1、广东省深圳市2020-2021学年高一上期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 2. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，将水注入下面四种容器中，注满为止.如果注水量V与水深h函数关系的图象如右图所示，那么容器的形状是（ ）A. B. C. D. 5. 已知是定义在R上的奇函数是单调函数，且，则（ ）A. B. C. D. 6. 设函数，若，则实数的值为（ ）A. 或B. C. 或D. 或17.
2、已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）A. 6B. C. D. 38. 几何原本卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以直接完成的无字证明为 （ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）：9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与10. 有以下说法，其中正确的为（ ）A
3、. “x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件B. “”是“”的必要条件C. “”是“”的必要条件D. “”是“”的充分不必要条件11. 集合，之间的关系表述正确的有（ ）A. B. C. D. 12. 设，且，那么（ ）A. 有最小值B. 有最大值C. ab有最大值D. ab有最小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数，则的定义域是_.14. 已知y=f(x)是奇函数，当x0时， ，则f(-8)值是_.15. 定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为_.16. 不等式对一切恒成立，则实数a取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的
4、文字说明、证明过程及演算步骤17. 已知集合（1）若，求；（2）在，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围18. 已知幂函数的图象经过点.（1）求实数a的值；（2）用定义法证明在区间上是减函数.19. 已知二次函数满足，.（1）求解析式；（2）设，若在区间上是增函数，求实数的取值范围.20. 已知命题：“，使得”为假命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.21. 某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表
5、示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润;如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?22. 已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，都有.（1）若，求实数a取值范围；（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.广东省深圳市2020-2021学年高一上期中联考数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
6、由题意可知，、都不是集合中元素，再结合可得出集合.【详解】因为全集，所以，、都不是集合中的元素，因此，.故选：D.2. 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可【详解】解：对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意；对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意；对于C，为偶函数，所以C不合题意；对于D，由于，所以为非奇非偶函数，所以D不合题意，故选：B3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
7、【分析】根据不等式的性质或列举特殊值，判断选项.【详解】A.当时，所以A不正确；B.当时，故B不正确；C. 当时，故C不正确；D.当时，不等式两边同时乘以-2，得，故D正确.故选：D4. 如图，将水注入下面四种容器中，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么容器的形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用特殊值分析，当时，它的纵坐标对应的值与容器容积的一半进行比较，从而即可排除一些选项，得到正确答案【详解】解：由题意得，考虑当向高为的容器中注水为高的一半时，注水量与水深的函数关系，如图所示，此时注水量与容器容积关系是：容器的容积的一半，只
8、有A选项符合题意，故选：A【点睛】此题考查函数的图像分析，注意分析题干中函数的图像的横纵轴，属于基础题5. 已知是定义在R上的奇函数是单调函数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由是R上的奇函数，得到，再由是单调函数，且，得到的单调性求解.【详解】是R上的奇函数，又是单调函数，且，上单调递减，.故选：B6. 设函数，若，则实数的值为（ ）A. 或B. C. 或D. 或1【答案】B【解析】【分析】分a 0和a 0两种情况解方程求出a.【详解】当a 0时，可化：，解得：a=-2，不合题意，舍去；当a 0时，可化为：，解得：a=（正根舍）.故选：B【点睛】解分段函数型方程
9、的方法步骤：（1）找到给定自变量所在的区间；（2）将自变量带入解析式求解.7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）A. 6B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】根据关于的一元二次不等式的解集为，得到a，b是方程的两根，则有，进而得到，然后利用“1”的代换转化，再利用基本不等式求解.【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以a，b是方程的两根，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号，故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 几何原本卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通
10、过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以直接完成的无字证明为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形可知：，在中，由勾股定理可得：利用即可得出【详解】解：由图形可知：，在中，由勾股定理可得：，故选：二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）：9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】BD【解析】【分析】若两个函数的定义域和对应关系相同，则两
