1、2021-2022学年北京市高三上期中模拟考试数学试卷（1）一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)1已知集合，则中元素的个数为（ ）A1B5C6D无数个2下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）ABCD3 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）ABCD5已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB 的取值范围是（ ）ABCD6设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定7设等差数列的前n项
2、和为，若，则()A3B4C5D68已知A，B是函数的图象上的相异两点，若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（ ）ABCD9已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD10根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）A1033B1053C1073D1093二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11若函数为偶函数，则_12天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心
3、向外围以扇面形石（如图2所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_13如图，在ABC中，AN=13NC.若AN=AC，则的值为_，P是上的一点，若AP=13AB+mAC，则m的值为_.14如图，以Ox为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点P（x1，y1），将角的终边顺时针旋转得到角角的终边与单位圆相交于点Q（x2，y2），则x2x1的取值范围为_15已知，函数当时，函数的最大值是_；若函数的
4、图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是_三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)16已知函数.(I)求f(0)的值；(II)从；这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.17设是等差数列，且.（）求的通项公式；（）求.18已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.20已知函数（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；（2）当时，判断函数在上的零
5、点个数，并说明理由21设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列” 和，使得成立.参考答案1C【分析】直接列举求出A和A中元素的个数得解.【详解】由题得，所以A中元素的个数为6.故选C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2A【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【详解】解：ycos（2x）sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以A正确ysin（2
6、x）cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题意，所以B不正确；ysin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；ysinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选A考点：三角函数的性质.3C【详解】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件4A【分析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析
7、式可求，取可得的值.【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.又，则，则，则，则，则，.故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.5A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的
8、知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6B【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7C【分析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，公差，故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活
9、应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8B【分析】设，由题意得，根据去掉绝对值得到，最后由基本不定式可得，即得到所求范围【详解】设，则，由基本不等式得，（等号不成立），故选B【点睛】（1）解答本题的关键是正确理解题意，并由条件得到定值，然后再用基本不等式求解；（2）运用基本不等式时要注意不等式的使用条件，特别是等号成立的条件9B【分析】首先可得函数在上是增函数，然后保证函数在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.【详解】依题意可知，函数在上是增函数，则，解得.故选：B.【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保
10、证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断10D【详解】试题分析：设 ，两边取对数，所以，即最接近，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，.111【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，考点：函数的奇偶性【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型首先利用转
11、化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取12 【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an9（n1）99n，所以，a27927243，前27项和为：3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13 【分析】直接利用向量的线性运算的
12、应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.【详解】如图：在中，.所以：，故.由于点BPN三点共线.所以，则：，整理得：，故：.所以，解得.故.故答案为：；.【点睛】本题考查向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件，属于基础题.14【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得再利用正弦函数的定义域和值域，求出的取值范围.【详解】由已知得，的取值范围为，故答案为：.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.15 【解析】（1）当x0时，令，当 ，即x=1时取等号，即当x=1时，f1（x）min=2，令，又因为则（2）f（
13、x）图象仅有两对点关于y轴对称，即f（x）（x0）的图象关于y轴对称的函数图象与f（x）（x0）仅有两个交点，当x0时，f（x）=（x+1）2+a设其关于y轴对称的函数为g（x），g（x）=f（x）=（x1）2+a（x0）(x0)由（1）可知近似图象如图所示：当g（x）与f（x）仅有两个交点时，综上，a的取值范围是（1，），故填，（1，）点睛：本题主要是第2空比较难,要善于利用转化的思想分析解答. 把函数的图象上有且只有两对点关于轴对称转化为即f（x）（x0）的图象关于y轴对称的函数图象与f（x）（x0）仅有两个交点，这样问题分析解答起来就方便多了.转化的数学思想是高中数学用的最普遍最广泛的数
14、学思想，大家要理解掌握熟练运用.16(I) ；(II) 时 ，；时 ，.【分析】(I)将代入求值即可；(II)用二倍角和辅助角公式化简可得，再由可得，结合正弦函数图象求解最值；，利用抛物线知识求解【详解】(I)；(II)，由题意得，故，所以当时，取最小值.，令，当时，函数取得最小值为.，【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.17（I）；（II）.【分析】（I）设公差为，根据题意可列关于的方程组,求解，
15、代入通项公式可得；（II）由（I）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I）设等差数列的公差为，又，.（II）由（I）知，是以2为首项，2为公比的等比数列. 点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.18（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），令，得，所以的减区间为.（2）由（1），令，得或知：，为增函数，为减函数，为增函数.，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求
16、函数的最值，属于基础题.19()；()，.【详解】分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=（）在ABC中，由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围20（1）；（2）答案
17、不唯一，具体见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a；（2）原问题转化为的零点问题，求导，利用导数可得单调性，结合零点存在性即可求解.【详解】（1），所以在点处的切线方程为，所以，即；（2）因为，所以，所以可转化为，设，则当时，所以在区间上单调递增当时，设，此时，所以在时单调递增，又，所以存在使得且时单调递减，时单调递增综上，对于连续函数，在时，单调递减，在时，单调递增又因为，所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，当，即时，函数在区间上无零点，综上可知，当时，函数在上有个零点；当时，函数在上没有零点【点睛】关键点点睛：由题意可转化为在区间上的零点个数问题，求导，利用导数可得函数单调性，在时，单调递减，在时，单调递增，分类讨论的正负即可21（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【详解】（1）首先，当时，所以，所以对任意的，是数列中的项，因此数列是“数列”（2）由题意，数列是“数列”，则存在，使，由于，又，则对一切正整数都成立，所以（3）首先，若（是常数），则数列前项和为是数列中的第项，因此是“数列”，对任意的等差数列，（是公差），设，则，而数列，都是“数列”，证毕【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法
