1、江苏省南通市海安市江苏省南通市海安市 2021-2022 学年高三上期中数学学年高三上期中数学试卷试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1 设 a，bR，集合 P0，1，a，Q1，0，b，若 PQ，则 ab（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 2. 已知2i3是关于 x 的方程260()xxqqR的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A. 2i3 B. 2i3 C. 2i3 D. 2i3 3. 已知实数 a，b满足 a2b2为定值，则 ab（ ） A. 有最大值，没有最小值 B. 有最小值，没有最大值 C. 既有
2、最大值，又有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 4. “冰墩墩”是 2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有 6个盲盒小明买了一箱该款盲盒，他抽中 k(0k6，kN)个隐藏款的概率最大，则 k 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知函数 f x定义域为R，1f x为奇函数，1f x为偶函数，则（ ） A. ( 3)0f B. ( 1)0f C. (0)0f D. (3)0f 6. 已知非零向量, a b满足abab，则在下列向量中，与b垂直的是（ ） A. 12ab B. 12ab C
3、. 12ab D. 12ab 7. 在正方体111ABCDABCD中，M，N，Q分别为棱 AB，111,B B C D的中点，过点 M，N，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 8. 已知ln2,设e ,ae,be3,c其中e为自然对数的底数，则（ ） A. abc B. bac C. acb D. bca 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选
4、对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)2的图象如图所示，为得到 g(x)sinx的图象，只需将f(x)的图象上所有点（ ） A. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移512个单位 D. 向右平移512个单位 10. 已知数据 x1，x2，xn的平均数为x，标准差为 s，则（ ） A. 数据 x12，x22，xn2的平均数为x2，标准差为 s2 B. 数据 2x1，2x2，2xn的平均数为 2x，标准差为 2s C. 数据 x12，x22，xn2 的平均数为x2，方差为 s2 D. 数据
5、2x12，2x22，2xn2平均数为 2x2，方差为 2s2 11. 在数列 na中，已知1210,a aa是首项为 1，公差为 1 的等差数列，10101101(),nnnaaa是公差为nd的等差数列，其中*nN，则下列说法正确的是（ ） A. 当1d 时，2020a B. 若3070a，则2d C. 若1220320aaaL，则3d D. 当01d时，()101101nad 12. 已知函数2( )sinf xxx在0 xx处取得极值，则（ ） A. 012x B. 013x C. 001sin4xx D. 05tan25x 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
6、每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知等比数列 na的首项为2，公比为 q试写出一个实数 q_，使得 anan1 14. 已知某校高三女生身高 X(单位：cm)近似地服从正态分布 N(163，52)若随机选择一名该校的女生，则 P(X168)_ 注：若 XN(，2)，则 P(X)0.6827 15. 设向量cos ,sin,)3, 4()(nmxx，若x时，m n取得最小值，则tan_ 16. 2021年 9 月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据已知玉琮内壁空心
7、圆柱的高为 h，且其底面直径为 d，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为 a，且 dah，则玉琮的体积为_(忽略表面磨损等) 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 AB/CD，ADCD，ABAD1，DCDP2，PD平面 ABCD （1）求证：BC平面 PBD； （2）设 M，N分别为棱 PA，PC 的中点，点 T 满足3DTTP，求证：B，N，T，M四点共面 18. 甲、 乙、 丙三人参加一家企业的招聘面试， 面试合格者可签约该企
8、业 甲表示只要面试合格就签约， 乙、丙二人则约定：两人都合格就一同签约，否则两人都不签约设甲面试合格率为34，乙、丙面试合格率均为12，且面试是否合格两两互不影响 （1）求这三人中恰有 1 人面试合格但没有人签约的概率； （2）记这三人中签约的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 19. 在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2c2现有以下四个条件： a2，b3，7cos8A，11cos16B （1）条件、成立的前提下，条件和能否同时成立?请说明理由； （2） 请你从条件和中剔除一个， 则同时满足余下三个条件的ABC是否存在?若存在， 求 c； 若不存在，说明
9、理由 20. 已知数列 na满足 a11，an12,3,nna nan为奇数为偶数 （1）从下面两个条件中选一个，写出 b1，b2，并求数列 nb的通项公式； bna2n13；bna2n1a2n1 （2）求数列 na的前 n项和为 Sn 21. 已知过点 P(2，0)的直线 l与抛物线 ：22(0)ypx p相切于点 T(x0，2) （1）求 p，x0； （2）设直线 m：1(0)2yxt t与 相交于点 A，B，射线 PA，PB与 的另一个交点分别为 C，D，问：直线 CD 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由 22. 已知函数 ()cos11()xg axaex，其
10、中xR求证： （1） 00g，且( 1)0g ； （2）0t ，,()xt t ， 10 xg 江苏省南通市海安市江苏省南通市海安市 2021-2022 学年高三上期中数学学年高三上期中数学试卷试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. 设 a，bR，集合 P0，1，a，Q1，0，b，若 PQ，则 ab（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据集合相等得到 = 1， = 1，得到答案. 【详解】 = *0,1,+， = *1,0,+， = ，则 = 1， = 1， + = 2.
