1、2021-2022 学年天津市南开区高三学年天津市南开区高三上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若全集 U1，0，1，2，Ax|（x+2） （x1）0，xZ，则UA（ ） A2 B1，2 C1，2 D1，1，2 2命题“x（0，1） ，x2x0”的否定是（ ） Ax（0，1） ，x2x0 Bx（0，1） ，x2x0 Cx（0，1） ，x2x0 Dx（0，1） ，x2x0 3已知在复平面内，复数 z 对应的点是 Z（1，2） ，则复数 z 的共轭复数 （ ） A2i B2+
2、i C12i D1+2i 4函数的图象大致是（ ） A B C D 5设 aR，则“a2a”是“a21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 6已知 A（1，0） 、B（1，2） 、C（1，c） ，若，则 c 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 7已知 a0.50.2，blog0.50.2，clog52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 8下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ） Af（x）sin|x| Bf（x）cos|x| Cf（x）|sin2x| Df（x）|cos2x| 9设函数g（x）f
3、（x）4x1若函数 g（x）在区间（1，1）上有且仅有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 10设 i 为虚数单位，1i，则实数 a 11计算： 12已知体积为 2 的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为 ，则该球的表面积是 13 曲线yex在x0处的切线方程为 ； 若该切线也是曲线ylnx+b的切线， 则b 14已知正实数 a，b 满足 a+b1，则的最小值为 15边长为 a 的菱形 ABCD 满足|+|，则 ；一直线 l 与菱形 ABCD 的两边 AB，AD
4、分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若，则 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b2，ac，B （）求 a； （）求 sinC； （）求 cos（2CB）的值 17 （15 分）设二次函数 f（x）ax2+bx+c（a，bR）满足条件：当 xR 时，f（x）的最大值为 0，且 f（x1）f（3x）成立；二次函数 f（x）的图象与直线 y2 交于 A、B 两点，且|AB|4 （）求 f（x
5、）的解析式； （）求最小的实数 n（n1） ，使得存在实数 t，只要当 xn，1时，就有 f（x+t）2x 成立 18 （15 分）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4C1C1，ABBCB1B2 （）证明：AB1平面 A1B1C1； （）求平面 BCC1与平面 ABB1所成角的正弦值； （）线段 B1B 上是否存在一点 M，使直线 CM 与平面 A1B1C1所成的角的正弦值为，若存在，求BM 的长，若不存在，请说明理由 19 （15 分）已知函数 f（x）sinxcosx 的导数为 f（x） ，函数 g（x）2f（x）f（x
6、） （）求 f（x） ； （）求 g（x）最小正周期及单调递减区间； （）若，不是单调函数，求实数 a 的取值范围 20 （16 分）已知函数 f（x）lnxx，aR （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极大值； （2）求函数 f（x）的单调区间； （3）当 a1 时，设函数 g（x）|f（x1）+x1+|，若实数 b 满足：ba 且 g（）g（a） ，g（b）2g（） ，求证：4b5 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若全集 U1，0，1，2，Ax|（x+2
7、） （x1）0，xZ，则UA（ ） A2 B1，2 C1，2 D1，1，2 【分析】解不等式，求出 A，求出 A 的补集即可 【解答】解：全集 U1，0，1，2， Ax|（x+2） （x1）0，xZx|1，0， 则UA1，2， 故选：B 2命题“x（0，1） ，x2x0”的否定是（ ） Ax（0，1） ，x2x0 Bx（0，1） ，x2x0 Cx（0，1） ，x2x0 Dx（0，1） ，x2x0 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x（0，1） ，x2x0， 故选：B 3已知在复平面内，复数 z 对应的点是 Z（1，2） ，则复数 z 的共轭
