1、浙江省瑞安重点中学2020年高一上期中数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共4分.）1. 设集合，则集合M和集合N的关系是（ ）A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）A. 3B. C. 或3D. 1或4. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B. C. D. 7. 对于给定的正数k，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实
2、数x，恒有，则（ ）A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为4D. k的最小值为48. 已知定义在上偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 11. 下列各选项中，最大值是1的是（ ）A. B. C. D. 12. 设S，T是R的两个非空子集，如果存
3、在一个从S到T的函数满足：（i）（ii）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对是“保序同构”的是（ ）A ，B. ，或C ，D. ，三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 已知集合，若，则_.14. 已知定义在上奇函数，当时有，则_.15. 已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是_.16. 已知函数，设，若，则的取值范围是_四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17. 求值：（1）（2）若，求.18. 已知集合，.（1）求，：（2）若，求实数m的取值范围.19. 已知函数.（1）当时，解关于x的不等式；（2）若关于x
4、的方程在上有两个不相等实根，求实数a的取值范围.20. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？21. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并判断该函数的奇偶性；（2）若不等式对任意的恒
5、成立，求的取值范围.22. 定义两个函数的关系：函数，的定义域为A，B，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”.设，已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数是的“子函数”，求的最大值.浙江省瑞安重点中学2020年高一上期中数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则集合M和集合N的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由子集的概念进行判断结合选项得出答案【详解】集合中的每一个元素都是集合中的元素，集合是集合子集故选：C2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即，解不等式即可求解.【详解】由，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：B3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）A. 3B. C. 或3D. 1或【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义和性质列出方程和不等式，可得的值【详解】幂函数在上单调递减，则，解得故选：B4. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可【详解】命题“，”否定为“，”故选：A5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也
7、不必要条件【答案】A【解析】【分析】由与互相推出的情况结合选项判断出答案【详解】，由可以推出，而不能推出则“”是“”的充分而不必要条件故选：A6. 函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.【详解】解：当时，为增函数，开口向上，对称轴，排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A,故选:C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋
8、势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 对于给定的正数k，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数x，恒有，则（ ）A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为4D. k的最小值为4【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，先由求函数得定义域，求出的范围，即可求出的最大值，即可求得k的范围，即可求解.【详解】由题意若对于函数定义域内的任意实数x，恒有，函数定义域内恒有，即，因为，即，解得：，所以函数定义域为，令，由二次函数的知识知：对称轴为，在单调递增，在单调递减，所以时，或时，所以，所以，所以，即k的最小值为4，故选：D【点睛】
9、关键点点睛：本题的关键点是由题意可得，由解得：令，求出的最大值和最小值，即可求出的范围，进而求出的范围，即可求得k的最小值.8. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，即函数的定义域为，又由函数当时，单调递减，则不等式可化为，可得不等式组，解得，即不等式的解集为.故选：D.【点睛】求解函数不等式的方法：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：将
10、函数不等式转化为的形式；根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.【详解】对于A，即，故A正确；对于B，则，即，故B错误
11、；对于C，即，故C正确；对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，以及基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，则，所以函数为偶函数，当时，函数，根据指数函数的性质，可得在区间上单调递增，符合题意；对于B中，函数，则，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得在区间上单调递减，不符合题意；对于C中，函数，则，所以函数为奇函数，不符合题意；对于D中，函数，则，所以函数为偶函数，又由复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间上单调递增，符合题意.11.
