2021-2022学年北京市高三上期中模拟考试数学试卷(1)含答案解析

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资源描述

1、2021-2022学年北京市高三上期中模拟考试数学试卷(1)一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)1已知集合,则中元素的个数为( )A1B5C6D无数个2下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是( )ABCD3 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4函数(,)的部分图象如图所示,则( )ABCD5已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB 的取值范围是( )ABCD6设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 ( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定7设等差数列的前n项

2、和为,若,则()A3B4C5D68已知A,B是函数的图象上的相异两点,若点A,B到直线的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是( )ABCD9已知函数.若,都有,则实数的取值范围是( )ABCD10根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg30.48)A1033B1053C1073D1093二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11若函数为偶函数,则_12天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示),上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心

3、向外围以扇面形石(如图2所示)上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是_;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_13如图,在ABC中,AN=13NC.若AN=AC,则的值为_,P是上的一点,若AP=13AB+mAC,则m的值为_.14如图,以Ox为始边作钝角,角的终边与单位圆交于点P(x1,y1),将角的终边顺时针旋转得到角角的终边与单位圆相交于点Q(x2,y2),则x2x1的取值范围为_15已知,函数当时,函数的最大值是_;若函数的

4、图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是_三、解答题(共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)16已知函数.(I)求f(0)的值;(II)从;这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.17设是等差数列,且.()求的通项公式;()求.18已知函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)求函数在上的最大值和最小值.19在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和的值.20已知函数(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点,求实数;(2)当时,判断函数在上的零

5、点个数,并说明理由21设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.(1)若数列的前项和为,证明:是“数列”.(2)设是等差数列,其首项,公差,若是“数列”,求的值;(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列” 和,使得成立.参考答案1C【分析】直接列举求出A和A中元素的个数得解.【详解】由题得,所以A中元素的个数为6.故选C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2A【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可【详解】解:ycos(2x)sin2x,是奇函数,函数的周期为:,满足题意,所以A正确ysin(2

6、x)cos2x,函数是偶函数,周期为:,不满足题意,所以B不正确;ysin2x+cos2xsin(2x),函数是非奇非偶函数,周期为,所以C不正确;ysinx+cosxsin(x),函数是非奇非偶函数,周期为2,所以D不正确;故选A考点:三角函数的性质.3C【详解】由,可知当时,有,即,反之,若,则,所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件,选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式,通过套入公式与简单运算,可知, 结合充分必要性的判断,若,则是的充分条件,若,则是的必要条件,该题“”“”,故互为充要条件4A【分析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期,求出,代入求出值,则函数的解析

7、式可求,取可得的值.【详解】由图像可得函数的最小正周期为,则.又,则,则,则,则,则,.故选:A.【点睛】方法点睛:根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法:(1)求、,;(2)求出函数的最小正周期,进而得出;(3)取特殊点代入函数可求得的值.5A【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征,得到在方向上的投影的取值范围是,利用向量数量积的定义式,求得结果.【详解】的模为2,根据正六边形的特征,可以得到在方向上的投影的取值范围是,结合向量数量积的定义式,可知等于的模与在方向上的投影的乘积,所以的取值范围是,故选:A.【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的

8、知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.6B【分析】利用正弦定理可得,结合三角形内角和定理与诱导公式可得,从而可得结果.【详解】因为,所以由正弦定理可得,所以,所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.7C【分析】由又,可得公差,从而可得结果.【详解】是等差数列又,公差,故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用,意在考查灵活

9、应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.8B【分析】设,由题意得,根据去掉绝对值得到,最后由基本不定式可得,即得到所求范围【详解】设,则,由基本不等式得,(等号不成立),故选B【点睛】(1)解答本题的关键是正确理解题意,并由条件得到定值,然后再用基本不等式求解;(2)运用基本不等式时要注意不等式的使用条件,特别是等号成立的条件9B【分析】首先可得函数在上是增函数,然后保证函数在每一段都是增函数,同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系,由此列出不等式组,进而可解得结果.【详解】依题意可知,函数在上是增函数,则,解得.故选:B.【点睛】方法点睛:对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一是保

10、证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值之间的大小关系;二是画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观的判断10D【详解】试题分析:设 ,两边取对数,所以,即最接近,故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是令,并想到两边同时取对数进行求解,对数运算公式包含,.111【详解】试题分析:由函数为偶函数函数为奇函数,考点:函数的奇偶性【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想,具有一定的综合性和灵活性,属于较难题型首先利用转