11、故选：A. 2. 已知2i 3是关于 x 的方程2+ 6 + = 0( )的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A. 2i3 B. 2i3 C. 2i3 D. 2i3 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解. 【详解】根据题意，方程的另一个根为6 (2i 3) = 3 2i. 故选：B. 3. 已知实数 a，b满足 a2b2为定值，则 ab（ ） A. 有最大值，没有最小值 B. 有最小值，没有最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合题意，分析即可得答案. 【详解】由基本不等式2+ 2 2|，得
12、2:22 2:22， 当且仅当 = 时， =2:22；当且仅当 = 时， = 2:22 因为 a2b2为定值， 所以有最大值2:22，有最小值2:22. 故选：C 4. “冰墩墩”是 2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有 6个盲盒小明买了一箱该款盲盒，他抽中 k(0k6，kN)个隐藏款的概率最大，则 k的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【 分 析 】 由 题 意 可 得 小 明 抽 中 个 隐 藏 款 的 概 率 为6.16/.1 16/6;=65666， 进 而 可 得
13、6 56; 6;1 57;6 56; 6:1 55;，解不等式组即可求出结果. 【详解】由题意可得小明抽中个隐藏款的概率为6.16/.1 16/6;=65666，其中0 6, ，要使得65666最大，只需要6 56;最大，则6 56; 6;1 57;6 56; 6:1 55;，即157;56;1:1，则16 76，又因为0 6, ，则 = 1， 故选：B 5. 已知函数()的定义域为，( + 1)为奇函数，( 1)为偶函数，则（ ） A. (3) = 0 B. (1) = 0 C. (0) = 0 D. (3) = 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性可求得函数()是以 8为周期的函数
14、， ，再利用赋值法求函数值，即可判断各选项的正误. 【详解】函数( + 1)为奇函数，则( + 1) = ( + 1)，可得() = ( + 2) 函数( 1)为偶函数，则( 1) = ( 1)，可得() = ( 2)， 所以( + 2) = ( 2)，即( + 2) = ( 2)，即() = ( 4)， 即( + 4) = () = ( 4)，即( + 8) = () 故函数()是以 8为周期的函数， 由( + 1) = ( + 1)，令 = 0，得(1) = (1)，知(1) = 0 由() = ( 2)，令 = 3，得(3) = (1) = 0，故 A 正确； 其它选项，根据题目中的条件
15、无法确定函数值的结果，故 BCD不一定成立. 故选：A 6. 已知非零向量 ,满足| | = | = | + |，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. 12 + B. 12 + C. +12 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由条件将| = | + |平方，得出cos = 12，再将每一选项分别与向量作数量积，从而可得答案. 【详解】设向量 ,的夹角为，由| | = | = | + | 则| + |2= | |2+ |2+ 2| |cos = 2| |2+ 2| |2cos = | |2 所以cos = 12 选项 A. .12 + / =12 + 2=12|2 .12/ + |2=
16、34|2 0,不满足题意. 选项 B. .12 + / = 12 + 2= 12|2 .12/ + |2=54|2 0,不满足题意. 选项 C. . +12/ = +122= |2 .12/ +12|2= 0，满足题意. 选项 D. . 12/ = 122= |2 .12/ 12|2= |2 0，不满足题意. 故选：C 7. 在正方体 111中，M，N，Q分别为棱 AB，1,11的中点，过点 M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】,分别为,1,11中点，M，N，Q 确定平面，证明六边形的每条边
