1、20202021学年北京市通州区高一上期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，那么下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，都有C ，使得D. ，使得3. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）A. B. C. D. 44. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 6. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数，则“”是“与表示同一函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充
2、分也不必要条件8. 若，则一定有（ ）A. B. C. D. 9. 已知全集，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C D. 10. 若函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，又，则不等式的解集是（ ）A. B. C D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 设集合，那么_.12. 不等式的解集为_.13. 设，使命题“若，则”为假命题的一组a，b的值依次为_14. 已知函数.若正数，满足，则_.15. 已知函数，则_；若，的取值范围是_.16 已知函数，给出下列三个结论：函数的图象与的图象关于直线轴对称；函数的图象与的图象关于直线对称；函数的值域与的定义域相同；若
3、满足，满足，则.其中正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.17. 已知二次函数.（1）若函数的图象经过原点，求实数的值；（2）若对于，都有成立，求实数的取值范围.18. 已知全集为，集合，其中.（1）写出集合；（2）当时，求；（3）若，都有或，求的取值范围.19. 已知函数，.设.（1）判断函数奇偶性，并证明你的结论；（2）求的值域.20. 在直角坐标系中，记函数的图象为曲线，函数的图象为曲线.（1）比较和1的大小，并说明理由；（2）利用单调性的定义证明函数在定义域上单调递增；（3）试判断曲线和交点的个数，并说明理由.21. 从2008
4、年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为.（1）把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？22.
5、 集合是由适合以下性质的函数构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.（1）试判断，是否在集合中，并说明理由；（2）设（），求证：的充要条件是；（3）设且定义域为，值域为，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.20202021学年北京市通州区高一上期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，那么下列关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可.【详解】集合，对选项A，则，故A错误；对选项B，故B正确；对选项C，故C错误；对选项D，表示集合，表示错误，故D错误.故选：B
6、.2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，都有C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：“，使得”的否定是，都有，故选A.3. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）A. B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】设幂函数（为常数），把已知点坐标代入，求出的值，得到函数的解析式，从而求出的值.【详解】解：设幂函数（为常数），幂函数的图象经过点，故选：D.4. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性进行逐一分析判断，即可得到答案.【详解】解：函数在上为单调递减函数，故选项A
7、错误；函数在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；函数在上为增函数，故选项C正确；函数在上为减函数，故选项D错误.故选：C.5. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域.【详解】由题意，可得，解得或.所以函数的定义域为.故选：D.6. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】解：，故选：C.7. 已知函数，则“”是“与表示同一函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也
8、不必要条件【答案】B【解析】【分析】“”不能推导出“与表示同一函数”，“与表示同一函数”“”，简单判断即可.【详解】函数，“”不能推导出“与表示同一函数”，“与表示同一函数”“”，“”是“与表示同一函数”的必要不充分条件.故选：B.8. 若，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐一进行判断，即可得到结论.【详解】解：对于AB，即，故A正确，B错误，对于CD，令，满足，但，故CD错.故选：A.9. 已知全集，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，图中阴影部分表示的集合是，由此能
9、求出结果.【详解】解：全集，图中阴影部分表示的集合是：.故选：C.10. 若函数是定义在上偶函数，且在单调递增，又，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性关系进行转化即可.【详解】解：函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，在单调递减，又，时，时，不等式等价于或，即或，解得或，.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 设集合，那么_.【答案】【解析】【分析】解方程求出，再求出，的并集即可.【详解】因为，所以，故答案为：.12. 不等式的解集为_.【答案】.【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式