11、函数就是同一个函数，所以分别求各选项中两函数的定义域，若定义域相同，再判断对应关系是否相同即可【详解】对于A：与的对应关系不同，因此不是同一函数；对于B：与是同一函数；对于C：与，（），定义域不同，因此不是同一函数；对于D：与，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数.故选：BD10. 有以下说法，其中正确的为（ ）A. “x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件B. “”是“”的必要条件C. “”是“”的必要条件D. “”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】【分析】A.由判断；B.由交集的定义判断；.C.由的根判断；D.由不等式的解判断.【详解】A是有理数为有理数，不正确B，反之不成
12、立，因此“”是“”的充分不必要条件，不正确C由，或，反之不成立，因此：“”是“”的必要条件，正确；D “”或，所以，因此正确故选：CD.11. 集合，之间的关系表述正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据集合元素的属性判断集合的关系.【详解】表示被3整除余1的数的集合；表示被3整除余1的数的集合；，表示被6整除余1的集合；故，.故选：ABC12. 设，且，那么（ ）A. 有最小值B. 有最大值C. ab有最大值D. ab有最小值【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式和，将条件等式转化为不等式，根据不等式的结果判断选项.详解】，当时取等号，解得，ab有最小值；
13、，当时取等号，解得，即，有最小值.故选：AD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数，则的定义域是_.【答案】【解析】【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可【详解】解：由，得
14、且定义域是.故答案为：14. 已知y=f(x)是奇函数，当x0时， ，则f(-8)的值是_.【答案】【解析】【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15. 定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性及奇偶性，分类讨论即可求解，也可数形结合写出答案.【详解】在R上的偶函数在上是增函数在递减，又，不等式讨论如下：当时，显然不成立；当时，所以，综上，.或者图象法：可得.故答案为：16. 不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分
15、析】转化条件为对于恒成立，令，分离常数后即可判断函数的单调性，即可得解.【详解】对一切恒成立，对于恒成立，令，则，而在时单调递增，故在时取得最小值，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17. 已知集合（1）若，求；（2）在，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围【答案】（1）或；（2）三个条件任选一个，结论都是【解析】【分析】（1）求出集合，由并集定义计算；（2）选择任何一个作为条件都得出，由此可得的范围【详解】（1），又，或；（2）选，选，选，18. 已知幂函数的图象经过点.（1）求实数a的值；（2）用定义法证明在区间
16、上是减函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式运算即可得解；（2）利用函数单调性的定义，任取，且，通过作差证明即可得证.【详解】（1）的图象经过点，即，解得，（2）证明：由（1）得任取，且，则，且，即，在区间内是减函数.19. 已知二次函数满足，.（1）求的解析式；（2）设，若在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出二次函数解析式，根据已知条件列方程组，解方程组求得，由此求得解析式.（2）根据二次函数单调性、对称轴、最小值列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）设，则，；（2）依题意可知，由在区间上是增函
17、数得，在上为增函数且恒大于等于0，故，且，则.【点睛】求解二次函数解析式，主要是根据已知条件求得.二次函数单调性主要看开口方向和对称轴.20. 已知命题：“，使得”为假命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）或【解析】【分析】（1）写出命题的否定得恒成立，列出满足条件的不等式即可求解；（2）根据题意知集合是集合的真子集，分类讨论，分别列出满足的不等式求解即可.【详解】（1）命题“，使方程”是真命题.只需，解得，于是可得： （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集.当时，不合题意，当时，由AB可得：，解得；
18、当时，由AB可得：，解得； 综上或.【点睛】本题主要考查了存在性命题的否定，二次不等式恒成立，由包含关系求参数，属于中档题.21. 某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润;如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】（1）不会，政府每
19、月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（2）400吨.【解析】【分析】（1）设该项目获得的利润为Q（元），由题意有，.根据二次函数的性质求得最大值，可得结论；（2）设每吨的平均处理成本为（元），得出平均处理成本的分段函数，分别求得最小值，比较可得结论.【详解】解：（1）设该项目获得的利润为Q（元），当时，则有，.显然，该项目不会获利. 当时，.政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损； （2）设每吨的平均处理成本为（元），则有.当时，.240;当时，.当且仅当，即时，等号成立.，项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.22. 已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，都有.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方法，求得的取值范围.【详解】（1）设任意，满足，由题意可得，即，在定义域上增函数.则可化为，解得，a的取值范为.（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，对任意的都恒成立，恒成立，即对任意的都恒成立，令，则只需，解得，的取值范围.【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号.
