1、2020-2021学年江苏省无锡市高三上期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1（5分）复数的共轭复数为ABCD2（5分）设集合，则AB，C，D，3（5分）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，即，当时，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，记数列的前项和为，则的值为A24B26C28D304（5分）已知函数，在上单调递增，则的最大值为A2B1
2、CD5（5分）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为A16BC110D6（5分）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线斜率为A2BC1D7（5分）若，则ABCD8（5分）某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A函数的图象过点B函数在处有极大值C函数的单调递减区间为，D函数的图象关于点对称二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9（5分）下列结论正确的有A若，则B命题“，”的否定是“，”C“三个连续自
3、然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D“”是“”的必要不充分条件10（5分）函数，在一个周期内的图象如图所示，则A函数的解析式为B函数的一条对称轴方程是C函数的对称中心是，D函数是偶函数11（5分）已知数列满足，数列的前项和为，则ABCD12（5分）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设
4、，是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”因此，下列对应法则满足函数定义的有ABCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13（5分）如图，在矩形中，是上的两动点，且，则的最小值为14（5分）在等比数列中，则15（5分）函数的图象与直线在上有三个交点，其横坐标分别为，则的取值范围为16（5分）已知函数，令，当时，有，则；若函数恰好有4个零点，则实数的值为四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1
5、0分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且满足，设，（1）用，表示，；（2）若，求角的值18（12分）如图，设矩形的周长为，把沿翻折到，交于点，设（1）若，求的值；（2）求面积的最大值19（12分）已知的内角，所对的边分别为，且满足（1）求的值；（2）若，是边上的中线，求的长20（12分）定义在上的函数满足以下两个性质：，则称函数具有性质（1）判别函数，是否具有性质？请说明理由；（2）若函数具有性质，且函数在有个零点，求的最小值21（12分）已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，（1）求证：数列为等差数列；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围22（12分）已知函数（1
6、）讨论的极值；（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1（5分）复数的共轭复数为ABCD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）设集合，则AB，C，D，【分析】求解一元二次方程化简，求解对数不等式化简，然后利用并集运算得答案【解答】解：集合，则，故选：【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题3（5分）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要
7、的作用比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，即，当时，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列，记数列的前项和为，则的值为A24B26C28D30【分析】先求出利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得到的数列的前几项，然后归纳出数列的周期性，再利用周期性求得结果即可【解答】解：由题设可得数列，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，数列是周期为6的周期数列，故选：【点评】本题主要考查数列的递推关系及数列的周期性的应用，属于基础题4（5分）已知函数，在
8、上单调递增，则的最大值为A2B1CD【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，分析可得，变形可得，进而可得，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，在上单调递增，必有，则有，变形可得，则，即的最大值为，故选：【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及二次函数的性质以及应用，属于基础题5（5分）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为A16BC110D【分析】根据条件可求出和的坐标，然后根据即可求出合力对质点所做的功【解答】解：，故选：【点评】本题考查了向量加法和数量积的坐标运算，功的计算公式，考查了计算能力，属于基础题6（5分）已知函数是奇函数
9、，则曲线在点处的切线斜率为A2BC1D【分析】由函数为奇函数列式求得值，可得函数解析式，求出导函数，进一步求得得答案【解答】解：是奇函数，即，即对任意实数恒成立，则，即，则故选：【点评】本题考查函数奇偶性的性质及应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题7（5分）若，则ABCD【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求，进而利用诱导公式化简所求即可得解【解答】解：因为，所以，则故选：【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题8（5分）某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一
10、个是错误的，则错误的结论一定是A函数的图象过点B函数在处有极大值C函数的单调递减区间为，D函数的图象关于点对称【分析】首先假设4个选项都正确，由题意只有1个错误，即可得到都正确，从而求出，的值，得出答案即可【解答】解：题意对于选项（2），对于选项，对于选项：由递减区间可得，（2），四个结论，其中有且只有一个是错误，选项都正确，故，；对于：函数的图象关于点对称，则有，可赋值得：当时，（1），当时，（2），当时，（3），故，故，由，得：，故，故（2），故错误，故函数在和上递增，在递减，在处取得极大值，故均正确，故选：【点评】本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查函数的对称性
11、问题，若，则关于，成中心对称二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9（5分）下列结论正确的有A若，则B命题“，”的否定是“，”C“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D“”是“”的必要不充分条件【分析】直接利用不等式的性质判定的结论，利用命题的否定的应用判定的结论，利用恒成立问题的应用判定的结论，利用充分条件和必要条件的应用判定的结论【解答】解：对于：若，当时，则，故错误对于：命题“，”的否定是“，”，故正确；对于：“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是任意性命题，故错误；对于：由于，整
