1、江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）A. 5B. C. 3D. 3或2. 两条平行线与的距离为（ ）A. B. C. D. 3 已知数列中，()，则（ ）A. B. C. D. 24. 经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 26. 若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 7. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子
2、算经中“物不知数”问题解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则这个新数列各项之和为（ ）A. 1666B. 1676C. 1757D. 26468. 在平面直角坐标系中，已知定点，若在圆上存在点P，使得为直角，则实数m的最大值是（ ）A. 15B. 25C. 35D. 45二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中
3、，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（ ）A. B. C. D. 10. 设直线l过点，点和到l的距离相等，则直线l的方程可以为（ ）A. B. C. D. 11. 等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是真命题的有（ ）A. 若有最大值，则数列的公差小于0B. 若，则使的最大的n为18C. 若，则中最大D. 若，则数列中的最小项是第9项12. 已知圆，点P在直线上，过P作圆O的两条切线，A，B是切点，下列命题中正确的结论有（ ）A. 圆O上不存在到直线l的距离为1的点B.
4、切线长PA的最小值为C. 直线l上存在点P，使D. 四边形PAOB面积最小值为三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设数列的前n项和为，且满足，则_.14. 在直线上一点P到点，两点距离之和最小，则点P的坐标为_.15. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点，距离之比为，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为_；若轨迹C上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是_.16. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是_.四解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知的顶点，边AB上的中线为，边AC上的高BH
5、所在直线为.（1）求点B，C的坐标；（2）求的面积.18. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.（1）求数列和数列的通项公式；（2）为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，）19. 已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）当时
6、，记，求数列的前n项和.20 已知直线.（1）求证：直线经过定点，并求出定点P；（2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.21. 已知数列的首项为2，前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.22. 如图，已知圆与x轴交于A，B两点（A在B的左方），直线.（1）若直线l与圆O相切，求直线l的方程；（2）若，点C为直线l上一动点（不在x轴上），直线CA，CB与圆的另一交点分别为P，Q.证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷一选择题：本题共8小
7、题，每小题5分，共40分.1. 若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）A. 5B. C. 3D. 3或【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【详解】解：设该等比数列公比为q，数列1，a，b，c，9是等比数列，故，解得，故选：C2. 两条平行线与的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线间距离公式求解即可.【详解】解：将直线化为，所以两条平行直线间的距离为，故选：D.3. 已知数列中，()，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由递推关系确定数列的周期，运算即可得解.【详解】因为，()，所以
8、，所以数列的周期为3，又，所以.故选：A.4. 经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分两种情况：过原点和不过原点进行讨论，结合直线的截距式方程解题【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即；若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：，把点代入可得：，解得直线方程为：，即综上可得满足条件的直线的条数为2故选：B5. 若等差数列的前n项和为，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的求和公式即可得出.【详解】设等差数列的公差为，化为：，故选：C6. 若直线l的方向向量
9、是，则直线l的倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率，求出k的取值范围，求出的取值范围即可.【详解】解：若直线l的方向向量是，则直线l的斜率，所以，则或.故选：D.7. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则这个新数列各项之和为
10、（ ）A. 1666B. 1676C. 1757D. 2646【答案】A【解析】【分析】将问题转化为既是4的倍数，也是6的倍数，也即是12的倍数，从而得到的表达式，利用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】解：由题意可知数列即是4的倍数，又是6的倍数，因此数列是以2为首项，以12为公差等差数列，因此，设新数列前n项和，则.故选：A.8. 在平面直角坐标系中，已知定点，若在圆上存在点P，使得为直角，则实数m的最大值是（ ）A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】D【解析】【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以，两点为直径的圆的方程为，设圆心为N，所以，半径为，
11、若在圆上存在点P，使得为直角，则圆M与圆N有公共点，又圆，所以，半径为，所以，故，解得，所以m的最大值为45.故选：D二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C，故C正确；对于D，故D错误故选：ABC10. 设直线l过点，点和到l的距离相等，则直线l的方程可以为（ ）A. B. C.
