1、 广西玉林市广西玉林市 2021-2022 学年学年九年级九年级上上第一次月考数学试卷第一次月考数学试卷 一、选择题。 （共一、选择题。 （共 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列函数属于二次函数的是（ ） Ay2x1 Byx2+2x3 Cy+3 Dy 3抛物线 y3（x2）2+5 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 4用配方法解方程 x2+2x10 时，配方结果正确的是（ ） A （x+1）22 B （x1）22 C （x+2）23 D （x+1）23 5 如图
2、， 在 RtABC 中， BAC90， 将 RtABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48得到 RtABC，点 A 在边 BC 上，则B的大小为（ ） A42 B48 C52 D58 6下列关于抛物线 yx2+2 的说法正确的是（ ） A抛物线开口向上 B顶点坐标为（1，2） C在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大 D抛物线与 x 轴有两个交点 7若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca0 Da1 且 a0 8如图，是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） A
3、x3 Bx1 C1x3 Dx3 或 x1 9 有一人患了流感， 经过两轮传染后共有 64 人患了流感 则每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ ） A5 人 B6 人 C7 人 D8 人 10如图，抛物线 y2x2+2 与 x 轴交于点 A、B，其顶点为 E把这条抛物线在 x 轴及其上方的部分记为C1，将 C1向右平移得到 C2，C2与 x 轴交于点 B、D，C2的顶点为 F，连接 EF则图中阴影部分图形的面积为（ ） A4 B3 C2 D1 11在同一坐标系中，一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图象可能是（ ） A B C D 12抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x
4、1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0； 9a3b+c0； 若点 （0.5， y1） ，（2， y2） 均在抛物线上， 则 y1y2； 其中正确的个数有 （ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题。 （共二、填空题。 （共 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13与点 P（2，4）关于原点中心对称的点的坐标为 14一元二次方程 x2a0 的一个根是 2，则 a 的值是 15把抛物线 y2x2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是 16若 x1，x2是方程 x23x+20 的两个根，则 x12+x22 17如图，O 的半径为 2，C1是函数
5、 y2x2的图象，C2是函数 y2x2的图象，则图中阴影部分的面积为 18如图，四边形 ABCD 为正方形，AB2，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AEF，连接 DF，则DF2 三、解答题。 （共三、解答题。 （共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x2x6； （2）x213x（1+x） 20 （8 分）已知二次函数的图象经过点 A （1，0） ，B （3，0） ，C（0，3） （1）求这个二次函数的关系式； （2）求此函数的顶点坐标，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 21 （8 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
6、其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度 （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得利A2B2C2； （3）按照（2）中作图，回答问题：若点 P（a，b）为ABC 边上一点，点 Q 为A2B2C2边上一点，且点 Q 是点 P 的对应点，则点 Q 的坐标为 22 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程：x2（t1）x+t20 （1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）当 t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 23 （8 分）如图，利用一面墙（墙的长度不限） ，用 20m 长的篱笆，怎样围成一个面积为 50
7、m2的长方形场地？ 24 （8 分）已知，点 P 是等边三角形ABC 中一点，线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60到 AQ，连接 PQ、QC （1）求证：BAPCAQ （2）若 PA3，PB4，APB150，求 PC 的长度 25 （8 分）某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现：若每箱以 50 元的价格出售，平均每天销售 80 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 箱 （1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式；
8、（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 26 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx+c （a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在点 Q，且点 Q 在第一象限，使BDQ 中 BD 边上的高为？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、
9、选择题。 （共一、选择题。 （共 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，
10、旋转 180 度后与原图重合 2下列函数属于二次函数的是（ ） Ay2x1 Byx2+2x3 Cy+3 Dy 【分析】一般地，形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数 【解答】解：A、y2x1 是一次函数，故 A 错误； B、yx2+2x3 是二次函数，故 B 正确； C、y+3 自变量 x 的指数为2，故 C 错误； D、y是反比例函数，故 D 错误 故选：B 【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键 3抛物线 y3（x2）2+5 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 【分析】根据