17、均在内，得到答案. 【详解】如图所示：,分别为,1,11中点，M，N，Q 确定平面， 且 ，故 ， , ，故 ， 同理可得 ， ， ，故截面为六边形. 故选：D. 8. 已知ln 2,设 =e, = e, = 3e,其中e为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 2, ln + 2 , ln + lne2 lne, ln(e2) lne, e2e, 3 e， 3ee2e, , 令() =ln( 0)，则() =1;ln2( 0)， 当0 0， () =ln在(0,e)上单调递增； 当 e时，() =1;ln2 0， () =ln在(e，+)上单调递减； =e时()取()max= (e
18、)， () (e)，lneln， lne， 又 =e, = e, ln = ,ln = lne, 而 lne， ln = lne= ln， . 综上所述： 故选：B 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|2)的图象如图所示，为得到 g(x)sinx的图象，只需将f(x)的图象上所有点（ ） A
19、. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移512个单位 D. 向右平移512个单位 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图像得到 =2=2，再根据.6/ = 0得到() = sin.4 +3/，根据三角函数的平移法则依次判断每个选项得到答案. 【详解】4=7246=8，故 =2=2，即 = 4， = 1，() = sin(4 + )， .6/ = sin(46+ ) = 0，则46+ = ， = 23，| 2， 当 = 1时， =3满足条件，故() = sin.4 +3/，() = sin4， ()向左平移12个单位得到 = sin.4 +23/； ()向右平移12个单位
20、得到 = sin(4)； ()向左平移512个单位得到 = sin.4. +512/ +3/ = sin(4 + 2) = sin(4)； ()向右平移512个单位得到 = sin.4. 512/ +23/ = sin(4 ) = sin(4)； 故选：BC 10. 已知数据 x1，x2，xn的平均数为，标准差为 s，则（ ） A. 数据 x12，x22，xn2的平均数为2，标准差为 s2 B. 数据 2x1，2x2，2xn的平均数为 2，标准差为 2s C. 数据 x12，x22，xn2 的平均数为2，方差为 s2 D. 数据 2x12，2x22，2xn2的平均数为 22，方差为 2s2 【
21、答案】BC 【解析】 【分析】举反例得到 A 错误，再根据平均值和方差的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】取1= 1,2= 3，则 = 2，12= 1,22= 9，2= 5，故2 2，A 错误； 数据21,22, ,2的平均数为2，标准差为2，B 正确； 数据1+ 2,2+ 2,+ 2的平均数为 + 2，方差为2，C 正确； 数据21 2,22 2, ,2 2的平均数为2 2，方差为42，D 错误. 故选：BC 11. 在数列*+中， 已知1,2,10是首项为 1， 公差为 1的等差数列， 10,10:1,10(:1)是公差为的等差数列，其中 ，则下列说法正确的是（ ） A. 当 = 1
22、时，20= 20 B. 若30= 70，则 = 2 C. 若1+ 2+ + 20= 320，则 = 3 D. 当0 1时，10(1)101; 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可判断 A；利用已知条件结合等差数列的通项公式可判断 B；利用等差数列的求和公式可判断 C；利用等比数列求和公式可判断 D. 【详解】 对于 A， 当 = 1时， = 1， 可知数列*+是首项为 1， 公差为 1的等差数列， 所以20= 1 + (20 1) 1 = 20，故 A正确； 对于 B，由已知10= 10，10,11,20是公差为的等差数列，则20= 10 + 10， 20,21,30是公
23、差为2的等差数列，则30= 10 + 10 + 102= 70，即2+ 6 = 0，解得： = 2或 = 3，故 B错误； 对于 C，1+ 2+ + 20=1:102 10 +10:10:102 10 = 320，解得： = 3，故 C正确； 对于 D，10(:1)= 10 + 10 + 102+ + 10= 101;1;101;，故 D 正确； 故选：ACD 12. 已知函数() = 2 sin = 0处取得极值，则（ ） A. 013 C. 01455 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导得到导函数，再次求导证明()单调递增，根据零点存在定理得到0 .13,12/，AB 正确，代换得到0