8、复数 （ ） A2i B2+i C12i D1+2i 【分析】由已知求得 z，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：由题意可知，z12i， 故选：D 4函数的图象大致是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用当 0 x1 时，f（x）0，利用排除法进行判断即可 【解答】解：f（x）sinxsinx， 则 f（x）sin（x） （sinx）sinxf（x） ， 则 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C，D， 当 0 x1 时，1ex0，则 f（x）0，排除 B， 故选：A 5设 aR，则“a2a”是“a21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必
9、要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】求解两个不等式，利用集合间的关系进行判断 【解答】解：由 a2a 可得 a0 或 a1，记 Aa|a0 或 a1， 由 a21 得 a1 或 a1，记 Ba|a1 或 a1， 显然 B 是 A 的真子集， 所以“a2a”是“a21”的必要不充分条件； 故选：B 6已知 A（1，0） 、B（1，2） 、C（1，c） ，若，则 c 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】先求出（2，2） ，（0，c2） ，再由，能求出 c 的值 【解答】解：A（1，0） 、B（1，2） 、C（1，c） ， （2，2） ，（0，c2） ， ， ，解得 c2 故选：C 7
10、已知 a0.50.2，blog0.50.2，clog52，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【分析】利用指对函数的单调性判断 a，b，c 跟 1 的大小关系，可得结论 【解答】解：a0.50.20.501， 所以 0a1， blog0.50.2log0.50.51， 即 b1， clog52log551， 所以 c1， 故 b 最大， 故选：C 8下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ） Af（x）sin|x| Bf（x）cos|x| Cf（x）|sin2x| Df（x）|cos2x| 【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论 【解答】解：由
11、于 f（x）sin|x|没有周期性，故排除 A； 由于 f（x）cos|x|cosx，它的周期为 2，故排除 B； 由于 f（x）|sin2x|没有周期性，故排除 C； 由于 f（x）|cos2x|cos2x 的周期为， 在区间上，2x（，） ，ycos2x0 且单调递减，故 f（x）|cos2x|单调递增，故 D 正确， 故选：D 9设函数g（x）f（x）4x1若函数 g（x）在区间（1，1）上有且仅有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】构造函数 h（x），则问题转化为 h（x）4mx+m 在区间（1，1）上有且仅有一个根，进一步转化为函数 yh（x）的图象与直
12、线 y4mx+m 在区间（1，1）只有一个交点，利用导数研究曲线的切线问题，确定边界状态的 m 的值，结合图象求解即可得到答案 【解答】解：令 h（x）， 则， 令 g（x）f（x）4x1，即 f（x）4x+1，故， 所以 h（x）4mx+m， 作出函数 h（x）的图象如图所示， 函数 g（x）的零点个数即为函数 yh（x）的图象与直线 y4mx+m 的交点个数， 直线 y4mx+m 过定点， 当直线 y4mx+m 过点（1，1）时，m； 当直线 y4mx+m 与曲线（1x0）相切时， 设切点坐标为， 由 y， 故切线的斜率为， 所以，解得， 则，解得 m1， 结合图象可知，当 m或 m1 时
13、，函数 yh（x）的图象与直线 y4mx+m 只有一个交点， 即函数 g（x）在区间（1，1）上有且仅有一个零点， 所以实数 m 的取值范围是 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。 10设 i 为虚数单位，1i，则实数 a 0 【分析】由题意利用两个复数代数形式的运算法则，两个复数相等的条件，求得 a 的值 【解答】解：i 为虚数单位，1i， 1，且1，实数 a0， 故答案为：0 11计算： 【分析】根据题意，由指数幂、对数的运算性质，直接计算可得答案 【解答】解：根据题意，原式412； 故答案为： 12已知体积
14、为 2 的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为 ，则该球的表面积是 8 【分析】 先求出圆柱的高和半径， 作圆柱的轴截面， 则截面经过球心 O， 由边角关系求解外接球的半径，由球的表面积公式求解即可 【解答】解：圆柱的高 h 为圆柱的体积除以圆柱的底面积， 所以 h， 设圆柱底面半径为 r， 则底面面积为 r2，解得 r1， 这个球是这个圆柱的外接球， 作圆柱的轴截面，则截面经过球心 O，如图所示， OA 为球的半径 R， 则 AB1，AC1，ROA， 故球的表面积为 4R2428 故答案为：8 13曲线 yex在 x0 处的切线方程为 yx+1 ；若该切线也是曲线 ylnx+b 的切线，
