1、柳州市柳州市 20232023 届新高三摸底考试数学届新高三摸底考试数学试卷（试卷（理科理科） 一、选择题一、选择题： （： （本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分） 1.已知集合2|1Ax x，|1By y，则AB（ ） A. B. 1，1 C.1，） D. 1，1） 2.设mR，若复数12zi 的虚部与复数2zmmi的虚部相等，则12zz（ ） A.3 i B.1 i C.3 i D.3 i 3.已知向量a，b的夹角为3，且2a ，3b ，则aba（ ） A.1 B.3 34 C.2 D.1 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A.
2、2 B.32 C.53 D.85 5.若35lg0.3,log 2,log 4abc，则（ ） A.cba B.bca C.cab D.abc 6.若4sin5，则 cos2（ ） A. 2425 B.725 C. 725 D.2425 7.设变量 x，y 满足约束条件202011xyxyxy ，则目标函数zxy的最小值为（ ） A.2 B.3 C2 D.0 8.已知直线(0)ykx k与圆22:214Cxy相交于 A，B 两点2 3AB ，则 k（ ） A.15 B.43 C.12 D.512 9.今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的 6 名航天员，将会分
3、别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等 6 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱安排 2 人，梦天实验的安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A.44 种 B.48 种 C60 种 D.50 种 10.若直线4x是曲线sin(0)4yx的一条对称轴，且函数sin()4yx在区间0，12上不单调，则的最小值为（ ） A.9 B.7 C.11 D3 11.函数( )yf x是定义域为 R 的偶函数，当0 x
4、时，21(02)16( )1(2)2xxxf xx，若关于 x 的方程 20fxafxb ，, a bR有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A.（52，14） B. （12，18） C.1111,2448 D.（12，14） 12.如图 1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线 E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且3cos5BAC ，ABBD，则 E的离 A C 心率为（ ） A.
5、52 B.173 C.102 D.5 第第 II 卷卷（非选择题，共非选择题，共 90 分分） 二、填空题二、填空题（每题每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上分，将答案填在答题卡上） 13.已知直线yxb是曲线ln3yx的一条切线，则 b_ 14.52111xx展开式中2x的系数为_（用数字作答） 15.已知 A（3，1） ，B（3，0） ，P 是椭圆221167xy上的一点，则PAPB的最大值为_ 16.在正方体1111ABCDABC D中，点 E 为线段11B D上的动点，现有下面四个命题： 点 E 到直线 AB 的距离为定值； 直线 DE 与直线 AC 所成角为定值；
6、 三棱锥1EABD的外接球体积为定值； 三棱锥1EABD的体积为定值 其中所有真命题的序号是_ 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处答案写在答案卡相应题号的空白处） 17.（本小题满分 10 分）在锐角ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知2 sin3aCc （1）求角 A 的大小； （2）若2b，7a ，求ABC 的面积 18.（本小题满分 12 分）已知数列na满足11a ，*121nnaanN （1）证明1na 是
7、等比数列，并求na的通项公式； （2）求数列1nan的前 n 项和nS 19.（本小题满分 12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 200 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有 20 人表示对冰球运动没有兴趣 （1）完成2 2列联表，并回答能否有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 110 女 合计 （2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出 5 名学生，再从这
8、 5 人中随机抽取 3 人，记抽取的 3 人中有 X 名男生，求 X 的分布列和期望 20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 22n adbcKabcdacbd 20.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ABBC，2 2PAPBPCAC，O为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 PM 与面 ABC 所成角的正切值为6，求二面角MPA C的平面角的余弦值 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ln2afxxxx （1）讨论当0a时，f（x）单调性 （2）证明：
9、 222xaxxef xx 22.（本小题满分 12 分）已知平面上动点 Q（x，y）到 F（0，1）的距离比 Q（x，y）到直线:2l y 的距离小 1，记动点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程 （2） 设点 P 的坐标为 （0， 1） ， 过点 P 作曲线 C 的切线， 切点为 A， 若过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 M，N 两点，证明：AFMAFN 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A C A C C B A C D B 二、填空题（本大题共 4
