1、第二章 直线和圆的方程一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（）ABCD2设，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A或BCD或3已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是A外切B相离C内切D相交4若圆与圆外离，过直线上任意一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持，则（）ABC1D25已知直线：，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（）ABCD6已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（）A相离B相切C相交D内含7已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有
2、（）ABCD8已知圆，则这两圆的公共弦长为（）A4BC2D1二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9下列说法错误的是（）A过定点的直线都可用方程表示B过定点的直线都可用方程表示C过任意两个点，的直线都可用方程表示D不过原点的直线都可用方程表示10已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）ABCD11以下四个命题表述正确的是A直线恒过定点B圆：的圆心到直线的距离为2C圆：与圆：恰有三条公切线D两圆与的公共弦所在的直线方程为：12圆和圆
3、的交点为A，B，则有（）A公共弦所在直线方程为B线段中垂线方程为C公共弦的长为DP为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为第卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知定点在圆的外部，则的取值范围为_14已知直线，直线，若，则实数_15已知圆的方程为：，直线：若直线与圆和圆均相切于同一点，且圆经过点，则圆的标准方程为_16已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为_.四、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知的三个顶点分别为,（1）求边上的中线所在直线的一般式方程（2）求的面积18已知直线与直线（1）若，
4、求m的值；（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程19求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围20已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.21已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，求的面积22如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点(1)若，求的值；(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程参考答案1B【解析】由方程表示的
5、曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.2D【解析】【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.【详解】由题设可得，因为直线与线段相交，则或，故选：D.3A【解析】根据圆与圆的位置关系判断方法即可得出【详解】因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，所以圆与的位置关系是外切故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题4A【解析】【分析】设，由切线长公式得，由此得关于的恒等式，恒等式知识可求得值，从而得结论，注意两圆外离【详解】设过直线上任意
6、一点P分别作圆的切线，切点分别为M，N，且均保持，即，即，且，或圆与圆外离，故选：A5C【解析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，直线恒过点，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.6B【解析】【分析】本题首先可将转化为，圆心为，然后根据圆关于直线对称求出，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.【详解】即，圆心，因为圆关于直线对称，所以圆心在直
7、线上，即，解得，圆心，半径为，圆心，半径为，圆心间距离为，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.7D【解析】【分析】连立与方程即可判断A、B的正误，由两圆方程求相交弦方程，将点坐标代入并作差即可判断C、D的正误.【详解】两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；连立可得中点，易知A、B错误.，两式相减可得，故D正确.故选：D8C【解析】【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.【详解】由题意知，将两圆的方程相
8、减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.9ABD【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结果.【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，直线方程为也满足，故C正确；故选：ABD.10BC【解析】【分析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求
9、出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析A因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；C因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”故选：BC.11AC【解析】【分析】根据直线过的定点判断A选项的正确性，根据圆心到直线的距离判断B选项的正确性，根据两个圆的位置关系判断C选项的正确性，根据相交弦所在直线方程判断D选项的正确
10、性.【详解】对于A选项，当时，所以直线过定点，故A选项正确.对于B选项，圆的圆心为，到直线的距离为，所以B选项错误.对于C选项，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.圆心距为，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确.对于D选项，由两式相减并化简得，所以D选项错误.综上所述，正确的选项为AC.故选：AC【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.12ABD【解析】【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即
11、可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径 所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD13【解析】【分析】解不等式即得解.【详解】因为点在圆的外部，所以所以所以的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12、14【解析】【分析】由由有，即可求，然后验证、是否重合.【详解】，有，解得或，当时，即、为同一条直线；当时，即；，故答案为：15【解析】【分析】由圆与直线相切得，直线与圆的方程联立求得切点坐标，设，由两点间的距离公式可得的圆心坐标和半径，从而得到答案.【详解】方程为：，圆心，半径为，因为圆与直线：相切，所以，解得，所以直线：，由得，得切点为，设，所以，且，由得，所以，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为.故答案为：.16【解析】【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒
13、过定点，且，所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，根据题意可知两圆的圆心距为，所以的最大值为，故答案为：17（1）;（2）7【解析】（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.【详解】解:（1）因为,则边上的中点：.可得中线所在直线的一般式方程：化简得：故边上的中线所在直线的一般式方程为.（2）,直线的方程为：,化为：点到直线的距离的面积.【点睛】本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.18（1
14、），（2）或【解析】【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，（2）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，所以设直线的方程为（），令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以，解得或，所以直线的方程为或19【解析】【分析】当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解【详解】由题意，当时，倾斜角，当时，即倾斜角为锐角；综上得：20（1）；（2）或.【解析】【详解】试题分析：(1)利
15、用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为，从而求解圆的标准方程；(2)先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程. 试题解析：（1）设圆的半径为，圆与直线相切，圆的方程为.（2）当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，此时，符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，设的中点为，则，又，又，则直线的方程为：，即，综上可知直线的方程为：或.考点：点到直线的距离公式、圆的方程及直线的方程.【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、直线方程及直线与圆的
16、位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: 直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法解答的.21（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得，再利用弦长求的面积【详解】（1）设直线的方程为因为直线与圆交于两点，所以，解得所以的取值范围为（2）设，将代入方程，整理得，所以，所以由题设得，解得，所以直线的方程为，所以圆心在直线上，所以又原
17、点到直线的距离，所以的面积22(1)；(2)恒为定值；(3)证明见解析，交点恒在定直线上.【解析】【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.(1)解：圆的圆心为，到直线的距离为，可得，解得.(2)解：将代入圆方程，并整理得，则，设点、，由韦达定理，所以，同理，于是（定值）.(3)解：注意到，设直线的斜率为，则，即直线的方程为，直线的方程为的交点满足，即，解得，故直线、交点必在定直线上