24、14 sin0 .012/2 0，C正确，若 D成立得到0 0恒成立， 故()单调递增， .12/ = 1 cos12 0，.13/ =23 cos1323 cos6=2332 0， 故存在0 .13,12/，函数()在(,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，AB正确； (0) = 20 cos0= 0，(0) = 02 sin0 (0) = 0， 014 sin0 014 02= .012/255，0 .13,12/，则sin0266，cos0= 1 2sin202 1 13=23， cos0= 2023，则013，这与0 .13,12/矛盾，故 D 错误. 故选：ABC. 三、填空题：
25、本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知等比数列*+的首项为2，公比为 q试写出一个实数 q_，使得 anan1 【答案】12（答案不唯一，满足0 1即可） 【解析】 【分析】结合数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为等比数列*+的首项为2，公比为 q，且 anan1， 2;1 ，所以;1(1 ) 0， 因为等比数列*+为递增数列，则;1 0， 解得0 1，则可取12（答案不唯一，满足0 1即可）. 故答案为：12（答案不唯一，满足0 1即可）. 14. 已知某校高三女生的身高 X(单位：cm)近似地服从正态分布 N(163，5
26、2)若随机选择一名该校的女生，则 P(X168)_ 注：若 XN(，2)，则 P(X)0.6827 【答案】0.84135 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性先求出(163 168)的概率，由( 168) = ( 163) +(163 168)，可得答案. 【详解】由题意可得正态分布 N(163，52)中 = 163, = 5 ( + ) = (158 168) = 0.6827 所以( + ) = (163 168) = 0.34135 ( ) = ( 163) = 0.5 所以( 168) = ( 163) + (163 2的条件； （2）分别讨论中有一个剔除的情况，然后对应求解即可
27、【小问 1 详解】 不能同时成立， 因为 = 2， = 3， 若成立，则在三角形中， 可得sin = 1 (78)2=158，sin = 1 (1116)2=31516， 由正弦定理sin=sin，而2158=331516=1615， 此时sin = sin( + ) = sincos + cossin =1581116+7831516=154， 由正弦定理sin=sin，可得2158=154， 解得 = 4， 2+ 2= 22+ 32= 13 2= 16， 所以不能同时成立； 【小问 2 详解】 若剔除，由余弦定理可得2= 2+ 2 2cos， 即9 = 4 + 2 2 2 1116， 整理
28、可得：42 11 20 = 0，解得 = 4， 2+ 2= 13 2 若剔除，则余弦定理2= 2+ 2 2 3 cos， 即4 = 9 + 2 2 3 78， 整理可得：42 21 20 = 0，解得 =54或 = 4， 再由2+ 2 2可得 =54 综上所述，剔除满足余下三个条件的是存在的，且可得 =54 20. 已知数列*+满足 a11，an12,为奇数+ 3,为偶数 （1）从下面两个条件中选一个，写出 b1，b2，并求数列*+的通项公式； bna2n13；bna2n1a2n1 （2）求数列*+的前 n项和为 Sn 【答案】 （1）所选条件见解析，1= 4,2= 8；= 2:1； （2）=
29、 2+7292212,为奇数2+42+ 2+6292 12,为偶数. 【解析】 【分析】 （1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果. （2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. 【小问 1 详解】 当奇数时，:2= :1+ 3 = 2+ 3，则:2+ 3 = 2(+ 3)，且1+ 3 = 4，则+ 3 = 4 2+12，即= 2+32 3， 当为偶数时， :2= 2:1= 2(+ 3) = 2+ 6， 则:2+ 6 = 2(+ 6)， 且2= 21= 2， 2+ 6 = 8，则+ 6 = 8 2+12，即= 2+42 6， 若选，则=