12、下列各选项中，最大值是1的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】对于A，函数只有最小值没有最大值；对于B，利用不等式求出得最大值，可得函数的最大值；对于C，分和讨论，利用不等式求出最大值即可；对于D，通过配凑利用不等式求出最小值，无最大值【详解】对于A，当且仅当x时取等号，函数没有最大值；对于B，y0，y，当且仅当x时取等号；对于C，时，；时，y，当且仅当x1时取等号；对于D，当且仅当时取等号，函数没有最大值；故选：BC.12. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（i）（ii）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对是“保序同
13、构”的是（ ）A. ，B. ，或C. ，D. ，【答案】ABD【解析】分析】由题意，对于各选项只要能找到一个函数使其定义域为，值域为，且在定义域上是单调增，即S，T是“保序同构”的.【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为，且在定义域上是单调增函数.对于A，对于B，对于C，找不到对应函数，对于D，故选：ABD第卷（选择题 共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合，若，则_.【答案】1或2；【解析】【分析】由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解.【详解】由，若，此时，符合题意；若，则，当时，不符题意，当时，符合题意，综上可得：或.故答案为：1或2.14
14、. 已知定义在上的奇函数，当时有，则_.【答案】【解析】【分析】当时，时，由奇函数性质求得解析式，结合，写出完整的解析式即可.【详解】当时，时，由奇函数性质知，又，则故答案为：15. 已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】问题转化为即可，由，令，问题转化为求的最大值，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出的范围即可【详解】若存在，不等式成立，即即可，由，令，问题转化为求的最大值，而，的最大值是2，故，故，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：1.有解；2.有解.16. 已知函数，设，若，
15、则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图象可知要使，同时成立，则.，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：考查指数函数图象的应用，解题的关键是借助函数图象求得参数范围，将式子转化为二次函数的形式.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17. 求值：（1）（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据指数幂的运算法则和性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得.（2）根据指数幂的运算性质，可得.18. 已知集合，.（1
16、）求，：（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由并集的定义，以及交集和补集的定义进行计算即可；（2）等价于，按和讨论，分别列出不等式，解出实数m的取值范围【详解】（1）；（2）因为，所以.当时，即；当时，即综上，19. 已知函数.（1）当时，解关于x的不等式；（2）若关于x的方程在上有两个不相等实根，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）对一元二次不等式分解因式，通过得出，可得不等式的解集；（2）关于x的方程在上有两个不相等实根，可得，设，则有且对称轴小于，解不等式可得实数a的取值范围【详解】（1），即或（2）解法一：在上有
17、两个不相等实根或设，则，又的对称轴为，综上或.解法二：在上有两个不相等实根令令则，即由图象可知，该题转化为与有两个不同的交点或【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数 开口向上，则两根都小于时，则；2.两根都大于时，则3.一根小于，一根大于时，则20. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价
18、150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？【答案】（1）；（2）110台.【解析】【分析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果.【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润.故；（2）当时，在对称轴处，取得最大值，；当，时，对勾函数在上递减，在上递增，故时，
19、利润取得最大值，综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.21. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并判断该函数的奇偶性；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1），偶函数；（2）.【解析】【分析】（1）根据的范围和无限接近直线，可讨论求得；由过原点可求得，从而得到函数解析式；由奇偶性定义可判断出函数为偶函数；（2）分离变量得到，分别在和的情况下，结合函数单调性求得的范围，则.【详解】（1），且无限接近直线
20、但不与该直线相交，当时，不合题意；当时，不合题意；当时，过原点，.，为上的偶函数.（2）由得：，当时，则，令，可设，与均为增函数，则在上单调递增，；当时，则，令，可设，由对号函数性质知在上单调递减，；综上所述：，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒成立求解参数范围问题，常采用分离变量的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，利用函数值域的求解方法求得函数最值即可得到结果.22. 定义两个函数的关系：函数，的定义域为A，B，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”.设，已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数是的“子函数”，求的最大值.【答案】（1）减区间，增区间为；
21、（2）18.【解析】【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数的值域为，利用基本不等式，求得函数的值域为，根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得或，即定义域为或，又由函数在减区间为，增区间为，根据复合函数的单调性的判定方法，可得的减区间为，增区间为.（2）由函数，可得的值域为，当且仅当时，即，等号成立，所以的值域为，因为是的“子函数，所以，所以，即，又，当且仅当时取“=”，即，或，时，等号成立，所以，即所以的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
