1、江苏省常州市六校2021-2022学年高二上学期期中联考数学试卷一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分.1. 过点，的直线的倾斜角为（ ）A. 60B. 45C. 135D. 302. 已知直线，若，则的值为（ ）A B. 4C. 4D. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 4. 已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数为（ ）A. 2B. C. D. 5. 已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点 作准线的垂线，垂足为 ，若为等边三角形，则抛物
2、线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 7. 已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. xy+10B. x+y3C. 2xy0D. x+y+2010. 若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C的长轴长为C. C的短
3、轴长为4D. C的离心率为11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ）A. 若在直线上，则四边形OAPB面积有最小值2B. 四点O、A、P、B共圆C. 直线AB的方程为D. 若，则最大值为12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题
4、中正确的是（ ）A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则 的面积不大于三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线和抛物线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于_14. 写出一个同时具有下列性质的直线l的方程：_.直线l经过点；直线l与x，y轴所围成的面积为.15. 直线与曲线有且只有一个公共点，则b取值范围是_.16. 已知椭圆：上存在，两点关于直线对称，且线段的中点在抛物线上，则实数的值为_.四、解答题:本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知两条直线=0.（1
5、）求证:直线过定点，并求出该定点坐标；（2）若a=0，直线l与垂直，且_，求直线l的方程.从以下三个条件中选择一个补充在_上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件:直线l过坐标原点；条件:坐标原点到直线l的距离为1；条件:直线l与交点的横坐标为2.18. 已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C的方程.19. 已知圆，直线与圆O相交于A，B两点，且A点在第一象限（1）求；（2）设是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为，点P关于x轴的对称点为，如果直
6、线与y轴分别交于和问是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足（1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由21. 年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距
7、离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？22. 设抛物线的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的两点A和B.（1）若|FA|=3，求点A的坐标；（2）若m=2，求证:原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；（3）若|FA|=|FM|，且直线，与抛物线有且只有一个公共点E，问:OAE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.江苏省常州市六校2021-2022学年
8、高二上学期期中联考数学试卷一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分.1. 过点，的直线的倾斜角为（ ）A. 60B. 45C. 135D. 30【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率公式求得，得到，即可求解.【详解】设过点的直线的倾斜角为，因为，由斜率公式得，即，所以.故选：B.2. 已知直线，若，则的值为（ ）A. B. 4C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】由可得解得，然后再检验,得出答案.【详解】因为，所以.当时，两直线重合，所以舍去.当时，符合题意.所以.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线和直线平行求参数的值时，除了要计算，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行
9、检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题3. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把双曲线方程中右边的常数改为0，化简即得【详解】双曲线的渐近线方程为，即故选：C4. 已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得解【详解】由题意，由于圆半径为，则圆心到直线的距离，得，故选：C5. 已知椭圆：的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出
10、图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案【详解】如图， 由题意可得，则2b2c2，即2（a2c2）c2，则2a23c2，即e故选D【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6. 如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点 作准线的垂线，垂足为 ，若为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】设抛物线方程为，则，将代入抛物线方程得， ，由于为等边三角形，故，即，解得.7. 已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然
11、后通过几何意义求得最大值【详解】由，消去参数得，所以在以为圆心，为半径的圆上，又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，的最大值为故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和8. 已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】曲线右焦点为，周长 要使周长最小，只需 最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a= 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.二、选择题:本题共4小题，每
12、小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. xy+10B. x+y3C. 2xy0D. x+y+20【答案】AC【解析】【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为，故选：AC10. 若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C的长轴长为C. C的短轴长为4D. C的离心率为【答案】AB
13、【解析】【分析】由题意可得，从而可求出的值，进而可求出的值和离心率【详解】由已知可得，解得或（舍去），长轴长为，短轴长为，离心率为，故选：AB11. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（ ）A. 若在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2B. 四点O、A、P、B共圆C. 直线AB的方程为D. 若，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】求出圆心到直线的距离后可求四边形OAPB的面积有最小值，故可判断A的正误，利用对角为一对直角可判断B的正误，利用切点弦的计算方法可判断C的正误，利用向量的数量积可求得，从而可求的最大值，故可判断D的