12、理得，故，所以当时，成立，当时，成立，故”是“”的必要不充分条件，故正确故选：【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，恒成立问题的应用，命题的否定，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10（5分）函数，在一个周期内的图象如图所示，则A函数的解析式为B函数的一条对称轴方程是C函数的对称中心是，D函数是偶函数【分析】由函数的图象求出的解析式，再根据三角函数的图象与性质判断每个选项中的命题是否正确【解答】解：由函数的图象知，所以；即，解得，所以，由五点对应法，得，解得，所以，选项错误当时，所以的一条对称轴方程是，选项正确令，解得，所以的对称中心是，选项错误
13、，是定义域上的偶函数，所以选项正确故选：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题11（5分）已知数列满足，数列的前项和为，则ABCD【分析】首先利用关系式的变换的应用求出数列的递推关系式，进一步利用叠加法的应用求出数列的和【解答】解：由于数列满足，所以，则，当时，求不出的值所以，故，即故选：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题12（5分）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：
14、在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设，是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”因此，下列对应法则满足函数定义的有ABCD【分析】严格按照函数的定义，做出判断【解答】解：对应法则满足：对于每一个的值，都有一个唯一确定的值与之对应，满足函数定义，故可以对于每一个的值，有多个值与之对应，故不满足函数的定义，故排除对于每一个，可
15、能有2个值有多个值与之对应，故 不满足函数的定义，故排除由于函数的每一个值，都有唯一的一个的值与之对应，故满足函数的定义，故满足条件，故选：【点评】本题主要考查函数的定义，属于中档题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13（5分）如图，在矩形中，是上的两动点，且，则的最小值为8【分析】建立平面坐标系，设，得出的坐标，得出关于的函数，从而可求出的最小值【解答】解：以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，则，是上的动点，当时，取得最小值8故答案为：8【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，适当建立坐标系，可以使向量运算简化，属于基础题14（5分
16、）在等比数列中，则9216【分析】先由题设求得公比，进而求得，再利用错位相减法求得结果【解答】解：设等比数列的公比为，由题设知，令，则，两式相减得：，故答案为：9216【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题15（5分）函数的图象与直线在上有三个交点，其横坐标分别为，则的取值范围为，【分析】根据上，求解的范围，结合三角函数的图象，即可求解的取值范围【解答】解：由题意上，那么，上，直线在与有三个交点，则，不妨设，根据三角函数的图象及性质，可得，而，关于直线对称，那么，的取值范围，故答案为，【点评】本题主要考查三角函数的图象的对称性，考查计算能力，属于基础
17、题16（5分）已知函数，令，当时，有，则0或；若函数恰好有4个零点，则实数的值为【分析】先利用导数法由题设得到函数的单调性，然后利用单调性作出其图象，再利用数形结合求出结果即可【解答】解：当时，令，故在与，上单调递减，在，上单调递增，又当时，此时单调递增，由此可得函数的图象如右图所示：当时，由，可得：，即：，解得：或；又由函数恰好有4个零点，可得：函数与的图象有四个交点，由图象知：函数与的图象相切，设切点，易知切线方程为：，即，又为切线方程，解得：，故答案为：0或；【点评】本题主要考查函数的图象和性质、导数法在处理函数问题中的应用及数形结合求参数范围，属于中档题四、解答题（本大题共6小题，共计
18、70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且满足，设，（1）用，表示，；（2）若，求角的值【分析】（1）根据平面向量的加法（或减法）的三角形法则表示，；（2）根据垂直关系得出，再根据，计算，从而可得出的值【解答】解：（1），（2）若，则，即，又，即，【点评】本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题18（12分）如图，设矩形的周长为，把沿翻折到，交于点，设（1）若，求的值；（2）求面积的最大值【分析】（1）设，可求，设，利用二倍角的正切函数公式化简，进而求解的值（2）设，则，且，由，解得的值
19、，可求，设，利用三角形的面积公式，配方法，二次函数的性质可求，即可得解【解答】解：（1）设，则，设，则，解得，即，所以，解得（2）设，则，且，则，可得，即，所以，设，则，当且仅当时成立【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，三角函数恒等变换，二次函数的性质在实际问题中的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题19（12分）已知的内角，所对的边分别为，且满足（1）求的值；（2）若，是边上的中线，求的长【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由题意可求范围，从而可得的值（2）在中，由正弦定理解得，由余弦定理可得的值，进而利用余弦定理可得，代入数据即可计算得解的值【解答】解：（1
20、）因为，所以，可得，可得，因为，可得，所以，即（2）在中，由正弦定理，即，解得，由余弦定理可得，可得，解得，因为在中，在中，所以，解得【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）定义在上的函数满足以下两个性质：，则称函数具有性质（1）判别函数，是否具有性质？请说明理由；（2）若函数具有性质，且函数在有个零点，求的最小值【分析】（1）根据性质的定义，一个一个验证函数是否具有性质（2）由函数具有性质，则利用抽象函数赋值法求解零点，进而可以求解【解答】解：（1）因为，而，所以不具有性质；，所以函数具有性质；
21、（2）因为函数具有性质，则令，有，即，令，则（3），即（3），令，则（3），即，令，则（6），即（6），令，则（6），即，令，则（9），即（9），令，则（9），即，故函数在区间上至少有7个零点，所以的最小值为7【点评】本题考查了函数与方程的应用，涉及了抽象函数赋值法求解问题，属于中档题21（12分）已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，（1）求证：数列为等差数列；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围【分析】（1）由，得，从而得到，进一步证明是首项为1，公差为2的等差数列（2）推导出，从而，设，由此能求出实数的取值范围【解答】解：（1）证明：正项数列的前项和为，数列为等比数列
22、，满足，两式相减，得，当时，是首项为1，公差为2的等差数列（2），由，得，设，则，2时，当时，即，解得实数的取值范围是【点评】本题考查等差数列的证明，实数的取值范围的求法，等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知函数（1）讨论的极值；（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【分析】（1）首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式分类讨论可得函数的极值；（2）首先换元，令，然后分类讨论即可确定实数的取值范围【解答】解：（1）若，则，则单调增，无极值，若，令，得，当，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数的极小值，无极大值，当，函数在区间 上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值，无极小值，（2）令，则，设，若，单调减，不合题意，若，单调增，解得；若，令，故在单调减，单调增，解得，综上：，【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