11、二次函数的性质 ya（x+h）2+k 的顶点坐标是（h，k）即可求解 【解答】解：抛物线 y3（x2）2+5 的顶点坐标为（2，5） ， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆 ya（x+h）2+k 的顶点坐标是（h，k） （a0）是关键 4用配方法解方程 x2+2x10 时，配方结果正确的是（ ） A （x+1）22 B （x1）22 C （x+2）23 D （x+1）23 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 1，然后把方程作边写成完全平方形式即可 【解答】解：x2+2x1， x2+2x+12， （x+1）22 故选：A 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一
12、元二次方程配成（x+m）2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 5 如图， 在 RtABC 中， BAC90， 将 RtABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48得到 RtABC，点 A 在边 BC 上，则B的大小为（ ） A42 B48 C52 D58 【分析】先根据旋转的性质得出ABAC90，ACA48，然后在直角ACB中利用直角三角形两锐角互余求出B90ACA42 【解答】解：在 RtABC 中，BAC90，将 RtABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48得到 RtABC， ABAC90，ACA48， B90ACA42 故选：A 【点评】本题考查了转的性质：
13、对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了直角三角形两锐角互余的性质 6下列关于抛物线 yx2+2 的说法正确的是（ ） A抛物线开口向上 B顶点坐标为（1，2） C在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大 D抛物线与 x 轴有两个交点 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案 【解答】解：yx2+2， 抛物线开口向下，对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，2） ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， A、B、C 都不正确， 4（1）280， 抛物线与 x 轴有两个交点， D 正确， 故选：D 【点评】本题主要
14、考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2+k中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 7若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca0 Da1 且 a0 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a0 且224a0，然后求出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 a0 且224a0， 所以 a1 且 a0 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个
15、相等的实数根；当0 时，方程无实数根 8如图，是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是（ ） Ax3 Bx1 C1x3 Dx3 或 x1 【分析】将一元二次不等式转化为通过图象求解 【解答】解：抛物线经过点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， ax2+bx+c0， y0， 对应抛物线在 x 轴上方，即在（1，0）与（3，0）之间 1x3 故选：C 【点评】本题考查二次函数和不等式，将不等式的解转化为抛物线在 x 轴的上方是求解本题的关键 9 有一人患了流感， 经过两轮传染后共有 64 人患了流感 则每
16、轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ ） A5 人 B6 人 C7 人 D8 人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，根据经过两轮传染后共有 64 人患了流感，可求出 x，从 而求解 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则 1+x+x（x+1）64， 解得 x17，x29（舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键 10如图，抛物线 y2x2+2 与 x 轴交于点 A、B，其顶点为 E把这条抛物线在 x 轴及其上方的部分记为C1，将 C1向右平移得到 C2，C2与 x
17、 轴交于点 B、D，C2的顶点为 F，连接 EF则图中阴影部分图形的面积为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据题意和平移的特点，可以发现图中阴影部分图形的面积等于四边形 EOCF 的面积，然后根据抛物线解析式可以求得 OE 和 OC 的长，然后即可得到四边形 EOCF 的面积，从而可以得到阴影部分的面积 【解答】解：作 FCx 轴于点 C，如右图所示， 则阴影部分的面积等于四边形 EOCF 的面积， 抛物线 y2x2+2， 当 y0 时，x11，x21，该抛物线的顶点坐标为（0，2） ， AB1（1）2，OE2， 这条抛物线在 x 轴及其上方的部分记为 C1，将 C1向右平移得到 C2
18、，C2与 x 轴交于点 B、D，C2的顶点为 F， OCAB2， 四边形 EOCF 是矩形， 四边形 EOCF 的面积是 224， 图中阴影部分图形的面积为 4， 故选：A 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 11在同一坐标系中，一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 本题可先由一次函数 ymx+n2图象得到字母系数的正负， 再与二次函数 yx2+m 的图象相比较看是否一致 【解答】解：A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，n20，错误
19、； B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，正确， 故选：D 【点评】 本题考查抛物线和直线的性质， 用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法， 难度适中 12抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0； 9a3b+c0； 若点 （0.5， y1） ，（2， y2） 均在抛物线上， 则 y1y2； 其中正确的个数有 （ ） A2
20、 B3 C4 D5 【分析】由图象可知 a0，c0，与 x 轴有两个不同的交点，所以 b24ac0；由于对称轴为 x1，可求 b2a，即可确定 b0，所以 abc0；再由图象可知函数与 x 轴的一个交点是（1，0） ，则另一个交点是（3，0） ，将点代入 yax2+bx+c 可得 9a3b+c0；利用函数上的点与对称轴的距离之间的关系，确定 y1y2 【解答】解：由图象可知 a0，c0， 对称轴为 x1， b2a， b0， abc0， 错误； 图象与 x 轴有两个不同的交点， b24ac0； 正确； 图象与 x 轴的一个交点是（1，0） ， 与 x 轴的另一个交点是（3，0） ， 9a3b+c