10、小题，每题 5 分，满分共 20 分） 13. 2 14. 5 15. 9 16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.解： （1）由已知及正弦定理知：2sinsin3sinACC 2 分 因为 C 为锐角，则sin0C ，所以3sin2A 4 分 因为 A 为锐角，则3A 5 分 （2）由余弦定理，2222cosbcbcAa 6 分 则244 cos73cc，即2230cc 7 分 即310cc，因为0c ，则3c 8 分 所以ABC 的面积113 3sin3 2sin2232SbcA 10 分 18.解： （1）法一：由121nnaa，得1121nnaa 2 分 Q 11
11、211 120211nnnnaaaaa 所以1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 4 分 即12nna ，因此na的通项公式为21nna 6 分 法二：Q 1120a ，且121121 12111nnnnnnaaaaaa 2 分 又所以1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 4 分 即12nna ，因此na的通项公式为21nna ， 6 分 （2）由（1）知21nna ，令1nnban则2nnbn 所以 121221222nnnSbbbn 7 分 12222(12)nn 8 分 2 121122nnn 10 分 11222nnn 11 分 综上11222nnnnS 12 分 19
12、.解： （1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 台计 男 90 20 110 女 60 30 90 合计 150 50 200 2 分 根据列联表中的数据，得到2220090 3020 602006.060110 90 150 5033K 3 分 6.0605.024， 5 分 有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关” 6 分 （2） 由题意得， 按分层抽样方法抽取出来的 5 人中， 有 3 个男生对冰球感兴趣， 有 2 个女生对冰球感兴趣，则 X 的可能取值为 1，2，3， 7 分 2213323233335551361123101010C CC CCP XP XP
13、 XCCC 10 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 310 610 110 11 分 所以，的期望为36191231010105E X 12 分 20.（1）证明：连接 OB 法一：2,2 2ABBCAC，222ABBCAC，即ABC 是直角三角形， 又 O 为 AC 的中点，OAOBOC 1 分 又PAPBPC， POAPOBPOC 2 分 90POAPOBPOC 3 分 ,POAC POOB OBACO，OB、AC平面 ABC 4 分 PO平面 ABC 5 分 法二：连接OB，PAPC，O 为 AC 的中点POAC 1 分 Q 2,2 2ABBCPAPBPCAC ,2,6ABB
14、C BOPO 222POOBPB 3 分 POOB ,POAC POOB OBACO，OB、AC平面 ABC 4 分 PO平面 ABC 5 分 （2）由（1）知 PO面 ABC OM 为 PM 在面 ABC 上的射影，PMO 为 PM 与面 ABC 所成角 6tan6POPMOOMOM，1OM ， 在OMC 中由正弦定理可得1MC ， M 为 BC 的中点 6 分 法一：作 MEAC 于 E，E 为 OC 的中点，作EFPA交 PA 于 F，连 MF MFPA MFE 即为所求 7 分 22ME 8 分 3333 62 22424EFAE 9 分 242tan23 63 3MEMFEEF 11
15、 分 3 33 93cos3131MFE 12 分 法二：分别以 OB，OC，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系 M（22，22，0） 2 3 2,0 ,0,2,622AMPA 8 分 记, ,nx y z为面 AMP 的法向量则 00n AMn PA23 2022260 xyyz3 331xyz (3 3,3,1)n 10 分 面 APC 的法向量1,0,0m 11 分 易知MPA C所成角为锐角记为3 33 93,coscos,3131n mn mn m 12 分 21.（1）解：由题意可知 222120,2axxaxf xxxx 1 分 对于二次函数22,1 8yxxaa 当
16、18a 时， 0,0fx恒成立，f（x）在0 x上单调递减； 2 分 当108a时， 二次函数220yxx 有 2个大于零的零点， 分别是1211 811 8,44aaxx， 当11 811 8,44aax 0fx，f（x）在11 811 8,44aax单调递增； 当11 811 80,44aax 0fx， f （x） 在11 80,4ax和11 8,4a单调递减 5 分 综上：当18a 时，f（x）在（0，）单调递减 当108a时 f （x） 在11 811 8,44aax单调递增；11 811 80,44aax单调递减 6 分 （2）证明：要证 222xaxxef xx，即证ln2xex
17、7 分 （方法一）设 ln2(0)xh xexx，则 1xhxex，( )h x在（0，）上为增函数， 因为 10,102hh，所以( )h x在（12，1）上存在唯一的零点 m， 且 10mh mem，即1,lnmemmm 9 分 所以 h（x）在（0，m）上单调递减，在,m 上单调递增， 所以 min1ln22220mh xh memmm， 11 分 因为1,12m，所以等号不成立，所 ln20 xh xex， 所以ln2xex，从而原不等式得证 12 分 （方法二）不妨设 1xh xex，则 1,00 xh xeh， 当0 x时， 00h，当0 x时， 00h， 因此 00,10 xh
18、xhex恒成立， 8 分 则 lnln100hxxxh恒成立， 10 分 则1ln1ln20 xxexxxex恒成立，即ln2xex 又lnxx，所以等号不成立，即ln2xex，从而不等式得证 12 分 22.（1）Q（x，y） ，由题意，得22121xyy， 2 分 化简得24xy，所以 Q 的轨迹方程 C 为24xy 4 分 法二：定义法依题意 Q（x，y）到 F（0，1）的距离与 Q（x，y）到直线 y1 的距离相等，由抛物线定义知 Q 的 轨迹方程 C 为以 F（0，1）为焦点以1y 为准线的抛物线 2 分 所以 Q 的轨迹方程 C 为24xy 4 分 （2）不妨设2,(0)4tA t
19、t，因为24xy ，所以2xy ， 从而直线 PA 的斜率为24201ttt，解得2t ，即 A（2，1） ， 6 分 又 F（0，1） ，所以/AFx轴要使AFMAFN，只需0FMFNkk 7 分 设直线 m 的方程为1ykx，代入24xy并整理，得2440 xkx 首先，21610k ，解得1k 或1k 其次，设 M（1x，1y） ，N（2x，2y） ，则121 24 ,4xxk x x 9 分 21121212121111FMFNxyxyyykkxxx x21121222xkxx kxx x121222xxkx x24204kk 11 分 故存在直线 m，使得AFMAFN， 此时直线 m 的斜率的取值范围为, 11, 12 分