10、的解集.【详解】由，得，从而解得，所以，不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.13. 设，使命题“若，则”为假命题的一组a，b的值依次为_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意使命题“若，则”为真命题，则取正数，和负数即可.【详解】使命题“若，则”为假命题，即使命题“若，则”为真命题，则异号即可故故答案为：（答案不唯一）14. 已知函数.若正数，满足，则_.【答案】4【解析】【分析】把与代入函数解析式，再由对数的运算性质求解.【详解】解：，且、，.故答案为：4.15. 已知函数，则_；若，的取值范围是_.【答案】 . 1 . 或【解析】【分析
11、】根据自变量的取值范围，所对应的解析式求解即可，不等式则需要对的范围加以讨论求解.【详解】解：易知；对于，可知，或，解得或，故所求的解集为：或故答案为：1，或.16. 已知函数，给出下列三个结论：函数的图象与的图象关于直线轴对称；函数的图象与的图象关于直线对称；函数的值域与的定义域相同；若满足，满足，则.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】由函数与互为反函数可判断的正误，对于可知为函数与图像的交点的横坐标，为函数与图像的交点的横坐标，又函数的图象与的图象关于直线对称，所以，从而判断出正误.【详解】解：函数与互反函数，函数的图象与的图象关于直线对称，且函数的值域与的定义域相同，错误，
12、正确，正确，满足，满足，为函数与图像的交点的横坐标，为函数与图像的交点的横坐标，又函数的图象与的图象关于直线对称，即，正确，正确结论的序号是，故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.17. 已知二次函数.（1）若函数的图象经过原点，求实数的值；（2）若对于，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或0 （2）【解析】【分析】（1）由直接计算求出的值；（2）依题意，解该不等式即可得解【小问1详解】依题意，解得或，实数的值为或0.【小问2详解】函数图象为开口向上的抛物线，要使对任意，都有成立，则，解得，实数的取值范围为.18. 已知全集为，集合，其
13、中.（1）写出集合；（2）当时，求；（3）若，都有或，求的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）先求出集合，再利用补集的定义求出；（2）求出，再求出，的交集即可；（3）由对，都有或，可知，然后求出的取值范围即可.【小问1详解】集合或， ；【小问2详解】当时，或，；【小问3详解】对，都有或，集合或，的取值范围是.19. 已知函数，.设.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求的值域.【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2），【解析】【分析】（1）由奇偶性的定义即可证明；（2）分类 讨论，利用基本不等式即可求解最值，从而可得值域【小问1详解】是奇函数，证明：，定义域
14、为，所以是奇函数【小问2详解】，当时，当且仅当，即时取等号；当时，当且仅当，即时取等号，所以的值域为，20. 在直角坐标系中，记函数的图象为曲线，函数的图象为曲线.（1）比较和1的大小，并说明理由；（2）利用单调性的定义证明函数在定义域上单调递增；（3）试判断曲线和交点的个数，并说明理由.【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）0个，理由见解析【解析】【分析】（1）由的解析式，求出，利用对数函数的单调性比较大小即可；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别求出和的定义域，由此可判断得到答案.【小问1详解】函数，则，所以；【小问2详解】函数的定义域为，任取，并设，则，因为，所以
15、，故，则，所以在上单调递增；【小问3详解】函数，则，即，所以，故函数的定义域为，由（2）可知，函数的定义域为，所以曲线和的图象没有交点，故曲线和交点的个数为0个.21. 从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为.
16、（1）把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？【答案】（1），定义域为 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意表示出可变部分的成本与列车的运行时间，即可表示出总的费用f（x）；（2）分三种情况，结合对勾函数求出取最小值时的的值即可.【小问1详解】解：由题意可知，定义域为；【小问2详解】解：由（1）知，令，（，），由对勾函数的性质可知，该函数在上单调递减，在上单调递增，即时，在上单调递增，故时，单程运行一次总费用最小；，即时，在上单调递减，在上单调递增，故时单程
17、运行一次总费用最小；，即时，在单调递减，时单程运行一次总费用最小.综上可知，时，时，单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小.22. 集合是由适合以下性质的函数构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.（1）试判断，是否在集合中，并说明理由；（2）设（），求证：的充要条件是；（3）设且定义域为，值域为，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.【答案】（1），；理由见解析 （2）证明见解析 （3）（）【解析】【分析】（1）对，令，计算即可判断，对，根据指数幂的运算即可得到结果.（2）先证明充分性，当时利用作差比较即可,然后再证必要性，根据简单判断即可.（3）依据题意可得（）然后根据定义进行简单证明即可.【小问1详解】，对于，取，则，对于，有，.【小问2详解】充分性：若，都有即，必要性：若，都有，的充要条件是.【小问3详解】（）.任取所以，所以当时，所以，则，所以函数的值域为所以（）符合题意
