1、2020-2021学年天津市四校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分每小题有且仅有一项符合题目要求1（5分）已知是虚数单位，则复数的共轭复数为ABCD2（5分）在中，则ABC或D或3（5分）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，那么的周长为A6BCD4（5分）某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计将所得成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图则第4组的学生人数为A20B30C40D505（5分）设，为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为，则；，则；，
2、则；，则ABCD6（5分）在平行四边形中，与交于点，的延长线与交于点若，则ABCD7（5分）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为ABCD8（5分）下列四个命题正确的个数为抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为；现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为A3B2C1D09（5分）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为A3BCD二、填空题：本
3、大题共6小题，每小题5分，共30分第15题第一个空2分，第二个空3分10（5分）已知平行四边形，则点的坐标为 11（5分）将圆心角为，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 12（5分）记的面积为，且满足，则的值为 13（5分）甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为 14（5分）已知正四棱锥中，底面边长为2，侧面积为，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为 15（5分）在中，则，延长交于点，点在边上，则的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，共75分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步
4、骤，只有结果的不给分16（14分）已知平面向量，满足，（1）若，求的坐标；（2）若，求的值；（3）若在上的投影向量为，求与的夹角17（14分）在中，角，所对的边分别为，且（）求角的大小；（）若的外接圆半径，求的面积18（15分）已知的内角，的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若角为锐角，求19（16分）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成角的余弦值20（16分）如图，平面四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且（1）若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的平
5、面角的正弦值参考答案解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分每小题有且仅有一项符合题目要求1（5分）已知是虚数单位，则复数的共轭复数为ABCD【分析】先利用复数的除法运算求助复数，再利用共轭复数的定义求解即可【解答】解：因为，所以共轭复数为故选：【点评】本题考查了复数的除法运算，共轭复数定义的应用，考查了运算能力，属于基础题2（5分）在中，则ABC或D或【分析】由已知利用正弦定理可得，根据大边对大角可求，利用特殊角的三角函数值即可求解的值【解答】解：因为，所以由正弦定理，可得，解得，因为，可得，则故选：【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应
6、用，考查了转化思想，属于基础题3（5分）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，那么的周长为A6BCD【分析】利用斜二测画法的规则，求出原中的信息，求解周长即可【解答】解：由直观图中，可得中，因为，则又底边，所以的周长为故选：【点评】本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题4（5分）某校高一年级开展英语百词测试，现从中抽取100名学生进行成绩统计将所得成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图则第4组的学生人数为A20B30C40D50【分析】根据直方图中各
7、区间所对应的频率和为1，可推得第4组，频率，再结合样本容量100，即可求解【解答】解：由图可得，解得，第四组的人数为故选：【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题5（5分）设，为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为，则；，则；，则；，则ABCD【分析】由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断；由两平面平行分析两平面中直线的位置关系判断；由线面垂直与面面垂直的关系分析；由直线与平面垂直的性质及面面垂直的判定判断【解答】解：若，则或，故错误；若，则或与异面，故错误；若，则或，又，则，故正确；若，则，又，可得，故正确故选：【点评
8、】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题6（5分）在平行四边形中，与交于点，的延长线与交于点若，则ABCD【分析】，根据和可得，结合，可解决此题【解答】解：如图所示：由得，由得，又，故选：【点评】本题考查平面向量共线定理，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题7（5分）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为ABCD【分析】利用直棱柱的体积公式求出棱长，点到平面的距离为，由等体积法，求解即可【解答】解：直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，因为体积为，则，解得，设点到平面的距离为，因为，则，由等体积法，即，即，
9、解得，故点到平面的距离为故选：【点评】本题考查了点到平面距离的求解，涉及了直棱柱体积公式的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题8（5分）下列四个命题正确的个数为抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为；现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50，55，45，60，68，65，70，则这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为65；新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为A3B2C1D0【分析】：根据古典概型的概率计算公式即可求解；：根据百分位数的求解公式即可求解【解答】解：抛掷
10、两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，向上点数之和不小于10的基本事件有，共6种，所以所求事件的概率，故正确，：因为，所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68，故错误，：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为，选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）共3种，所以所求事件的概率，故正确，故选：【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及到古典概型的概率计算公式以及百分位数的求解，考查了学生的运算转化能力，属于中档题9（5分）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为A3BCD【分析】设，由得，化简得，由是三角形的外