21、0， 正确； （2，y2）到对称轴 x1 的距离是 1， （0.5，y1）到对称轴 x1 的距离是 0.5， y1y2； 不正确； 正确， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够从图象中获取信息，再结合函数的对称性解题是关键 二、填空题。 （共二、填空题。 （共 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13与点 P（2，4）关于原点中心对称的点的坐标为 （2，4） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） 【解答】解：根据中心对称的性质，得点 P（2，4）关于中心对称的点的坐标为（2，4） 【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基
22、本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 14一元二次方程 x2a0 的一个根是 2，则 a 的值是 4 【分析】根据一元二次方程解的定义，把 x2 代入方程 x2a0 得 4a0，然后解一次方程即可 【解答】解：把 x2 代入方程 x2a0 得 4a0， 解得 a4 故答案为 4 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2p 或（nx+m）2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程也考查了一元二次方程解的定义 15把抛物线 y2x2先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式是 y2（x+2）21 【分析】直接根据“上加下减、左
23、加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，二次函数 y2x2的图象向下平移 1 个单位得到 y2x21， 由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y2x21 的图象向左平移 2 个单位可得到函数 y2（x+2）21， 故答案是：y2（x+2）21 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键 16若 x1，x2是方程 x23x+20 的两个根，则 x12+x22 5 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x23，x1x22，把 x12+x22变形得到（x1+x2）22x1x2然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意
24、得 x1+x23，x1x22， 则 x12+x22（x1+x2）22x1x2945， 故答案为：5 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x2，则x1+x2，x1x2 17如图，O 的半径为 2，C1是函数 y2x2的图象，C2是函数 y2x2的图象，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可 【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积， O 的半径为 2， 图中阴影部分的面积为：222 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影
25、部分面积是解题关键 18如图，四边形 ABCD 为正方形，AB2，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AEF，连接 DF，则DF2 84 【分析】连接 BE，CE，过 E 作 EGBC 于 G，判定ADFAEC（SAS） ，即可得出 DFCE，再根据勾股定理求得 CE 的长，即可得到 DF 的长 【解答】解：如图，连接 BE，CE，过 E 作 EGBC 于 G， 由旋转可得，ABAE1AD，ACAF，BACEAF45DAC， CAEFAD， ADFAEC（SAS） ， DFCE， 由旋转可得，ABAE2，BAE60， ABE 是等边三角形， BE2，ABE60， EBG30， EGBE1，
26、BG， CG2， RtCEG 中，CE2EG2+CG212+（2）284， DF284 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等 三、解答题。 （共三、解答题。 （共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （8 分）解方程： （1）x2x6； （2）x213x（1+x） 【分析】 （1） 先移项， 再利用十字相乘法将方程的左边因式分解， 继而得出两个关于 x 的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x 的一元一次方程，再进一步求解即可 【解
27、答】解： （1）x2x6， x2x60， 则（x3） （x+2）0， x30 或 x+20， 解得 x13，x22； （2）x213x（1+x） ， （x+1） （x1）3x（x+1）0， 则（x+1） （2x1）0， x+10 或2x10， 解得 x11，x20.5 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 20 （8 分）已知二次函数的图象经过点 A （1，0） ，B （3，0） ，C（0，3） （1）求这个二次函数的关系式； （2）求此函数的顶点坐标，并指出 x 取何值时，该函数的
28、y 随 x 的增大而减小 【分析】 （1）根据 A 与 B 的坐标设出抛物线的解析式，把 C 坐标代入确定出即可； （2）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标，然后根据二次函数的性质得到结论 【解答】解： （1）设二次函数解析式为 ya（x+1） （x3） ， 抛物线过点 C（0，3） ， 3a（0+1） （03） ， 解得 a1， y（x+1） （x3） ， 二次函数的解析式 yx22x3 （2）由 yx22x3（x1）24， 对称轴是直线 x1，顶点坐标是（1，4） ， 抛物线开口向上， 当 x1 时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数
29、的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解 本题的关键 21 （8 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度 （1）画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A1B1C1； （2）画出将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得利A2B2C2； （3）按照（2）中作图，回答问题：若点 P（a，b）为ABC 边上一点，点 Q 为A2B2C2边上一点，且点 Q 是点 P 的对应点，则点 Q 的坐标为 （b，a） 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点 O 顺时针旋转 90得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （
30、3）结合图形，从已知的三个顶点的坐标变化规律可得答案 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求 （2）如图所示，A2B2C2即为所求 （3）由图知，点 P（a，b）的对应点 Q 的坐标为（b，a） ， 故答案为： （b，a） 【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质 22 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程：x2（t1）x+t20 （1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）当 t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出（t3）20，由此可证出：对于任意实数 t，方程都有实数根；
31、（2） 设方程的两根分别为 m、 n， 由方程的两根为相反数结合根与系数的关系， 即可得出 m+nt10，解之即可得出结论 【解答】 （1）证明：在方程 x2（t1）x+t20 中，（t1）241（t2）t26t+9（t3）20， 对于任意实数 t，方程都有实数根； （2）解：设方程的两根分别为 m、n， 方程的两个根互为相反数， m+nt10， 解得：t1 当 t1 时，方程的两个根互为相反数 【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有实数根” ； （2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出 t10 23 （8 分）如图，利用一面
32、墙（墙的长度不限） ，用 20m 长的篱笆，怎样围成一个面积为 50m2的长方形场地？ 【分析】设垂直于墙的一边长 xm，那么另一边长为（202x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解 【解答】解：设垂直于墙的一边长 xm，那么另一边长为（202x）m， 由题意得 x（202x）50， 解得：x1x25， （2025）10（m） 答：长方形场地的长和宽分别为：10m，5m 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键 24 （8 分）已知，点 P 是等边三角形ABC 中一点，线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60到 AQ，连接 PQ、QC （1）求证：BA
33、PCAQ （2）若 PA3，PB4，APB150，求 PC 的长度 【分析】 （1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案 【解答】 （1）证明：线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60到 AQ， APAQ，PAQ60， APQ 是等边三角形，PAC+CAQ60， ABC 是等边三角形， BAP+PAC60，ABAC， BAPCAQ， 在BAP 和CAQ 中， BAPCAQ（SAS） ； （2）解：由（1）得APQ 是等边三角形， APPQ3，AQP60， APB150， PQC1506090， PBQC， QC4， PQC
34、 是直角三角形， PC5 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键 25 （8 分）某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现：若每箱以 50 元的价格出售，平均每天销售 80 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 箱 （1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】本题是通过
35、构建函数模型解答销售利润的问题依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为 y802（x50） ，然后根据销售利润销售量（售价进价） ，列出 平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润 【解答】解： （1）由题意得：y802（x50）化简得：y2x+180； （2）由题意得：w（x40）y （x40） （2x+180） 2x2+260 x7200； （3）w2x2+260 x7200 a20，抛物线开口向下 当 x65 时，w 有最大值 又 x65，w 随 x 的增大而增大当 x55 元时，w 的最大值为 10
36、50 元 当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1050 元的最大利润 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x时取得 26 （12 分）如图，二次函数 yax2+bx+c （a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x
37、 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在点 Q，且点 Q 在第一象限，使BDQ 中 BD 边上的高为？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由二次函数顶点 C（1，4） ，抛物线经过 B（3，0） ，用待定系数法可得二次函数的解析式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，可得 D（0，3） ，用待定系数法得直线 BD 解析式为 yx+3，设 P（m，m+3） ，则 M（m，m2+2m+3） ，PM（m）2+，根据二次函数性质即得：当 m时，PM 取 最大值，最大值为； （3）过
38、Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G， 交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H， 设 Q（x， x2+2x+3） ， 则 G（x，x+3） ，可得 QG|x2+2x+3（x+3）|x2+3x|，又 OBOD，BDQ 中 BD 边上的高为时，可知 QG2，即得x2+3x2，可解得点 Q 为（1，4）或（2，3） 【解答】解： （1）由二次函数顶点 C（1，4） ，设 ya（x1）2+4， 将 B（3，0）代入得：4a+40， a1， y（x1）2+4x2+2x+3， 答：二次函数的解析式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，令 x0 得 y3， D（0，3） ， 设直线 BD
39、 解析式为 ykx+3，将 B（3，0）代入得： 3k+30， 解得 k1， 直线 BD 解析式为 yx+3， 设 P（m，m+3） ，则 M（m，m2+2m+3） ， PMm2+2m+3+m3m2+3m（m）2+， 10， 当 m时，PM 取最大值，最大值为； （3）存在点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为，理由如下： 过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H，如图： 设 Q（x，x2+2x+3） ，则 G（x，x+3） ， QG|x2+2x+3（x+3）|x2+3x|， OBOD， OBD45， BGE45QGH， QGH 是等腰直角三角形， 当BDQ 中 BD 边上的高为时，即 QHHG， QG2， 点 Q 在第一象限，QG|x2+3x|， x2+3x2， 解得 x1 或 x2， Q（1，4）或（2，3） ， 综上可知存在满足条件的点 Q，坐标为（1，4）或（2，3） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质