11、化思想,将函数为偶函数转化为 函数为奇函数,然后再利用特殊与一般思想,取12 【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项,9为公差的等差数列,据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则依题意得:每环的扇面形石块数是一个以9为首项,9为公差的等差数列,所以,an9(n1)99n,所以,a27927243,前27项和为:3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列的前n项和及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13 【分析】直接利用向量的线性运算的

12、应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.【详解】如图:在中,.所以:,故.由于点BPN三点共线.所以,则:,整理得:,故:.所以,解得.故.故答案为:;.【点睛】本题考查向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件,属于基础题.14【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,两角和差的三角公式,求得再利用正弦函数的定义域和值域,求出的取值范围.【详解】由已知得,的取值范围为,故答案为:.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和差的三角公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.15 【解析】(1)当x0时,令,当 ,即x=1时取等号,即当x=1时,f1(x)min=2,令,又因为则(2)f(

13、x)图象仅有两对点关于y轴对称,即f(x)(x0)的图象关于y轴对称的函数图象与f(x)(x0)仅有两个交点,当x0时,f(x)=(x+1)2+a设其关于y轴对称的函数为g(x),g(x)=f(x)=(x1)2+a(x0)(x0)由(1)可知近似图象如图所示:当g(x)与f(x)仅有两个交点时,综上,a的取值范围是(1,),故填,(1,)点睛:本题主要是第2空比较难,要善于利用转化的思想分析解答. 把函数的图象上有且只有两对点关于轴对称转化为即f(x)(x0)的图象关于y轴对称的函数图象与f(x)(x0)仅有两个交点,这样问题分析解答起来就方便多了.转化的数学思想是高中数学用的最普遍最广泛的数

14、学思想,大家要理解掌握熟练运用.16(I) ;(II) 时 ,;时 ,.【分析】(I)将代入求值即可;(II)用二倍角和辅助角公式化简可得,再由可得,结合正弦函数图象求解最值;,利用抛物线知识求解【详解】(I);(II),由题意得,故,所以当时,取最小值.,令,当时,函数取得最小值为.,【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式;(2)根据自变量的范围确定的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. (3)换元转化为二次函数研究最值.17(I);(II).【分析】(I)设公差为,根据题意可列关于的方程组,求解,

15、代入通项公式可得;(II)由(I)可得,进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】(I)设等差数列的公差为,又,.(II)由(I)知,是以2为首项,2为公比的等比数列. 点睛:等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量,知道其中三个可求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.18(1);(2)最大值为,最小值为【分析】(1)求出,令,得到函数的单调递减区间;(2)求出函数在的单调性,根据极值和端点值,求得最值.【详解】(1),令,得,所以的减区间为.(2)由(1),令,得或知:,为增函数,为减函数,为增函数.,.所以在区间上的最大值为,最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求

16、函数的最值,属于基础题.19();(),.【详解】分析:()由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得,则B=()在ABC中,由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解:()在ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得又因为,可得B=()在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=由,可得因为ac,故因此, 所以, 点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用解决三角形问题时,注意角的限制范围20(1);(2)答案

17、不唯一,具体见解析【分析】(1)求出函数的导数,根据导数几何意义求斜率,由切线方程求a;(2)原问题转化为的零点问题,求导,利用导数可得单调性,结合零点存在性即可求解.【详解】(1),所以在点处的切线方程为,所以,即;(2)因为,所以,所以可转化为,设,则当时,所以在区间上单调递增当时,设,此时,所以在时单调递增,又,所以存在使得且时单调递减,时单调递增综上,对于连续函数,在时,单调递减,在时,单调递增又因为,所以当,即时,函数有唯一零点在区间上,当,即时,函数在区间上无零点,综上可知,当时,函数在上有个零点;当时,函数在上没有零点【点睛】关键点点睛:由题意可转化为在区间上的零点个数问题,求导,利用导数可得函数单调性,在时,单调递减,在时,单调递增,分类讨论的正负即可21(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析【详解】(1)首先,当时,所以,所以对任意的,是数列中的项,因此数列是“数列”(2)由题意,数列是“数列”,则存在,使,由于,又,则对一切正整数都成立,所以(3)首先,若(是常数),则数列前项和为是数列中的第项,因此是“数列”,对任意的等差数列,(是公差),设,则,而数列,都是“数列”,证毕【考点】(1)新定义与数列的项,(2)数列的项与整数的整除;(3)构造法

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