15、则 b 2 【分析】根据导数的几何意义即可求出切线方程 【解答】解：yex， yex， ky|x01， 当 x0 时，y1， 曲线 yex在 x0 处的切线方程为 y1x，即 yx+1； yx+1 也是曲线 ylnx+b 的切线， 由 ylnx+b， y1， 解得 x1， 当 x1 时，y2， 即曲线 ylnx+b 的过点（1，2） 2ln1+b， 解得 b2， 故答案为：yx+1；2 14已知正实数 a，b 满足 a+b1，则的最小值为 【分析】先得到+2，再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：a+b1，+2， a+b1，a+（b+1）2， +（+）a+（b+1）（+5
16、）（2+5）， 当且仅当，即 a，b时取等号， 的最小值为2 故答案为： 15边长为 a 的菱形 ABCD 满足|+|，则 0 ；一直线 l 与菱形 ABCD 的两边 AB，AD分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若，则 【分析】 由菱形 ABCD 满足|+|， 得， 可得菱形 ABCD 为正方形， 则可求；再由已知把用表示，利用 E、M、F 三点共线，得 2（）+（3）1，从而求得 的值 【解答】解：菱形 ABCD 满足|+|， 可知菱形 ABCD 为正方形，则 ABAD，0； 由， 得 ， E、M、F 三点共线，2（）+（3）1， 即 251，则 故答案为：0； 三、解答题：
17、本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b2，ac，B （）求 a； （）求 sinC； （）求 cos（2CB）的值 【分析】 （）由余弦定理可得 a 的值； （）由（）可得 C 的余弦值，再由同角的正余弦的平方和为 1，及三角形中正弦的范围求出 C 的正弦值； （）由（）可得 2C 的正余弦值，B 的正余弦值，再由两角差的余弦公式展开求出 2CB 的余弦值 【解答】解： （）因为 ac，所以 ca， 由余弦定理可
18、得 cosB，B，b2， 即，解得 a6， 所以 a 的值为 6； （）由（）可得 a6，c4， 由余弦定理可得：cosC， 所以在ABC 中，sinC； （）由题意可得 cosBcos， 由（）可得 sin2C2sinCcosC2， cos2C2cos2C121， 所以 cos（2CB）cos2CcosB+sin2CsinB+， 所以 cos（2CB）的值为 17 （15 分）设二次函数 f（x）ax2+bx+c（a，bR）满足条件：当 xR 时，f（x）的最大值为 0，且 f（x1）f（3x）成立；二次函数 f（x）的图象与直线 y2 交于 A、B 两点，且|AB|4 （）求 f（x）的解
19、析式； （）求最小的实数 n（n1） ，使得存在实数 t，只要当 xn，1时，就有 f（x+t）2x 成立 【分析】 （）根据题意可假设 f（x）a（x1）2 （a0） ，令 a（x1）22，x1，求解即可得出解析式 （）利用不等式解得t1x，又 f（x+t）2x 在 xn，1时恒成立，转化为令 g（t）t12，易知 g（t）t12单调递减， 所以，g（t）g（4）9，得出 n 能取到的最小实数为9 【解答】解： （）由 f（x1）f（3x）可知函数 f（x）的对称轴为 x1， 由 f（x）的最大值为 0，可假设 f（x）a（x1）2 （a0） 令 a（x1）22，x1，则易知 24，a 所以
20、，f（x）（x1）2 （）由 f（x+t）2x 可得，（x1+t）22x，即 x2+2（t+1）x+（t1）20， 解得t1x， 又 f（x+t）2x 在 xn，1时恒成立， 可得由（2）得 0t4 令 g（t）t12，易知 g（t）t12单调递减， 所以，g（t）g（4）9， 由于只需存在实数，故 n9，则 n 能取到的最小实数为9 此时，存在实数 t4，只要当 xn，1时，就有 f（x+t）2x 成立 18 （15 分）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4C1C1，ABBCB1B2 （）证明：AB1平面 A1B1C1；
21、（）求平面 BCC1与平面 ABB1所成角的正弦值； （）线段 B1B 上是否存在一点 M，使直线 CM 与平面 A1B1C1所成的角的正弦值为，若存在，求BM 的长，若不存在，请说明理由 【分析】 （）只要证明 AB1垂直于平面 A1B1C1内两相交直线； （）寻找平面 BCC1与平面 ABB1所成角的平面角ABC； （）根据 AB1是平面 A1B1C1的法线，再用余弦定理建立方程，解方程求解 【解答】 （）证明：取 A1A 中点 N，连接 B1N，则 ANB1B2， A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，所以 A1AB1BC1C， 所以四边形 ABB1N 是矩形，所以 B1NAB2