12、D. 【答案】BD【解析】【分析】可知当直线平行于直线MN时，或过MN的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程.【详解】解：当直线平行于直线MN时，或过MN的中点时满足题意，当直线平行于直线MN时，所求直线的斜率为，故直线方程为，即；当直线过MN的中点时，斜率为，故直线方程为，即；所求的直线方程为：或.故选：BD.11. 等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是真命题的有（ ）A. 若有最大值，则数列的公差小于0B. 若，则使的最大的n为18C 若，则中最大D. 若，则数列中的最小项是第9项【答案】ACD【解析】【分析】由等差数列的性质对4个选项依次判断即可.【详解】对于选项A，
13、有最大值， 等差数列一定有负数项，等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，且，则使的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，故中最大，故选项C正确；对于选项D，故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：ACD12. 已知圆，点P在直线上，过P作圆O的两条切线，A，B是切点，下列命题中正确的结论有（ ）A. 圆O上不存在到直线l的距离为1的点B. 切线长PA的最小值为C. 直线l上存在点P，使D. 四边形PAOB面积的最小值为【答案】BC【解析】【分析】求出点O到直线l的距离与比较大小，即可判断选项A；求出PO的最小值，然后由勾股定理即可求出PA的最小值，即可判断选项B
14、；当时，取得最大值，求出此时是否大于60，即可判断选项C；当PA最小时，四边形PAOB的面积最小，求解即可判断选项D.【详解】对于A，圆，则圆心，半径，所以点O到直线的距离为，则圆O上存在到直线l的距离为1的点，故选项A错误；对于B，切线长，所以当PO最小时，切线长PA最小，因为PO的最小值为，所以PA的最小值为，故选项B正确；对于C，为锐角，故当最小时，取得最大值，即当时，取得最大值，在中，所以，则，所以直线l上存在点P，使，故选项C正确；对于D，当PA最小时，的面积最小，则四边形PAOB的面积最小，所以四边形PAOB面积的最小值为，故选项D错误.故选：BC.三填空题：本题共4小题，每小题5
15、分，共20分.13. 设数列的前n项和为，且满足，则_.【答案】46【解析】【分析】利用累加法求得数列的通项公式，将代入，即可求得.【详解】由，则，以上各式相加，得，故，.故答案为：46.14. 在直线上一点P到点，两点距离之和最小，则点P的坐标为_.【答案】【解析】【分析】求出A关于直线的对称点为C，则P为直线BC与直线l的交点时，满足条件，进而得到答案.【详解】易知：，在直线同侧，若上一点P到，两点距离之和最小，设关于直线的对称点为，解得，即，直线BC为，故直线BC与直线l的交点为，P的坐标为.故答案为：.15. 在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点，的距离之比为，设点P的轨迹为C，
16、则轨迹C的方程为_；若轨迹C上有且只有四个点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】设动点，利用两点间距离公式结合题意，列式化简即可得到轨迹方程；确定轨迹C圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得时符合题意，列式求解即可.【详解】设动点，由P到，的距离之比为，则，整理得：，故轨迹C的方程为；轨迹C是以为圆心，半径的圆，则C到的距离为，当时，圆上恰有3个点到直线的距离为1，若圆C上有且只有四个点到直线的距离为1，则，解得，实数m的取值范围为.故答案为：；.16. 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先
17、由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.【详解】由，当时，两式相减可得：，由，显然成立，设，当时，当时，因此，数列单调递增，当时，数列单调递减，由，故当或时，数列取最大值，且最大值为，对任意，所有的正整数n都有成立，可得，因此，即对任意恒成立，由，当且仅当，即时取最小值，则，实数k的取值范围是.故答案为：.四解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知的顶点，边AB上的中线为，边AC上的高BH所在直线为.（1）求点B，C的坐标；（2）求的面积.【答案】（1
18、）， （2）7【解析】【分析】（1）设出B点的坐标，及A，B中点坐标，再联立BH的方程即可求出B点，先求出AC的方程，再联立AB边上的中线方程，即可求出C点，（2）由两点间的距离公式和点到直线的距离公式即可求面积.【小问1详解】设，且B在直线BH上，代入得：，由题设，A，B的中点为，且D在AB中线上，即，联立得：，即，由题意，故，AC所在的直线方程为，又C在，联立得：，即.【小问2详解】由题设，B到直线AC的距离为，故的面积为7.18. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年
19、增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.（1）求数列和数列的通项公式；（2）为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，）【答案】（1）， （2），今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨【解析】【分析】（1）由题意，分析得到数列是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，由此求解即可；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可.【小问1详解】由题意，从今年起每年生
20、活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；是以为首项，1.5为公差的等差数列，.【小问2详解】设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为，当时，.今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.19. 已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）当时，记，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）前n项和为【解析】【分析】（1）由已知递推式构造，分类讨论，结合等比数列的通项即可得解； （2）求出，利用裂项求和法即可求数列的前n项和.【小问1详解】由，可得，又，当时，；当时，数列是首项为，
21、公比为3的等比数列，则，；综上，；【小问2详解】当时，的前n项和：.20. 已知直线.（1）求证：直线经过定点，并求出定点P；（2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.【答案】（1）证明见解析，定点 （2）【解析】【分析】（1）将直线l的方程改写为，令，且，解方程组即可.（2）设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线，把B的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线的方程.【小问1详解】证明：将直线l的方程
22、改写为，令，且，两式联立，解得，所以直线过定点.【小问2详解】如图，设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，设点A，B的坐标分别是，则有，又A，B两点分别在直线，上，所以，由以上四个式子解得，即，所以直线AB的方程为.21. 已知数列的首项为2，前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用及等比数列的定义即可得出；（2）利用等差数列的通项公式求出；再由“错位相减法”和等比数列的前n项和公式证明结论.【小问1详解】时，由，得，两式相减可得：，时，数列是首项为2，公比
23、为2的等比数列，则.【小问2详解】由（1）可知，故.令，则，即.22. 如图，已知圆与x轴交于A，B两点（A在B的左方），直线.（1）若直线l与圆O相切，求直线l的方程；（2）若，点C为直线l上一动点（不在x轴上），直线CA，CB与圆的另一交点分别为P，Q.证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.【答案】（1） （2）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）由条件求出A，B坐标，由相切关系列出方程，求m可得直线方程；（2）分别将直线CA，CB与圆的方程进行联立，求出P，Q坐标，表示出直线PQ，可确定直线所过的定点.【小问1详解】因为已知圆与x轴交于A，B两点（A在B的左方），令得，所以，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即，解得，所以直线l的方程为.【小问2详解】，则直线，设，所以直线AC方程：，直线BC的方程：，设AC与圆交于联立直线AC与圆的方程得，解得（负值舍去），所以，设直线BC与圆交于，同理可得，所以，所以，直线PQ的斜率，代入P，Q两点坐标，整理得，代入P点到直线，解得，所以直线l的方程为，所以直线恒过定点.
