 已知，函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上存在两个不同的极值点.求的取值范围；若当时恒有成立，求实数的取值范围.（参考数据：，）天津市五校2021-2022学年高三上期中联考数学试题一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1. 已知
4、或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算求即可.【详解】由题设，而，.故选：C2. “”是“向量，则”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】由于，即可判定【详解】由题意，因此“”是“向量，则”的充分不必要条件故选：A3. 函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除C、D，再结合排除A，即可求解.【详解】由题意得函数的定义域是关于原点对称又由，所以是偶函数，所以函数的图像关于y轴对称，故排除C、D；当时，故排除A.故选：B.4. 已知，则，的
5、大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】，故选：C.5. 已知函数，下列说法正确的个数为（ ）的图象的一个对称中心为的图象的一条对称轴为的单调递增区间是函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦函数的性质和三角函数的关系式的平移变换确定、的结论【详解】解：函数，对于，当时，故函数的图象的一个对称中心为不满足条件，故错误；对于，当时，故正确；对于，令，整理得：，所以的单调递增区间是，故正确；对于函数的图象向左平移个单位后得到，故函数为偶函数，
6、故错误；故选：6. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，故选B【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题7. 等差数列的前11项和，则（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】【分析】由是等差数列可得，解得，从而根据进行求解即可【详解】解：由是等差数列，得，解得，所以故选：8. 已知，为锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知求出，再利用差的正切公式可求.【详解】因为，为锐角，所以.所以，又，则.故选：C.9. 已知函
7、数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ）A. B. C. D. 无数【答案】B【解析】【分析】分、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.【详解】当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；当时，如下图所示：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，由题意可得，解得；若，则，如下图所示：函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，此时无解.综上所述，.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
8、（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本题共6小题，共30分）10. 设复数满足，则_.【答案】.【解析】【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简得出，即可求解.【详解】复数满足，所以，故答案：.11. 在区间的值域是_.【答案】【解析】【分析】结合诱导公式和辅助角公式化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，得解【详解】解：，因为，所以，所以，所以函数的值域为，故答案为：，1
9、2. 函数单调递增区间是_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，于是得在是单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故答案为：13. 平面向量，中，已知，且，则向量_.【答案】【解析】【分析】设，由数量积的坐标表示列出关于的一个方程，再由模得一方程，联立后可解得，得结论【详解】设，则，解得：，即故答案为：14. 已知，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，代入中，得，由（
10、当且仅当时取等号），于是有（当且仅当时取等号），因为，所以，因此有（当且仅当时取等号），（当时取等号，即时，取等号），所以有（当且仅当时取等号），即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是.故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题.15. 在平面四边形中，当点为边的中点时，的值为_，若点为边上的动点，则的最小值为_.【答案】 . . #【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，在当点为线段的中点时，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，当
11、点为线段上的动点时，设，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】因为，所以，又因为，所以，由余弦定理可得，所以，故，过点作，垂足为点，因为，所以，则，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、.当点为线段的中点时，所以，；当点为线段上的动点时，设，其中，所以，当时，.故答案为：；.三、解答题（本题共5题，共75分）16. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）讨论在区间上单调性；【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.【解析】【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公
12、式即可求得结果；（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.【详解】（1）依题意，所以.（2）依题意，令，解得，所以的单调递增区间为，.设，易知，所以当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.17. 在中，分别为内角的对边，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将，角化为边，再由余弦定理求解即可；（2）由题意先求出，再由正弦定理求出边，结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1），由正弦定
13、理得，化简得，.，；（2），.由正弦定理得，.的面积.18. 已知数列的前n项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题得，所以是以为首项，为公比的等比数列，即得解；（2）由题得，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）由，得，又，作差得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，则有；（2）由题得，所以19. 已知数列，为数列的前n项和，若，且，.（1）求数列通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）对已知条件因式分解后结合等比数列的性质
14、即可得解（2）由，可得，由，可得，即可证明是等差数列，可得（3）令，利用错位相减法即可得出【小问1详解】解：，因为，所以，又，所以是公比为2，首项为2的等比数列，【小问2详解】证明：，综上，是公差为1，首项为1的等差数列，【小问3详解】解：令，得，20. 已知，函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上存在两个不同的极值点.求的取值范围；若当时恒有成立，求实数的取值范围.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求处的切线方程即可.（2）由题意知，有两个不相等的正根，即可求的取值范围；由得到的单调区间，可知要使时，恒有成立，只需满足，而，结合的结论得，则，构造中间函数并应用导数研究单调性，确定的范围，即可比较的大小，进而求的取值范围.【详解】（1）当时，则，即所求的切线方程为.（2），设在上的极值点为，则，是方程的两正根，解得.由知：当时，所以单调递增；当时，所以单调递减；当时，所以单调递增.要使时，恒有成立，只需满足.由，则，又，.设，则.，在上单调递减，即，从而.由，得，又，得.【点睛】关键点点睛：第二问，求的解析式，将问题转化为有两个不相等的正根求参数范围；由判断的区间单调性，将问题转化为，再构造中间函数并应用导数求的范围，并比较的大小关系.