22、， 所以 A1B12，所以A1B1A45+4590， 所以 AB1A1B1， 同理 B1C1，又因 AC22sin602，所以 AC1， 于是，所以 AB1B1C1， 因为 A1B1B1C1B1，所以 AB1平面 A1B1C1 （）解：因为 B1B平面 ABC，所以 B1BAB，B1BBC， 所以平面 BCC1与平面 ABB1所成角的平面角为ABC120， 所以平面 BCC1与平面 ABB1所成角的正弦值为 sin120sin60 （）解：假设线段 B1B 上存在一点 M，使直线 CM 与平面 A1B1C1所成的角的正弦值为，设成角为，BMt， 在 AB 上取点 D，使 BDBM，连接 CD，
23、 由（）知 AB1是平面 A1B1C1的法线， 设AB1与CM成 角 为 ， 则cos |cos DMC| | |， 因为+90， 所以sincos， 所以有， 整理得24t250t+210， 解得t或 所以线段B1B 上存在一点M， 使直线CM与平面A1B1C1所成的角的正弦值为， BN的长度为或 19 （15 分）已知函数 f（x）sinxcosx 的导数为 f（x） ，函数 g（x）2f（x）f（x） （）求 f（x） ； （）求 g（x）最小正周期及单调递减区间； （）若，不是单调函数，求实数 a 的取值范围 【分析】 （I）直接求导可得； （II）化简 g（x）2sin（2x） ，可
24、求最小正周期和单调减区间； （III）由 h（x）2sin（2x）ax，得 h（x）4cos（2x）a，先求单增和单减时的 a 的范围，再求得不单调时 a 的范围 【解答】解： （I）由函数 f（x）sinxcosx，得 f（x）cos2xsin2xcos2x； （II）g（x）2sinxcosxcos2xsin2xcos2x2sin（2x） ， 所以 g（x）最小正周期为 T； 由 2k+2x2k+，得 k+xk+， 所以 g（x）单调递减区间为k+，k+kZ； （III）由 h（x）2sin（2x）ax，得 h（x）4cos（2x）a， 当 4cos（2x）a0 时，a4cos（2x）对
25、x，恒成立时函数单调递增， 当 4cos（2x）a0 时，a4cos（2x）对 x，恒成立时函数单调递减， 又当 x，时，4cos（2x）4，2， 所以 a4 或 a2 时，函数 h（x）2sin（2x）ax 在，上为单调函数， 所以，不是单调函数时实数 a 的取值范围（4，2） 20 （16 分）已知函数 f（x）lnxx，aR （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极大值； （2）求函数 f（x）的单调区间； （3）当 a1 时，设函数 g（x）|f（x1）+x1+|，若实数 b 满足：ba 且 g（）g（a） ，g（b）2g（） ，求证：4b5 【分析】 （1）求导数，利用极值的定义，可
26、得函数 f（x）的极大值； （2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数 f（x）的单调区间； （3）先证明（a1） （b1）1，进而可得 b1令 b1t（t1） ，整理，得t33t2t10记 h（t）t33t2t1，h（t）在（1，1+）单调减，在（1+，+）单调增，又因为 h（3）0，h（4）0，即可得出结论 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） （1）当 a0 时，f（x）lnxx，f（x）1， 令 f（x）0 得 x1 （1 分） 列表： x （0，1） 1 （0，+） f（x） + 0 f（x） 极大值 所以 f（x）的极大值为 f（1）1 （3 分） （2）f（x）
27、 令 f（x）0 得x2+x+a0，记1+4a （）当 a时，f（x）0，所以 f（x）单调减区间为（0，+） ； （）当 a时，导数为零的根是，函数在（0，+）单调减 （iii）当 a时，由 f（x）0 得 x1，x2， 若a0，则 x1x20， 由 f（x）0，得 0 xx2，xx1；由 f（x）0，得 x2xx1 所以，f（x）的单调减区间为（0，） ， （，+） ，单调增区间为（，） ； （7 分） 若 a0，由（1）知 f（x）单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） ； 若 a0，则 x10 x2， 由 f（x）0，得 xx1；由 f（x）0，得 0 xx1 f（x）的单调
28、减区间为（，+） ，单调增区间为（0，） （9 分） （3）g（x）|ln（x1）|（x1） 由 g（）g（a） ，得 ln|ln（a1）| 1ab，b1a1（舍） ，或（a1） （b1）1 b2 （12 分） 由 g（b）2g（）得|ln（b1）|2|ln（a1）+（b1）（*） 因为1， 所以（*）式可化为 ln（b1）2ln（a1）+（b1）， 即 b1 （14 分） 令 b1t（t1） ，整理，得 t44t3+2t2+10 记 h（t）t44t3+2t2+1，h（t）4t（t23t+1） ，令 h（t）0 得 t（舍） ，t，列表： t （1，） （，+） h（t） + h（t） 所以，h（t）在（1，）单调减，在（，+）单调增， 又因为 h（3）0，h（4）0，所以 3t4，从而 4b5 （16 分）
