1、2020-2021学年天津市东丽区高一（下）期末数学试卷一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5分）复数的虚部为AB3C2D2（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现奇数点”，事件 “第二枚出现偶数点”，则与的关系是A互斥B互为对立C相互独立D相等3（5分）已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则A2BCD4（5分）在中，已知，则ABCD5（5分）有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为ABC
2、D6（5分）若样本数据，标准差为8，则数据，的标准差为A8B64C32D167（5分）在平行四边形中，为的中点若，则的长为A1BCD28（5分）在空间中，下列命题正确的是平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行ABCD9（5分）如图，正方体的棱长为1，、分别为棱、的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为ABCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）10（5分）若为虚数单位，复数，则11（5分）若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为12（5分）已知向量，其中，且，则向量与的夹角是 13（5分）样
3、本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是 ，第75百分位数是 14（5分）小明爸爸开车以的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点处望见电视塔在北偏东方向上，15分钟后到点处望见电视塔在北偏东方向上，则汽车在点时与电视塔的距离是 15（5分）如图，若正方体的棱长为1，则异面直线与所成的角的大小是；直线和底面所成的角的大小是三、解答题（共5小题，满分45分）16（8分）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译不出密码的概率；（3）求至多1个人译出密码的概
4、率；（4）求至少1个人译出密码的概率17（10分）已知向量，（）若，求的值；（）当时，与共线，求的值；（）若，且与的夹角为，求18（10分）2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分
5、成7组：，画出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图；求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在，和，的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率19（7分）在中，（）求；（）若，求的面积20（10分）如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥
6、的体积参考答案解析一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5分）复数的虚部为AB3C2D【分析】直接利用虚部的定义得答案【解答】解：复数的虚部为故选：【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题2（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现奇数点”，事件 “第二枚出现偶数点”，则与的关系是A互斥B互为对立C相互独立D相等【分析】根据互斥，对立，独立事件的定义判断即可【解答】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，奇数），（偶数，偶数），事件 “第一枚出
7、现奇数点” ，事件 “第二枚出现偶数点” ，两个事件不相等，排除，所以不是互斥事件，排除，选项，事件 “第一枚出现奇数点”， （A），事件 “第二枚出现偶数点”， （B），事件 “第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”， ，满足（A）（B），所以事件和事件是相互独立事件，故选：【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足（A）（B）即独立，本题属于基础题3（5分）已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则A2BCD【分析】利用向量数乘运算和向量共线定理即可得出【解答】解：与共线，向量，是两个不共线的向量，解得故选：【点评】本题考查了向量数乘运算和向量共线定理，属于基础题4
8、（5分）在中，已知，则ABCD【分析】直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果【解答】解：在中，已知，所以：故选：【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题5（5分）有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为ABCD【分析】只有最后一位需要确定，共有10种方法，能开锁的只有1个，所以概率为【解答】解：所求只有最后的一位需要确定，这个位置上的数字在0到9这十个数字中任选，共有10种方法，能开锁的只有1个，所以
9、概率为故选：【点评】本题考查古典概型概率计算，需要学生熟练掌握古典概型概率公式，属于基础题6（5分）若样本数据，标准差为8，则数据，的标准差为A8B64C32D16【分析】根据已知条件，结合随机变量函数线性方差公式，即可求解【解答】解：设样本数据，标准差为，则，即方差，数据，的方差为，数据，的标准差为故选：【点评】本题主要考查了标准差与方差的关系，以及随机变量函数线性方差公式，属于基础题7（5分）在平行四边形中，为的中点若，则的长为A1BCD2【分析】利用平行四边形的边长，表示出向量的数量积的向量，结合数量积的值，列出方程求解即可【解答】解：在平行四边形中，为的中点则，因为，所以，即，解得故选
10、：【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题8（5分）在空间中，下列命题正确的是平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行ABCD【分析】由平行公理判定；由垂直于同一直线的两直线的位置关系判定；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断【解答】解：由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故错误；平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故错误；由直线与平面垂直的
11、性质可得，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确故选：【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题9（5分）如图，正方体的棱长为1，、分别为棱、的中点，则平面与底面所成的二面角的余弦值为ABCD【分析】根据题意可知，是平面与底面所成的二面角的平面角，然后在中，求出即可【解答】解：根据题意，平面，是平面与底面所成的二面角的平面角，在中，故选：【点评】本题考查了二面角的平面角的定义及求法，线面垂直的性质定理，考查了计算能力，属于基础题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）10（5分）若为虚数单位，复数，则5【分析】化简，求出的值即可【解答