30、2;1+ 3 = 221+32 3 + 3 = 2:1，则1= 4,2= 8； 若选，则= 2:1 2;1= 22+1+32 3 .221+32 3/ = 2:2 2:1= 2:1，则1= 4,2= 8， 【小问 2 详解】 当为偶数时，= 1+ 2+ + = (1+ 3+ + ;1) + (2+ 4+ + ) = (22 3 + 23 3 + + 2:22 3) + (23 6 + 24 6 + + 2:42 6) =22.1 22/1 2 3 2+23.1 22/1 2 6 2 = 2:42+ 2:6292 12 当为奇数时，= 1+ 2+ + = (1+ 3+ + ) + (2+ 4+
31、+ ;1) = (22 3 + 23 3 + + 2:32 3) + (23 6 + 24 6 + + 2:32 6) =22(1 2:12)1 2 3 + 12+23(1 2;12)1 2 6 12 = 2:7292212 = 2+7292212,为奇数2+42+ 2+6292 12,为偶数. 21. 已知过点 P(2，0)直线 l与抛物线 ：2= 2( 0)相切于点 T(x0，2) （1）求 p，x0； （2）设直线 m： =12 + ( 0)与 相交于点 A，B，射线 PA，PB与 的另一个交点分别为 C，D，问：直线 CD 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由
32、【答案】 （1） = 1，0= 2 （2）直线经过定点(0,1) 【解析】 【分析】（1） 由题意可设切线的方程为： = ( + 2)， 与抛物线方程联立化为： 22+ (42 2) + 42=0，可得 = 0，结合斜率计算公式、及其点在抛物线上即可得出答案； （2） 设(1， 1)， (2， 2)， 联立 =12 + 2= 2 ， 化为： 2 4 + 4 = 0， 0， 可得根与系数的关系 射线的方程为： =22:2( + 2)， 射线的方程为： =11:2( + 2)， 分别与抛物线方程联立， 进而得出坐标，进而得出方程及其定点坐标 【小问 1 详解】 由题意可设切线的方程为： = ( +
33、 2)， 联立2= 2 = ( + 2) ，化为：22+ (42 2) + 42= 0， 则 = (42 2)2 164= 0， 化为： = 42， 又 =20:2，4 = 20， 解得： =12， = 1，0= 2 【小问 2 详解】 设(1，1)，(2，2)， 联立 =12 + 2= 2 ，化为：2 4 + 4 = 0， = 16 16 0，解得 0， (,)，(1) 0. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题知(0) = ( + 1)，令() = ( + 1)，利用导数研究函数的单调性及最值，可知() 0，即(0) 0，又(1) = cos 结
34、合cos ,1,1-，可证得结论； （2）由题知(1) = cos + 2，令() = cos + 2，利用导数研究函数的单调性及最值，结合函数的零点判断分析即可得解. 【小问 1 详解】 由题知(0) = ( + 1)，令 () = ( + 1)， 求导() = 1，令() = 0，得 = 0 当 0时，() 0时，() 0，函数单调递增； 故当 = 0时，函数()取得极小值也是最小值，且(0) = 0 所以() 0，即(0) 0 (1) = 1 cos + ( + 1) = cos cos ,1,1-， cos 1 0，即(1) 0 【小问 2 详解】 (1) = cos 1 + ( +
35、1) = cos + 2，令() = cos + 2 求导() = sin 1， () = cos，() = + sin 取 = 1，即 (1,1)， 可知函数()在(1,1)上单调递增， 又(1) =1 sin1 0 所以存在唯一零点0 (1,0)，使得(0) = 0 当 (1,0)时，() 0，函数 ()单调递增； 又(1) =1 cos1 0， (0) = 0 当 (1,0)时，() 0，函数 ()单调递增； 故当 = 0时，函数()取得极小值也是最小值，且(0) = 0 所以() 0，即函数()在 (1,1)上单调递增 又(1) =1+ cos1 1 =1+ sin.2 1/ 1 1+2 2 0，(0) = 0 所以当 (1,0)时，() 0， () 0，即(1) 0； 当 (0,1)时，() 0， () 0，即(1) 0. 故取 = 1， (1,1)，均有(1) 0 【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性，极值，最值的综合应用，判断函数的单调性，只需对函数求导，根据导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图像的增减情况，再对极值点作出相应的要求，考查学生的分析思考能力，计算能力，属于难题.
