1、2020-2021学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分。1（4分）已知向量，则ABCD2（4分）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（4分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为ABCD4（4分）下列说法中正确的是A棱柱的侧面可以是三角形B棱柱的各条棱都相等C所有几何体的表面都能展成平面图形D正方体和长方体都是特殊的四棱柱5（4分）袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为ABCD6（4分）在中，已知，则等于A4B3CD7（4分）某工厂
2、技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85：丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为A无法判断B甲车床C乙车床D丙车床8（4分）若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为ABCD9（4分）设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为A若，则B若，则C若，则D若，则10（4分）已知向量，满足，且与的夹角为，则ABCD二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分，试题中包含两个空的，每个空2分。11（4
3、分）已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为 12（4分）已知向量，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 13（4分）某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为的样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则14（4分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，且，则异面直线与所成角的大小为 ；二面角的大小为 15（4分）在中，已知是延长线上一点，满足，若为线段的中点，且，则实数三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答题
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（12分）已如为虚数单位，复数（）当实数取何值时，是纯虚数；（）若，求的值17（12分）某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下：，得到的频率分布直方图，如图所示（）求图中实数的值；（）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数18（12分）在中，角，所对的边分别为，已知，（）若，求角的大小；（）若，求的面积19（12分）某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从，三个行政区抽出6个社区进行调查已知，三个行政区中分别有18，27，9个社区（）求从，三个行政区中分别抽取的
5、社区个数；（）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查（）试列出所有可能的抽取结果；（）设事件为“抽取的2个社区中至少有一个来自行政区”，求事件发生的概率20（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：平面；（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所成角的正切值参考答案解析一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知向量，则ABCD【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案【解答】解：由，得：，故选：【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题2（4分）已知为虚数单位，则复数在复平面内
6、对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】按照多项式的乘法法则展开，将用代替化简复数；以复数的实部为横坐标，以虚部为纵坐标写出对应的点的坐标；据横、纵坐标的符号判断出点所在的象限【解答】解：所以对应的点为所以对应的点位于第二象限故选：【点评】本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义：复数与复平面内的以复数的实部为横坐标，以虚部为纵坐标的点一一对应3（4分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为ABCD【分析】由圆的周长公式可得圆锥的底面圆的周长，再由扇形的面积公式知，其中为母线长，从而得解【解答】解：圆锥的底面圆的周长为，侧面积故选：【点评】本题考查圆锥中的
7、简单几何运算，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题4（4分）下列说法中正确的是A棱柱的侧面可以是三角形B棱柱的各条棱都相等C所有几何体的表面都能展成平面图形D正方体和长方体都是特殊的四棱柱【分析】利用几何体的定义和特征逐一考查所给的说法是否正确即可【解答】解：逐一考查所给的命题：棱柱的侧面一定是平行四边形，不可能是三角形，选项错误；棱柱的各条侧棱都相等，不一定与底面的棱相等，选项错误；所有多面体的表面都能展成平面图形，旋转体的表面不一定能展开成平面图形，选项错误；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，选项正确故选：【点评】本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题5（4分）袋中有大小相同，质地
8、均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为ABCD【分析】给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，从中无放回的先后取两个球，列出所有可能情况，再利用古典概型的概率公式求解【解答】解：给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，则从中无放回的先后取两个球的所有情况有：，共20种，取到红球的基本事件有：，共14种，所以所求概率为，故选：【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，是基础题6（4分）在中，已知，则等于A4B3CD【分析】由与的长，以及的值，利用余弦定理即可求出的长【解答】解：，由余弦定理得：，即，解得：故选：【点评】此题考查了余弦定理，以及
9、特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是基础题7（4分）某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85：丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为A无法判断B甲车床C乙车床D丙车床【分析】比较三台智能机床的生产数据的平均数与标准差的大小，从而解得【解答】解：，可以判断生产性能最好且较稳定的为丙车床，故选：【点评】本题考查了平均数与标准差在实际问题中的应用，属于基础题8（4分）若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，
10、则该球的体积为ABCD【分析】首先确定球的半径，然后求解其体积即可【解答】解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，设球的半径为，则：，则，其体积：故选：【点评】本题主要考查球与正方体的位置关系，属于基础题9（4分）设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为A若，则B若，则C若，则D若，则【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系；由线面垂直的性质判断【解答】解：若，则或与异面，故错误；若，则，又，则，故正确；若，则，又，或，故错误；若，则或与相交，相交也不一定垂直，故错误故选：【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间