12、】解：，则，故答案为：5【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是基础题11（5分）若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为【分析】由正方体的表面积求得棱长，进一步求出对角线长，得到正方体外接球的半径，则答案可求【解答】解：设正方体的棱长为，则，得正方体的对角线长为正方体外接球的半径为正方体外接球的表面积故答案为：【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，是基础的计算题12（5分）已知向量，其中，且，则向量与的夹角是 【分析】由，且，知，即，由此能求出向量与的夹角【解答】解：，且，即，解得，向量与的夹角是，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量垂直的条件的应用，是基础题
13、解题时要认真审题，仔细解答13（5分）样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是 5，第75百分位数是 【分析】先把样本数据从小到大排列，由，得到该组数据的第50百分位数第5个数与第6个数的平均数；由，得到第75百分位数第8个数【解答】解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是7故答案为：5，7【点评】本题考查第50百分位数和第75百分位数的求法，考查百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基
14、础题14（5分）小明爸爸开车以的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点处望见电视塔在北偏东方向上，15分钟后到点处望见电视塔在北偏东方向上，则汽车在点时与电视塔的距离是 【分析】在中，可得，则，再由正弦定理可求的值【解答】解：如图，由已知可得，在中，由正弦定理可得故答案为【点评】本题主要考查正弦定理在实际问题中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，进而利用数学基本知识进行求解15（5分）如图，若正方体的棱长为1，则异面直线与所成的角的大小是；直线和底面所成的角的大小是【分析】连接，证明四边形为平行四边形，可得，得到异面直线与所成的角即为，再说明为等边三角形，可得异面直
15、线与所成的角的大小是；由正方体的结构特征可得为直线和底面所成的角，再由等腰直角三角形得答案【解答】解：如图，连接，四边形为平行四边形，可得，异面直线与所成的角即为，连接，则为等边三角形，异面直线与所成的角的大小是；正方体的侧棱底面，为直线和底面所成的角，大小为故答案为：；【点评】本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（共5小题，满分45分）16（8分）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译不出密码的概率；（3）求至多1个人译出密码的概率；（4）求至少1个人译出
16、密码的概率【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出，利用对立事件的加法公式求出，【解答】解：记甲独立译出密码为事件，乙独立译出密码为事件，且，为相互独立事件，且（A），（B），则（1）（A）（B），（2），（3），（4）【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题17（10分）已知向量，（）若，求的值；（）当时，与共线，求的值；（）若，且与的夹角为，求【分析】（）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；（）利用向量共线的充要条件即可得出；（）利用数量积、向量模的计算公式即可【解答】解：（），解得；（），又，与共线，解得；（），又与的夹角为，【点评】
17、熟练掌握向量垂直与数量积的关系、向量共线的充要条件、向量模的计算公式是解题的关键18（10分）2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示（1）求频
18、率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图；求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在，和，的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率【分析】（1）由频率分布直方图能求出（2）由频率分布直方图能求出中位数由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数（3）先求出抽样比为，再求出三科总分成绩在，两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件表示“
19、抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出抽取的这2名学生来自不同组的概率【解答】解：（1）由，解得（2），三科总分成绩的中位数在，内，设中位数为，则，解得，即中位数为224三科总分成绩的平均数为：（3）三科总分成绩在，两组内的学生分别为25人，10人，抽样比为，三科总分成绩在，两组内抽取的学生数量分别为：人，人，设事件表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数，事件包含的基本事件个数，抽取的这2名学生来自不同组的概率（A）【点评】本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法
20、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（7分）在中，（）求；（）若，求的面积【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解，进而可求；由余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（）在中，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，（）因为，由余弦定理，可得，所以，所以【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题20（10分）如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积【分析】（1）连接交于点，连接，则点为的中点可得为中位线，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）由底面，得正三角形中，中线，结合线面垂直的判定定理，得平面，最后由面面垂直的判定定理，证出平面平面；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥的体积【解答】（1）证明：连接交于点，连接，则点为的中点为中点，得为中位线，平面，平面，直线平面；（2）证明：底面，底面正三角形，是的中点，平面，平面，平面平面；（3）解：由（2）知，中，【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题