14、正误.【详解】对于A，而，故，所以四边形OAPB的面积有最小值，故A错误.对于B，因为，故四点O、A、P、B共圆，故B正确.对于C，由B得到在以为直径的圆上，此圆的方程为：，故即，故C正确.对于D，因为，故即，所以即，故，故即，当且仅当，故的最大值为.故选：BCD12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹
15、，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则 的面积不大于【答案】BCD【解析】【分析】动点坐标为，根据题意可得曲线的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论【详解】由题意设动点坐标为，则，即，若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A错误；把方程中x被代换，y被代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；若点P在曲线C上
16、，则，当且仅当时等号成立，故的面积不大于，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线和抛物线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到此直线的距离等于_【答案】【解析】【分析】根据交点可求出，再根据点到直线的距离公式即可解出【详解】由题意可知，解得，解得，所以抛物线的焦点到此直线的距离等于故答案为：14. 写出一个同时具有下列性质的直线l的方程：_.直线l经过点；直线l与x，y轴所围成的面积为.【答案】（或）【解析】【分析】设出直线方
17、程，求出直线与坐标轴的交点，根据面积可求出答案.【详解】设直线l的方程为，令，解得，令，解得.所以直线与x，y轴所围成的面积为，则或，解得或，所以的方程为或.故答案为：（或）15. 直线与曲线有且只有一个公共点，则b的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据图形表示当直线与半圆有一个交点时，求的取值范围.【详解】曲线化简为 ，所以曲线表示如图的半圆，直线表示斜率为1的平行线，当直线与半圆只有一个公共点时，直线与半圆相切时，有一个交点，此时，解得：，或（舍）当直线过点时，有两个交点，此时，当直线过点时，有一个交点，此时，根据图象可知，当直线有一个交点时，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查
18、直线与圆相交问题，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型，本题的关键是正确画出对应的图形.16. 已知椭圆：上存在，两点关于直线对称，且线段的中点在抛物线上，则实数的值为_.【答案】或#0或【解析】【分析】由题意，设：，的中点，联立直线AB方程和椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得，代入抛物线方程可求t，从而即可得m的值【详解】解：因为所在的直线与直线垂直，所以设：，的中点，联立，得，设，则有，所以，得，将代入抛物线方程中得，所以或，所以或，因为点在直线上，所以得或，故答案为：或.四、解答题:本题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知两条直线=0.（1）
19、求证:直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）若a=0，直线l与垂直，且_，求直线l的方程.从以下三个条件中选择一个补充在_上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件:直线l过坐标原点；条件:坐标原点到直线l的距离为1；条件:直线l与交点的横坐标为2.【答案】（1）证明见解析，定点为 （2）答案见解析【解析】分析】（1）变换方程得到，得到，解得答案.（2）考虑选择条件，条件，条件，根据题意计算直线方程，结合唯一性得到答案.【小问1详解】，即，则，故直线过定点.当时，代入验证成立.【小问2详解】当时，直线斜率为，则直线的斜率为，设直线方程为：，即.选择条件：，则直线方程为，满足条件；
20、选择条件：，解得，不唯一，不满足；选择条件：，故交点为，代入直线方程得到，故直线方程为：.综上所述：选择条件或，可得直线方程为.18. 已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立两圆方程求出弦AB所在直线的方程；（2）由求出的坐标，设，利用距离公式得出半径和圆心坐标，从而得出圆的方程.【详解】（1）由，得故弦AB所在直线的方程为（2）由，解得或故设圆心，由，解得，即，故圆C的方程为19. 已知圆，直线与圆O相交于A，
21、B两点，且A点在第一象限（1）求；（2）设是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为，点P关于x轴的对称点为，如果直线与y轴分别交于和问是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由【答案】（1）2 （2）为定值4【解析】【分析】（1）先求出圆心(0,0)到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值；（2）写出坐标，用表示直线方程，继而得到，结合，可得，即得解.【详解】（1）由于圆心到直线的距离.圆的半径，所以.（2）由题意或又A点在第一象限，可得由，则，令，令故为定值，定值为4.20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足（1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与
22、轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在；【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆定义求出，则椭圆方程可得；（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为：，设，联立直线和椭圆方程 ，求出，代入计算即可.【详解】解：（1）由已知得得所以椭圆的方程为；（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为：，当时，必有，可取任意值，当时，设联立：得显然，因为，所以，即即，解得综上所述：存在点满足题意21. 年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示
23、，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【答案】（1）；（2）没有.【解析】【分析】（1）设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，分析取值，即得解双曲线的方程，由可得P点坐标.（2）转化机器鼠与直线最近的距
24、离为与直线平行的直线与双曲线相切时，平行线间的距离，设的方程为，与双曲线联立，求出的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点，、，由题意可得，即，可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，设其方程为：（，），则、，则的轨迹方程为：（）， 时刻时，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）由题意，直线，设直线的平行线的方程为， 联立，可得：，解得， 又，即：与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.22. 设抛物线的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m，0)的直线l交r于不同的
25、两点A和B.（1）若|FA|=3，求点A的坐标；（2）若m=2，求证:原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；（3）若|FA|=|FM|，且直线，与抛物线有且只有一个公共点E，问:OAE的面积是否存在最小值?若存在，求出最小值，并求出M点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）证明见详解. （3）存在，最小值为2， M点的坐标为【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，根据平面向量夹角公式，结合一元二次方程根与系数关系以及圆的性质进行证明即可；（3）根据平行的关系设出的方程，根据与抛物线的位置关系，结合一元二次方程根的判别式、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】设，抛物线的准线方程为：，焦点，因为，所以，所以；小问2详解】，所以设直线l的方程为：，与抛物线方程联立得：，设，则，且，所以为钝角，由圆的性质可得原点O总在以线段AB为直径的圆的内部【小问3详解】不妨设，因为，所以或（舍去），因为直线，所以直线的斜率也为，设该直线的方程为：，与抛物线方程联立得：，因为与抛物线有且只有一个公共点E，所以有，此时，所以，的面积为，当且仅当时取等号，即当时取等号，而，所以解得，因此的面积存在最小值2， M点的坐标为.