11、想象能力与思维能力，是基础题10（4分）已知向量，满足，且与的夹角为，则ABCD【分析】根据题意，由向量、的模以及夹角计算可得的值，进而由数量积的计算可得，代入数据计算，再开方可得答案【解答】解：由题意可得：；则故选：【点评】本题考查向量模的计算，关键是掌握向量的数量积的计算公式属于简单题二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分，试题中包含两个空的，每个空2分。11（4分）已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为 0.9【分析】甲、乙两人各投篮一次，至少有一人投中的对立事件是两人均没有投中，
12、由此能求出至少有一人投中的概率【解答】解：甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，甲、乙两人投篮的结果互不影响甲、乙两人各投篮一次，至少有一人投中的对立事件是两人均没有投中，则至少有一人投中的概率是：故答案为：0.9【点评】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（4分）已知向量，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 或2【分析】利用与共线，得到关于的方程，再求出即可【解答】解：向量，是两个不共线的向量，且与共线，存在使得，解得或故答案为：或2【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
13、题13（4分）某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为的样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则14【分析】利用分层抽样列出方程，由此能求出样本单元数【解答】解：某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为的样本，在一年级的学生中抽取了4人，则，解得故答案为：14【点评】本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（4分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，且，则异面直线与所成角的大小为 ；二面
14、角的大小为 【分析】利用为平行四边形，则，可知异面直线与所成的角等于与所成的角，然后在三角形中利用边角关系求解即可；利用勾股定理以及线面垂直的性质定理为二面角的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可【解答】解：因为平面，平面，则，又因为，则，因为为平行四边形，则，所以异面直线与所成的角等于与所成的角，因为，所以，故异面直线与所成的角为；因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以就是二面角的平面角，因为平面，平面，所以，又因为，所以，故二面角的大小为故答案为：；【点评】本题考查了异面直线所成角的求解以及二面角的求解，解题的关键是利用异面直线所成角的定
15、义以及二面角的平面角的定义确定所求的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题15（4分）在中，已知是延长线上一点，满足，若为线段的中点，且，则实数【分析】根据题中所给条件，利用平面向量的基本定理和平面向量的线性运算得到，再，得到即可【解答】解：，若为线段的中点，故答案为：【点评】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属基础题三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（12分）已如为虚数单位，复数（）当实数取何值时，是纯虚数；（）若，求的值【分析】（）利用纯虚数的定义列出关于的方程，求解即可；（）求出，然后利用复数模的运算性质求解即可【解
16、答】解：（）因为为纯虚数，所以且，则；（）当时，所以【点评】本题考查了复数的运算以及复数基本概念的理解，复数模的运算性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题17（12分）某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下：，得到的频率分布直方图，如图所示（）求图中实数的值；（）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数【分析】由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求的值根据频率分布直方图，先求出成绩不低于120的概率，再将概率与样本容量做乘积，即可求解【解答】解：由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频
17、率和为1，解得根据频率分布直方图，成绩不低于120的概率为，该校高一年级共有学生800名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数为【点评】题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题18（12分）在中，角，所对的边分别为，已知，（）若，求角的大小；（）若，求的面积【分析】（）利用正弦定理求出的值，再结合内角的范围确定；（）利用余弦定理，求出，进而求出，利用面积公式求出结果【解答】解：（）因为，故，即，解得，又，且，所以（）由，所以，又因为，故，所以，故【点评】本题综合考查了正余弦定理和面积公式，属于基础题19（12
18、分）某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从，三个行政区抽出6个社区进行调查已知，三个行政区中分别有18，27，9个社区（）求从，三个行政区中分别抽取的社区个数；（）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查（）试列出所有可能的抽取结果；（）设事件为“抽取的2个社区中至少有一个来自行政区”，求事件发生的概率【分析】（）求出抽样比，即可求出从，三个行政区中分别抽取的社区个数；（）（）直接列举即可；（）由古典概型的概率公式求解即可【解答】解：（）社区总数为，样本容量与总体中的个体数之比为，所以从，三个行政区中分别抽取的社区个数分别为2，3，1；（）（）设，为从行政区中抽取的社区，
19、为从行政区中抽取的社区，为从行政区中抽取的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部的可能结果有：，；（）所以的基本事件共有15个，其中抽取的2个社区中至少有一个来自行政区的有9个，故所求概率为【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题20（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：平面；（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所成角的正切值【分析】（1）通过即可证明平面；（2）通过和即可证明直线平面；（3）过作，连结，则是直线与平面所成角，进而可求所成角的正切值【解答】解：（1）证明：因为四边形是菱形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）证明：因为四边形是菱形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，所以平面（3）过作，连结，因为平面，平面，所以又因为，所以平面所以是直线与平面所成角，在中，所以所以是直线与平面所成角的正切值【点评】本题考查线面平行和线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题