11、心可知，是三边中垂线交点，得，根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，代入，得，结合前面等式得关于、的表达式，再用基本不等式可解决此题【解答】解：如图所示：设，由得，化简得，由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，代入上式得，根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，代入，得，当且仅当“”时，等号成立故选：【点评】本题考查平面向量数量积性质及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分第15题第一个空2分，第二个空3分10（5分）已知平行四边形，则点的坐标为 【分析】设点的坐标为，根据列方程组求出、的值【解答】解：平行四边形中，设点的坐标为，由，
12、得，解得，所以故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题11（5分）将圆心角为，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 【分析】设母线长为，底面半径为，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值【解答】解：设母线长为，底面半径为，则依题意易知，由，代入数据即可得，因此所求角的余弦值即为故答案为：【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力12（5分）记的面积为，且满足，则的值为 【分析】由三角形的面积公式及平面向量的数量积公式代入化简，再由同角三角关系式求
13、解即可【解答】解：，且，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积公式应用及三角函数的应用，属于基础题13（5分）甲参加猜成语比赛，假定甲每轮获胜的概率都是，且各轮比赛结果互不影响，则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式列式求解即可【解答】解：由题意，甲每轮获胜的概率都是，且各轮比赛结果互不影响，所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为故答案为：【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题14（5分）已知正四棱锥中，底面边长为2，侧面积为，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为 【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出
14、正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求【解答】解：设正四棱锥的侧棱长为，又侧面积为，解得，正四棱锥的高，正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，如图，设球的半径为，则，解得，则球的体积为故答案为：【点评】本题主要考查正四棱锥的性质，直四棱锥的体积与其外接球的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题15（5分）在中，则，延长交于点，点在边上，则的最小值为 【分析】用，求得，即可求得，建立平面直角坐标系，设，即可求得的最小值【解答】解：由，可得由，可得，则如图建立平面直角坐标系，可得，设，为中点，时，最小，最小值为答案为：，【点评】本题考查
15、了平面向量的线性、数量积的运算，考查了转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共75分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分16（14分）已知平面向量，满足，（1）若，求的坐标；（2）若，求的值；（3）若在上的投影向量为，求与的夹角【分析】（1）由向量平行设，再由模公式求得，（2）由垂直得，化简得，从而整体代入求，（3）设与的夹角为，由投影向量的定义的得，从而解得【解答】解：（1）由题意设，解得，即，或，（2），即，即，故，（3）设与的夹角为，则，即，即，【点评】本题考查了平面向量的应用，重点考查了平行与垂直的应用，同时考查了整体思想与待定系数法的应用，属于中
16、档题17（14分）在中，角，所对的边分别为，且（）求角的大小；（）若的外接圆半径，求的面积【分析】（）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合范围，可求的值（）由题意利用正弦定理可求的值，根据余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：（）因为，由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以，即，因为，所以（）因为，的外接圆半径，所以由，可得，因为，由余弦定理，可得，即，解得，（负值舍去），所以的面积【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，
17、属于基础题18（15分）已知的内角，的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若角为锐角，求【分析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式，结合，可得的值，结合范围，可得的值（2）由题意可得，设，可得，在中，由余弦定理可得，又，利用余弦定理可得，联立解得，解方程可得的值【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，又，所以可得，又，所以，或（2）若角为锐角，则，又，设，可得，在中，由余弦定理可得，又，所以，整理可得，由联立解得，解方程可得，或（舍去）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题19（16分）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，点
18、、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成角的余弦值【分析】（1）设，连接，利用中位线定理可证明四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定定理证明即可；（2）利用已知的边角关系可得，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明结论；（3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，可得为与平面所成的角，然后在三角形中，由边角关系求解即可【解答】（1）证明：设，连接，因为，分别为，的中点，则，因为为的中点，所以，且，所以，则四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面；（2）证明：因为，所以，即，因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，故；（3）解：因为
19、，又，平面，故平面，连接，则为在平面内的射影，所以为与平面所成的角，因为，且，所以，在中，所以，则，所以，故，所以直线与平面所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题20（16分）如图，平面四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且（1）若为棱中点，求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的平面角的正弦值【分析】（1）取的中点，连接，利用异面直线的定义，得到即为异面直线与所成的角，
20、在三角形中利用边角关系求解即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明平面，由面面垂直的判定定理证明即可；（3）在平面内，过点，连接，利用二面角的平面角的定义可得，即为二面角的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可【解答】（1）解：取的中点，连接，因为为的中点，则，则即为异面直线与所成的角，在中，则，所以为直角三角形，则，在中，由余弦定理可得，故异面直线与所成角的余弦值为；（2）证明：由（1）可知，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）解：在平面内，过点，连接，由（2）可知，平面平面，又平面平面，所以平面，因为，由三垂线定理可得，则即为二面角的平面角，在中，由余弦定理可得，在中，所以，则，在等腰中，在中，故二面角的平面角的正弦值为【点评】本题考查了翻折问题，异面直线所成角的求解，二面角的求解，面面垂直的判定，对于几何法求解空间角问题，解题的关键是利用定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题
